(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升8.4《直线与圆、圆与圆的位置关系》(2份打包，原卷版+教师版)

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知识梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠﹣1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．( )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(4)在圆中最长的弦是直径．( )
教材改编题
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心D．相离
2．过点(0,1)且倾斜角为eq \f(π,3)的直线l交圆x2＋y2﹣6y＝0于A，B两点，则弦AB的长为( )
A.eq \r(10) B．2eq \r(10)
C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
3．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y﹣a)2＝25相切，则常数a＝________.
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 直线kx﹣y＋2﹣k＝0与圆x2＋y2﹣2x﹣8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
命题点2 弦长问题
例2 (1)(多选)直线y＝kx﹣1与圆C：(x＋3)2＋(y﹣3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为( )
A．6 B．8 C．12 D．16
(2)设圆x2＋y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y﹣12＝0或4x﹣3y＋9＝0
B．3x＋4y﹣12＝0或x＝0
C．4x﹣3y＋9＝0或x＝0
D．3x﹣4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
思维升华 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
命题点3 切线问题
例3 已知直线l：x＋ay﹣1＝0是圆C：x2＋y2﹣6x﹣2y＋1＝0的对称轴，过点A(﹣1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y﹣y0＝k(x﹣x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y﹣y0＝k(x﹣x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
命题点4 直线与圆位置关系中的最值(范围)问题
例4 在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x﹣2)2＋y2＝4，点A是直线x﹣y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________．
教师备选
1．(多选)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为( )
A．l与C可能相离
B．l不可能将C的周长平分
C．当k＝1时，l被C截得的弦长为eq \f(3\r(2),2)
D．l被C截得的最短弦长为4
2．过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))的直线l与圆C：(x﹣1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，此时直线l的方程为________，∠ACB＝________.
思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
跟踪训练1 (1)(多选)已知直线l：ax＋by﹣r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
(2)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m等于( )
A．±2 B．±eq \r(2) C．±eq \r(3) D．±eq \r(5)
(3)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x﹣3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)若圆C1：(x﹣1)2＋(y﹣a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)
(2)圆C1：x2＋y2﹣2x＋10y﹣24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y﹣8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．
教师备选
已知两圆x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0和x2＋y2﹣10x﹣12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
跟踪训练2 (1)已知圆M：x2＋y2﹣2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
(2)已知圆C1：x2＋y2＋4x﹣2y﹣4＝0，圆C2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(11,2)，则这两圆的公共弦长为( )
A．5 B．2eq \r(2) C．2 D．1
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apllnius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(﹣m，0)，B(m，0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得eq \r(x＋m2＋y2)＝λeq \r(x－m2＋y2)，
两边平方并化简整理得(λ2﹣1)x2﹣2m(λ2＋1)x＋(λ2﹣1)y2＝m2(1﹣λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(λ2＋1,λ2－1)m))2＋y2＝eq \f(4λ2m2,λ2－12)，轨迹为以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ2＋1,λ2－1)m，0))为圆心，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2λm,λ2－1)))为半径的圆．
例1 (1)已知平面直角坐标系中，A(﹣2,0)，B(2,0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为________．
(2)已知圆O：x2＋y2＝1和点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，若定点B(b，0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b≠－\f(1,2)))和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________．
例2 如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
课时精练
1．圆C1：(x＋1)2＋(y﹣2)2＝4与圆C2：(x﹣3)2＋(y﹣2)2＝4的公切线的条数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．过点P(2,4)作圆(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y﹣4＝0B．4x﹣3y＋4＝0
C．x＝2或4x﹣3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y﹣4＝0
3．若圆C：x2＋16x＋y2＋m＝0被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则m等于( )
A．26 B．31 C．39 D．43
4．若直线x＋ay﹣a﹣1＝0与圆C：(x﹣2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为( )
A.eq \f(π,2) B．π C．2π D．3π
5．已知直线l：3x＋my＋3＝0，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，则下列说法正确的是( )
A．“m>1”是曲线C表示圆的充要条件
B．当m＝3eq \r(3)时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1
C．“m＝﹣3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件
D．当m＝﹣2时，曲线C与圆x2＋y2＝1有两个公共点
6．(多选)已知圆O1：x2＋y2﹣2x﹣3＝0和圆O2：x2＋y2﹣2y﹣1＝0的交点为A，B，则( )
A．圆O1和圆O2有两条公切线
B．直线AB的方程为x﹣y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq \r(2)
7．若斜率为eq \r(3)的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y﹣1)2＝1相切于点B，则|AB|＝________.
8．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x﹣3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．
9．已知圆C：x2＋y2﹣8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)时，求直线l的方程．
10．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2﹣8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
11．如果圆C：(x﹣a)2＋(y﹣a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为eq \r(2)，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣3，﹣1)∪(1,3) B．(﹣3,3)
C．[﹣1,1] D．(﹣3，﹣1]∪[1,3)
12．已知圆C：(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝9上存在四个点到直线l：x﹣y＋b＝0的距离等于2，则实数b的取值范围是( )
A．(﹣∞，1﹣5eq \r(2))∪(1＋5eq \r(2)，＋∞)
B．(1﹣5eq \r(2)，1＋5eq \r(2))
C．(﹣∞，1﹣eq \r(2))∪(1＋eq \r(2)，＋∞)
D．(1﹣eq \r(2)，1＋eq \r(2))
13．已知点P在直线x＋y＝4上，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则点M(3,2)到直线AB距离的最大值为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
14．(多选)已知点P在圆(x﹣5)2＋(y﹣5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2)D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
15.(多选)如图，A(2,0)，B(1,1)，C(﹣1,1)，D(﹣2,0)， SKIPIF 1 < 0 是以OD为直径的圆上一段圆弧， SKIPIF 1 < 0 是以BC为直径的圆上一段圆弧， SKIPIF 1 < 0 是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下列说法正确的是( )
A．曲线W与x轴围成的面积等于2π
B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)
C. SKIPIF 1 < 0 所在圆的方程为x2＋(y﹣1)2＝1
D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公切线方程为x＋y＝eq \r(2)＋1
16．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点A.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
图1
图2
(1)如图1，设母球A的位置为(0,0)，目标球B的位置为(4,0)，要使目标球B向C(8，﹣4)处运动，求母球A的球心运动的直线方程；
(2)如图2，若母球A的位置为(0，﹣2)，目标球B的位置为(4,0)，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向C(8，﹣4)处运动？
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1﹣r2|内切
d＝|r1﹣r2|
内含
d<|r1﹣r2|