2023-2024学年天津市静海区第一中学高二上学期12月月考试题数学含答案

这是一份2023-2024学年天津市静海区第一中学高二上学期12月月考试题数学含答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：刘纪茹 审题人 ：陈中友
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷基础题（131分）和第Ⅱ卷提高题（16分）两部分共147分，卷面分3分，共150分.
第Ⅰ卷 基础题（共131分）
一、选择题: 每小题5分，共40分.
1. 已知直线：与：平行，则值是（ ）
A. 5B. 0或5C. 0D. 0或1
2. 在数列中，，（，），则（ ）
A. B. 1C. D. 2
3. 若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 若双曲线与椭圆有相同焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为（ ）
A. y2－x2＝96B. y2－x2＝160
C. y2－x2＝80D. y2－x2＝24
5. 已知等差数列的前项和为，，，直线过点，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是等差数列{}的前n项和，且，则（ ）
A. 数列{}为递增数列B. C. 的最大值为D.
8. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：每小题5分，共30分.
9. 在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个.如此下去，第六层放___________个.
10. 若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.
11. 若方程表示焦点在轴上双曲线，则实数的取值范围为__________.
12. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段中点的轨迹方程为__________.
13. 设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为__________.
14. 直线与双曲线：的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于两点，若，则的离心率为_______.
三、解答题：（本大题共4小题，共61分）
15. （1）数列的前项和，求数列的通项公式；
（2）已知数列中，，前项和 ，求数列的通项公式；
（3）请写出与的关系，并写出已知求时应注意什么？
16. 如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值;
（3）求点到平面的距离.
17. 已知椭圆：的上顶点为，左焦点为，且，在直线上.
（1）求的标准方程；
（2）设直线与交于，两点，且四边形为平行四边形，求的方程.
18. 已知数列中，，，记
（1）求证：数列是等差数列，并求出；
（2）设，求；
（3）若，对任意的恒成立，求的取值范围.
第Ⅱ卷 提高题（共16分）
19. 已知椭圆：右焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若；
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且. 求椭圆的方程.
静海一中2023-2024第一学期高二数学（12月）
学生学业能力调研试卷
命题人：刘纪茹 审题人 ：陈中友
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷基础题（131分）和第Ⅱ卷提高题（16分）两部分共147分，卷面分3分，共150分.
第Ⅰ卷 基础题（共131分）
一、选择题: 每小题5分，共40分.
1. 已知直线：与：平行，则的值是（ ）
A. 5B. 0或5C. 0D. 0或1
【答案】C
【解析】
【分析】两直线与平行的条件是且不重合.
【详解】若直线：与：平行，则，解得或；
而当时两直线重合.
综上所述，k的值为0.
故选：C
2. 在数列中，，（，），则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值
【详解】，，，
可得数列是以3为周期的周期数列，，
故选：A
3. 若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将圆的方程转化为标准方程形式,可得圆心为,半径为,再求出圆心到直线距离,根据弦长为,即可求得.
【详解】由题,由圆的一般方程可得圆的标准方程为,则圆心为,半径为,
所以圆心到直线距离为,
则弦长为,即,所以,
故选:C
【点睛】本题考查利用弦长求参数,考查点到直线距离公式的应用,考查圆的一般方程与标准方程的转化.
4. 若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为（ ）
A. y2－x2＝96B. y2－x2＝160
C. y2－x2＝80D. y2－x2＝24
【答案】D
【解析】
【分析】由题设，若双曲线为x2－y2＝λ(λ≠0)，由椭圆方程写出焦点坐标，根据曲线共焦点、双曲线参数关系列方程求参数λ.
【详解】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为，
∴λ<0且，得λ＝－24.
故选：D.
5. 已知等差数列的前项和为，，，直线过点，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，求出公差，再利用等差数列的通项公式得到，即可求出结果.
【详解】因为数列为等差数列，设数列的首项为，公差为，
又，，所以，解得到，
所以，得到，所以直线的斜率为，
故选：D.
6. 已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，由抛物线定义，，解出，代入抛物线方程，可求，再由两点间距离公式可求.
【详解】由抛物线C：，得焦点，设，
所以，由，
解得，所以，
所以.
故选：D.

7. 已知是等差数列{}的前n项和，且，则（ ）
A. 数列{}为递增数列B. C. 的最大值为D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质逐项判断即可
【详解】，因为,所以,所以错
公差所以错
因为前7项均为正,从第8项开始为负,所以的最大值为,所以C对，,所以D错
故选：C
8. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，

又因为，所以，
所以四边形为矩形，
设，则，
由双曲线的定义可得：，，
又因为为直角三角形，
所以，即，解得，
所以，，
又因为为直角三角形，，
所以，即：，
所以，即.
故选：D.
二、填空题：每小题5分，共30分.
9. 在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个.如此下去，第六层放___________个.
【答案】36
【解析】
【分析】根据每一层图形的个数与层数的关系进行仔细观察，发现规律．
【详解】最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个，可知，第层放个，
所以第六层放36个，
故答案为：.
10. 若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.
【答案】或
【解析】
【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.
【详解】抛物线的准线为，
则，解得或，
故抛物线的方程为或.
故答案为：或.
11. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将变形为，再根据条件即可求出结果.
【详解】由变形得到，
因为方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，解得，
故答案为：.
12. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设出中点坐标，圆上的点，由中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程得答案.
【详解】设点，点，
则所以
因为点在圆上，
所以，
所以，
所以点M的轨迹方程为
即，
故答案为：.
13. 设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可得解.
【详解】因为，所以
.
故答案为：.
14. 直线与双曲线：的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于两点，若，则的离心率为_______.
【答案】
【解析】
【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，消得到，利用韦达定理及抛物线焦点弦的弦公式即可求得，进而可求出结果.
【详解】因为的焦点为，设直线的方程为，，
由，消得到，
由韦达定理得，又，
所以，得到，所以，
又直线与双曲线：一条渐近线平行，所以，
故双曲线的离心率为，
故答案为：.
三、解答题：（本大题共4小题，共61分）
15. （1）数列的前项和，求数列的通项公式；
（2）已知数列中，，前项和 ，求数列的通项公式；
（3）请写出与的关系，并写出已知求时应注意什么？
【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由可求得数列的通项公式；
（2）根据与的关系可推出，再利用累乘法可求出数列的通项公式；
（3）根据与的关系可得出结论.
【详解】解：（1）因为数列的前项和，
当时，，
当时，，
不满足，故；
（2）数列中，，前项和 ，则，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以，，
因为，则，，，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，当时，，
所以，，，，，，
上述等式全部相乘可得，
所以，，
也满足，故对任意的，；
（3），
解题时需注意令等于初始值，求出初始项的值，同时要注意等差、等比数列的定义从第几项开始.
16. 如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角正弦值;
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得，由勾股定理得，再根据条件及线面垂直的判断定理，即可证明结果；
（2）以为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面，再利用两平面夹角的向量法即可求出结果；
（3）根据（2）中结果，利用点到面的距离的向量法即可求出结果.
【小问1详解】
在中，因为，
由余弦定理知，得到，
所以，故，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面.
【小问2详解】
如图所示，以为轴建立空间直角坐标系，

因为，，
则，，，，，
又点是棱的中点，所以，
设平面的法向量为，
，，
由，得到，取，，得到，
设平面的法向量为，
，，
由，得到，取，，得到，
平面与平面夹角的平面角为锐角，
故余弦值.
【小问3详解】
因为平面的法向量为，，
所以距离为.
17. 已知椭圆：的上顶点为，左焦点为，且，在直线上.
（1）求的标准方程；
（2）设直线与交于，两点，且四边形为平行四边形，求的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的标准方程，利用条件求出，即可得出结果；
（2）根据题意，设直线的方程为，联立椭圆方程得，由韦达定理得，再利用条件得，从而得到，即可求出结果.
【小问1详解】
因为椭圆的上顶点为，左焦点为，均在直线上，
令，得，令，得到，所以，得到，
所以，故椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
因为四边形为平行四边形，则直线过中点，易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
由，消得到，
易知，直线与椭圆恒有两个交点，又由韦达定理知，，
又，，
因为四边形为平行四边形，所以，得到，
又，，代入，
整理得，即，
将代入，得到，即，
所以或，又，故舍去，
所以，直线的方程为，即.

18. 已知数列中，，，记
（1）求证：数列是等差数列，并求出；
（2）设，求；
（3）若，对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由递推关系，得到，即可证明结果，进而求出通项公式；
（2）根据（1）结果，知，分和两种情况，利用等差数列的前项和公式即可求出结果；
（3）根据条件得到，对任意的恒成立，再利用数列的函数性质，求出的最小值，即可求出结果.
【小问1详解】
由，得到，即，
又，所以为常数，又，得到，
所以数列是公差为2，首项为的等差数列，
.
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，所以，
当时，，所以，
得到，
综上，.
【小问3详解】
由（1）知，得到，所以，对任意的恒成立，
即，对任意的恒成立，
又，显然有，得到，对任意的恒成立，
令，对称轴，所以在区间上单调递增，
故当时，有最小值为，所以，得到，
所以的取值范围为.
第Ⅱ卷 提高题（共16分）
19. 已知椭圆：右焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若；
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且. 求椭圆的方程.
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）由题意可得，即，再由离心率公式可得所求值；
（2）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程．
详解】（1），所以即
可得；
（2），，
即，，
可得椭圆方程为，
设直线的方程为，
代入椭圆方程可得，
解得或，
代入直线方程可得或（舍去），
可得，
圆心在直线上，且，可设，
可得，解得，
即有，可得圆的半径为2，
由直线和圆相切的条件为，
可得，解得，
可得，，
可得椭圆方程为.
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件，考查化简运算能力，属于中档题．