(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升10.7《离散型随机变量及其分布列、数字特征》(2份打包，原卷版+教师版)

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知识梳理
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1﹣E(X))2p1＋(x2﹣E(X))2p2＋…＋(xn﹣E(X))2pn＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi﹣E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
常用结论
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)﹣(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量．( )
(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(4)方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．( )
教材改编题
1．设随机变量X的分布列如下：
则p为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,12)
2．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．
3．已知随机变量X的分布列如下：
若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．
题型一 分布列的性质
例1 (1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q等于( )
A．1 B.eq \f(\r(2),2)或﹣eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
(2)(多选)设随机变量ξ的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则( )
A．a＝eq \f(1,15) B．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)