(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升9.2《用样本估计总体》(2份打包，原卷版+教师版)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升9.2《用样本估计总体》(2份打包，原卷版+教师版)，文件包含新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习92《用样本估计总体》原卷版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习92《用样本估计总体》原卷版pdf、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习92《用样本估计总体》教师版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习92《用样本估计总体》教师版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。

知识梳理
1．百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100﹣p)%的数据大于或等于这个值．
2．平均数、中位数和众数
(1)平均数：eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
3．方差和标准差
(1)方差：s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi﹣eq \x\t(x))2或eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)﹣eq \x\t(x)2.
(2)标准差：s＝eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
4．总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\t(Y)，则总体方差S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi﹣eq \x\t(Y))2.
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi﹣eq \x\t(Y))2.
常用结论
巧用三个有关的结论
(1)若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；
(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．( × )
(2)方差与标准差具有相同的单位．( × )
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．( √ )
(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ )
教材改编题
1．(多选)给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法正确的是( )
A．这组数据的极差为4
B．这组数据的平均数为3
C．这组数据的中位数为4
D．这组数据的众数为3和5
答案 AC
解析 这组数据的极差为5﹣1＝4，A正确；平均数为eq \f(1＋3×2＋5×3,6)＝eq \f(11,3)，B错误；中位数为eq \f(3＋5,2)＝4，C正确；众数为5，D错误．
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．众数可以准确地反映出总体的情况
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
答案 CD
解析 对于A，众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，所以A错误；
对于B，一组数的平均数不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误；
对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确；
对于D，方差可以用来衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D正确．
3．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15, 17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为________．
答案 14.5
解析 ∵75%×20＝15，
∴第75百分位数为eq \f(14＋15,2)＝14.5.
题型一 样本的数字特征和百分位数的估计
例1 (1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为( )
A．92,85 B．92,88
C．95,88 D．96,85
答案 B
解析 数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；将一组数据按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，第25百分位数是88.
延伸探究 本题中，第70百分位数是多少？
解 10×70%＝7，第70百分位数是第7项与第8项的平均数，为eq \f(92＋96,2)＝94.
(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，则( )
A.eq \x\t(x)＝4，s24，s24，s2>2
答案 A
解析 设7个数为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，
则eq \f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7,7)＝4，
eq \f(x1－42＋x2－42＋x3－42＋x4－42＋x5－42＋x6－42＋x7－42,7)＝2，
所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，
(x1﹣4)2＋(x2﹣4)2＋(x3﹣4)2＋(x4﹣4)2＋(x5﹣4)2＋(x6﹣4)2＋(x7﹣4)2＝14，
则这8个数的平均数为eq \x\t(x)＝eq \f(1,8)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋4)＝eq \f(1,8)×(28＋4)＝4，
方差为s2＝eq \f(1,8)×[(x1﹣4)2＋(x2﹣4)2＋(x3﹣4)2＋(x4﹣4)2＋(x5﹣4)2＋(x6﹣4)2＋(x7﹣4)2＋(4﹣4)2]
＝eq \f(1,8)×(14＋0)＝eq \f(7,4)2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
教师备选
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
(1)根据上表补全如图所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
解 (1)补全后的频率分布直方图如图所示．
(2)质量指标值的样本平均数为eq \x\t(x)＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为s2＝(﹣20)2×0.06＋(﹣10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．
思维升华 总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
跟踪训练3 (2022·蚌埠质检)某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲、乙两名学生的历次模拟测试成绩．
甲、乙两名学生测试成绩的平均数分别记作eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，方差分别记作seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2).
(1)求eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)；
(2)以这10次模拟测试成绩及(1)中的结果为参考，请你从甲、乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛，并说明你作出选择的理由．
解 (1)eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)(98＋94＋97＋97＋95＋93＋93＋95＋93＋95)＝95，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)(92＋94＋93＋94＋95＋94＋96＋97＋97＋98)＝95，
seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)[32＋(﹣1)2＋22＋22＋0＋(﹣2)2＋(﹣2)2＋0＋(﹣2)2＋0]＝3，
seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)[(﹣3)2＋(﹣1)2＋(﹣2)2＋(﹣1)2＋0＋(﹣1)2＋12＋22＋22＋32]＝3.4.
(2)答案一：
由(1)可知，eq \x\t(x)＝eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)