2023-2024学年天津市和平区耀华中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市和平区耀华中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程是：
故选：A
2．已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，则，所以，
又，解得，所以，故选C．
【解析】等比数列的通项公式及性质．
3．已知，点满足: 则（ ）
A．6B．4C．2D．不能确定
【答案】B
【分析】根据椭圆的第二定义，结合椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为
所以点是以为右焦点，为右准线，离心率为的椭圆，
则有，显然，
故选：B
4．抛物线与直线交于A，B两点，其中A点的坐标是．该抛物线的焦点为F，则
A．7B．C．6D．5
【答案】A
【详解】分析：首先应用曲线的交点应该同时落在各条曲线上，得到点既在抛物线上，又在直线上，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线方程，从而求得的值，联立方程组求得另一个交点的坐标，之后结合抛物线的定义求得最后的结果.
详解：将点A的坐标代入抛物线与直线，得，
所以得抛物线与直线，
由得或，所以得，
又抛物线的准线是，
再结合抛物线的定义得，故选A.
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交的问题，在解题的过程中，需要明确两曲线相交交点的特征以及点在曲线上的条件，求得参数的值，从而确定抛物线和直线的方程，再联立方程组求得直线与抛物线的另一个交点，之后借助抛物线的定义，将其转化为到准线的距离即可求得结果.
5．双曲线 的左、右焦点分别为过焦点且垂直于轴的弦为，若 则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用双曲线的通径与，得到a，b，c的关系，根据离心率公式，求出双曲线的离心率．
【详解】由题意可知，双曲线的通径为：，
因为过焦点且垂直于轴的弦为，则，
若，所以，所以，由于，
所以，解得，因为，所以.
故选：C.
6．若椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由椭圆和双曲线的定义可得，，从而由即可得解.
【详解】∵椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的交点，
∴，，
∴，
故选D.
【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义，属于基础题.
7．规定:直线: 是双曲线 的右准线，以原点为圆心且的圆，且过双曲线的顶点的圆，被直线 分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据圆被直线 分成弧长为2：1的两段圆弧及圆的对称性，得出；再根据三角形中的边角关系即可求解.
【详解】设圆与直线相交于点和，双曲线的右顶点为，如图所示：
由题意得：圆的圆心为，半径为.
由圆被直线 分成弧长为2：1的两段圆弧，可得.
所以根据圆的对称性可得.
由直线方程: 可得：，即.
所以双曲线的离心率.
故选：A.
8．直线与椭圆相交于、两点,该椭圆上点,使得的面积等于3．这样的点共有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】设出的坐标，表示出四边形面积，利用辅角公式整理化简，再利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得的最大值，利用判断出点不可能在直线的上方，进而推断出在直线的下方有两个点．
【详解】设，即点在第一象限的椭圆上，
考虑四边形面积，
，
∴．
∵为定值，
∴的最大值为．
∵，
∴点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
9．曲线 的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，化简得到曲线表示的轨迹为弧，所在圆的半径为，且，结合弧长公式，即可求解.
【详解】由曲线，可得，其中，
如图所示，曲线表示的轨迹为弧，且扇形所在圆的半径为，且，
所以曲线表示的长度为.
故选：A.
10．已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过F的直线 与相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则的方程式为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵kAB==1,
∴直线AB的方程为y=x-3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),
∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则-=1.整理,得
(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2==2×(-12),
∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.
∴双曲线E的方程为-=1.故选B.
11．若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是（ ）
A．
B．(x-2)2+(y-1)2=1
C．(x-1)2+(y-3)2=1
D．
【答案】B
【详解】由题意知圆心坐标为(x0,1),
圆心到直线4x-3y=0的距离，解得或（舍去），
所以圆的方程为.
故选：B.
12．给出下列结论，其中正确的个数是（ ）
①渐近线方程为的双曲线的标准方程一定是
②抛物线的准线方程是
③等轴双曲线的离心率是
④椭圆的焦点坐标是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】分别利用双曲线渐近线方程与标准方程之间的关系，抛物线开口方向与标准方程的关系，等轴双曲线的概念，椭圆焦点位置与标准方程之间的关系对每个选项逐一判断即可.
【详解】对于①：渐近线方程为的双曲线的标准方程是 ，故①错；
对于②：抛物线即，它的准线方程是，故②错；
对于③：等轴双曲线中，故，所以离心率，③正确；
对于④：椭圆的焦点位置不确定，焦点可能在x轴，也可能在y轴，故④错；
故选：A.
二、填空题
13．如果正中，，向量，那么以为焦点且过点的双曲线的离心率是
【答案】/
【分析】设出正三角形的边长，根据判断出的位置，根据双曲线的定义和离心率的计算公式，计算出离心率.
【详解】依题意，不妨设正三角形的边长为，
由于，所以是三角形的中位线，即是的中点，
由于在双曲线上，是双曲线的焦点，
而，
所以.
故答案为：.
14．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P= .
【答案】2
【详解】设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，把y＝x－代入y2＝2px，得x2－3px＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2．
15．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 .
【答案】
【详解】曲线化为，
其圆心到直线的距离为
所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为
标准方程为．
16．已知数列满足则的最小值为__________.
【答案】
【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33
且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33．
从而
设f（n），令f′（n），
则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，
因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．
又因为，，
所以的最小值为
故答案为
【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
三、解答题
17．已知圆锥曲线C经过定点P（3，），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=－1，斜率为2的直线交圆锥曲线C于A、B两点，且 AB =，求圆锥曲线C和直线的方程．
【答案】圆锥曲线C的方程为y2=4x，直线的方程为y=2x－4.
【分析】根据焦点和准线判断出曲线为抛物线，由此写出抛物线的方程.设出直线的方程斜截式，利用弦长公式和弦长列方程，解方程求得直线的截距.由此求得直线的方程.
【详解】由于曲线的焦点对应的数量是，而准线对应的数量是，故猜想曲线是抛物线，根据，求得，故抛物线的方程是，将代入得，符合题意，故曲线的方程是.由于直线的斜率为，故可设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，故，所以，解得，故直线的方程是.
【点睛】本小题考查抛物线的概念的识别，考查抛物线的方程，考查直线和抛物线相交所得弦长公式的应用，属于中档题.
18．如图所示，已知圆，定点，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若过定点的直线交曲线于不同的两点､(点在点､之间)，且满足，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由垂直平分线性质可推导得到，由椭圆定义可确定曲线的方程；
（2）当直线斜率不存在时，易得；当直线斜率不存在时，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，根据可得，利用可构造与的方程，由的范围可得关于的不等式，解不等式可求得结果；综合两种情况可得结果.
【详解】（1）连接，
，，
为的垂直平分线，，
又，，
动点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距，，，，
曲线的方程为.
（2）①当直线斜率不存在，方程为，则，.
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
代入椭圆方程得：.
由得：.
设，，
则，，
又，，，则，
，，，解得：.
又，.
综上所述：的取值范围为
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；
④化简所得函数式，利用函数值域的求解方法求得取值范围.
19．如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB ，AB=AD=AE=2BC=2， M是EC上的点(不与端点重合)，F 为AD上的点，N 为BE的中点.
(1)若M 为CE的中点，
(i) 求证: 平面
(ii) 求点F 到平面MBD的距离.
(2)若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 试确定点M在EC上的位置.
【答案】(1)(i)答案见解析. (ii)
(2)点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；(i)求出的方向向量和平面法向量即可证明平面；(ii)根据点到平面距离的向量计算方法即可求解.
（2）先根据点M是EC上的点(不与端点重合)，利用向量共线的坐标表示得出点M坐标；再求出平面MBD与平面ABD的法向量；最后根据面面所成角的向量计算方法即可求解.
【详解】（1） DA⊥平面 EAB，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
则，，，，，
M 为CE的中点，，N 为BE的中点，
，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
(i) ，
，
又平面，
平面；
(ii) ，平面的法向量为，
点F 到平面MBD的距离为：；
（2）由M是EC上的点(不与端点重合)，可设，，
，，
点坐标为
设平面MBD的法向量为，
则，即，令，得.
DA⊥平面 EAB ，平面 EAB
又，，平面ABD，平面ABD，
平面ABD，
平面ABD的一个法向量为
平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 ，
，解得或
点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点.