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(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升9.2《用样本估计总体》(2份打包,原卷版+教师版)
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知识梳理
1.百分位数
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100﹣p)%的数据大于或等于这个值.
2.平均数、中位数和众数
(1)平均数:eq \x\t(x)=eq \f(1,n)(x1+x2+…+xn).
(2)中位数:将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列,处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时).
(3)众数:一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).
3.方差和标准差
(1)方差:s2=eq \f(1,n)eq \i\su(i=1,n, )(xi﹣eq \x\t(x))2或eq \f(1,n)eq \i\su(i=1,n,x)eq \\al(2,i)﹣eq \x\t(x)2.
(2)标准差:s=eq \r(\f(1,n)\i\su(i=1,n, )xi-\x\t(x)2).
4.总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为eq \x\t(Y),则总体方差S2=eq \f(1,N)eq \i\su(i=1,N, )(Yi﹣eq \x\t(Y))2.
(2)加权式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=eq \f(1,N)eq \i\su(i=1,k,f)i(Yi﹣eq \x\t(Y))2.
常用结论
巧用三个有关的结论
(1)若x1,x2,…,xn的平均数为1,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为m+a;
(2)数据x1,x2,…,xn与数据x1′=x1+a,x2′=x2+a,…,xn′=xn+a 的方差相等,即数据经过平移后方差不变;
(3)若x1,x2,…,xn的方差为s2,那么ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说,平均数和中位数总是非常接近.( × )
(2)方差与标准差具有相同的单位.( × )
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变.( √ )
(4)在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.( √ )
教材改编题
1.(多选)给出一组数据:1,3,3,5,5,5,下列说法正确的是( )
A.这组数据的极差为4
B.这组数据的平均数为3
C.这组数据的中位数为4
D.这组数据的众数为3和5
答案 AC
解析 这组数据的极差为5﹣1=4,A正确;平均数为eq \f(1+3×2+5×3,6)=eq \f(11,3),B错误;中位数为eq \f(3+5,2)=4,C正确;众数为5,D错误.
2.(多选)下列说法正确的是( )
A.众数可以准确地反映出总体的情况
B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大
答案 CD
解析 对于A,众数体现了样本数据的最大集中点,但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征,所以A错误;
对于B,一组数的平均数不可能大于这组数据中的每一个数据,所以B错误;
对于C,平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势,所以C正确;
对于D,方差可以用来衡量一组数据波动的大小,方差越小,数据波动越小,方差越大,数据波动越大,所以D正确.
3.一个容量为20的样本,其数据按从小到大的顺序排列为:1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15, 17,17,18,18,则该组数据的第75百分位数为________.
答案 14.5
解析 ∵75%×20=15,
∴第75百分位数为eq \f(14+15,2)=14.5.
题型一 样本的数字特征和百分位数的估计
例1 (1)从某中学抽取10名同学,他们的数学成绩如下:82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位:分),则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为( )
A.92,85 B.92,88
C.95,88 D.96,85
答案 B
解析 数据92出现了3次,出现的次数最多,所以众数是92;将一组数据按照由小到大的顺序排列,计算10×25%=2.5,取第三个数,第25百分位数是88.
延伸探究 本题中,第70百分位数是多少?
解 10×70%=7,第70百分位数是第7项与第8项的平均数,为eq \f(92+96,2)=94.
(2)已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为eq \x\t(x),方差为s2,则( )
A.eq \x\t(x)=4,s24,s24,s2>2
答案 A
解析 设7个数为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,
则eq \f(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7,7)=4,
eq \f(x1-42+x2-42+x3-42+x4-42+x5-42+x6-42+x7-42,7)=2,
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=28,
(x1﹣4)2+(x2﹣4)2+(x3﹣4)2+(x4﹣4)2+(x5﹣4)2+(x6﹣4)2+(x7﹣4)2=14,
则这8个数的平均数为eq \x\t(x)=eq \f(1,8)(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+4)=eq \f(1,8)×(28+4)=4,
方差为s2=eq \f(1,8)×[(x1﹣4)2+(x2﹣4)2+(x3﹣4)2+(x4﹣4)2+(x5﹣4)2+(x6﹣4)2+(x7﹣4)2+(4﹣4)2]
=eq \f(1,8)×(14+0)=eq \f(7,4)2eq \r(\f(s\\al(2,1)+s\\al(2,2),10))成立,所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
教师备选
从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
(1)根据上表补全如图所示的频率分布直方图;
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
解 (1)补全后的频率分布直方图如图所示.
(2)质量指标值的样本平均数为eq \x\t(x)=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
质量指标值的样本方差为s2=(﹣20)2×0.06+(﹣10)2×0.26+02×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
所以这种产品质量指标值的平均数约为100,方差约为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38+0.22+0.08=0.68.
由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.
思维升华 总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)越大,数据的离散程度越大;标准差(方差)越小,数据的离散程度越小.
跟踪训练3 (2022·蚌埠质检)某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛,为此某班开展了10次模拟测试,以此选拔选手代表班级参赛,下表为甲、乙两名学生的历次模拟测试成绩.
甲、乙两名学生测试成绩的平均数分别记作eq \x\t(x),eq \x\t(y),方差分别记作seq \\al(2,1),seq \\al(2,2).
(1)求eq \x\t(x),eq \x\t(y),seq \\al(2,1),seq \\al(2,2);
(2)以这10次模拟测试成绩及(1)中的结果为参考,请你从甲、乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛,并说明你作出选择的理由.
解 (1)eq \x\t(x)=eq \f(1,10)(98+94+97+97+95+93+93+95+93+95)=95,
eq \x\t(y)=eq \f(1,10)(92+94+93+94+95+94+96+97+97+98)=95,
seq \\al(2,1)=eq \f(1,10)[32+(﹣1)2+22+22+0+(﹣2)2+(﹣2)2+0+(﹣2)2+0]=3,
seq \\al(2,2)=eq \f(1,10)[(﹣3)2+(﹣1)2+(﹣2)2+(﹣1)2+0+(﹣1)2+12+22+22+32]=3.4.
(2)答案一:
由(1)可知,eq \x\t(x)=eq \x\t(y),seq \\al(2,1)
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