2023-2024学年天津市第五十四中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市第五十四中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，单空题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知等差数列，，则公差d等于（ ）
A．B．C．3D．-3
【答案】B
【分析】根据题意，利用公式，即可求解.
【详解】由题意，等差数列，，
可得等差数列的公差.
故选：B.
2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【解析】由双曲线方程知，结合椭圆方程及共焦点有且，即可求值.
【详解】由双曲线知：且，
而其与椭圆有相同焦点，
∴且，解得，
故选：A
3．已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，的值为（ ）
A．1B．6C．0或6D．0
【答案】D
【分析】求出直线与的斜率，利用两个斜率乘积等于即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，且与垂直，
所以直线斜率存在，
由经过点和，所以直线斜率为，
所以，解得：，
故选：D
4．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】抛物线交点坐标为，算出即可.
【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为.
故选：D.
【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题.
5．已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，结合两平行线之间的距离公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
又，所以，且两直线之间的距离为
.
故选：D
6．已知公差不为零的等差数列满足：，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】设差数列的首项为，公差为，则
因为，所以，解得，
所以.
故选：B.
7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为（ ）
A．B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】数形结合可得A点坐标，代入双曲线方程可解.
【详解】抛物线的准线方程为x=-4，
如图，因为|AB|＝4，所以A点坐标为，
设等轴双曲线方程为，
则，解得
所以双曲线的实轴长为4.
故选：C
8．设分别是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点，若和的离心率分别为，则的值为（ ）．
A．3B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据题意设出椭圆的长轴长以及双曲线的实轴长，再根据椭圆和双曲线的定义得到的关系，由此可求解出的值.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距长为，
因为，所以在双曲线的左支上，如下图所示（不妨设在第二象限），
因为线段的垂直平分线经过点，所以，
所以，所以，
所以，
故选：B.
二、单空题
9．已知等差数列满足，则的值为 .
【答案】3
【分析】由等差数列通项公式得，即，进而求出
【详解】由等差数列通项公式得，
即，故，
.
故答案为：3
10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：与椭圆C交于A，B两点，若则的面积是 .
【答案】
【分析】由题意和椭圆的定义可得，利用余弦定理和同角三角函数的关系求得，进而求出，结合椭圆的对称性可知，则，即可求解.
【详解】由题意知，，则，，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
则.
由椭圆的对称性可知，
所以.
故答案为：
三、填空题
11．已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为 ．
【答案】
【详解】由题意可得弦心距d=，故半径r=5，
故圆C的方程为x2+（y+2）2=25，
故答案为x2+（y+2）2=25．
12．已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则 .
【答案】6
【分析】根据点A到C的焦点的距离为12，由抛物线的定义得到，然后由点A到y轴的距离为9，得到求解.
【详解】设抛物线的焦点为F，因为点A到C的焦点的距离为12，
所以由抛物线的定义知，
又因为点A到y轴的距离为9，
所以，
所以 ，
解得.
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，还考查了转化化归思想，属于基础题.
13．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则实数m的值为 .
【答案】9
【分析】由圆心距等于半径之和求解．
【详解】解析：圆C2的标准方程为(x3)2+（y4）2=25-m.圆C1：x2+y2=1，∴|C1C2|=5.
又∵两圆外切，∴5=1+，解得m=9.
故答案为：9．
14．等差数列满足，，则 .
【答案】
【分析】设公差为，利用公式代入即可求解.
【详解】解：等差数列满足，，设公差为，则，
则，
故答案为：.
四、问答题
15．已知双曲线，求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程.
【答案】答案见解析
【分析】根据双曲线标准方程，即可求出双曲线的焦点坐标，离心率和渐近线方程.
【详解】因为双曲线标准方程为，则，，
双曲线的焦点在轴上，且，
所以焦点坐标：，；
所以离心率；
所以渐近线方程为：，，即，.
16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.
（1）求的长；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值；
（3）求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）以，，的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，结合向量的坐标运算，即可求解；
（2）由（1）中的坐标系，得到，，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）由（1）中的坐标系，求得和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）以，，的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，可得，
所以的长为.
（2）由（1）的坐标系，可得，，，，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
所以，
即异面直线与所成的角的余弦值.
（3）由（1）中的坐标系，可得，，，，
则，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
又由，
设直线与平面所成的角为，可得.
即直线与平面所成的角的正弦值.
【点睛】求解直线与平面所成角的方法：
1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；
2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；
3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.
17．如图所示，椭圆的左､右焦点分别为､，一条直线经过与椭圆交于､两点.
（1）求的周长；
（2）若直线的倾斜角为，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由椭圆方程求得､，结合椭圆的定义，即可求得的周长；
（2）根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，得到，再结合和三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，椭圆方程，可得､，则，
所以的周长为.
（2）由（1）知，可得､，
又由，所以直线的方程为，
联立方程组联立消去并整理，可得，
因为恒成立，
设､，所以，，
所以，
所以.
18．已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与椭圆C交于A、B两点，且，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得求出，从而可求得椭圆的方程，
（2）设，，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，整理后利用根与系数的关系求出，由可得，代入进而可求出的值.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为.
由题意得
解得.
所以椭圆的方程为.
（2）由得.
由，解得.
设，，则，
所以，
，
因为，所以，
则，则，
则，
解得：或.
当时，直线过点，则不满足.
所以.