2023-2024学年新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义进行求解.
【详解】由椭圆方程可知，解得.
又椭圆上一点M到两焦点的距离和为，
所以M到另一个焦点的距离为.
故选：B
2．圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将两圆方程作差即可得相交弦方程.
【详解】由，即，半径为，
由，即，半径为，
所以，即两圆相交，
将两圆方程作差得，整理得，
所以公共弦所在直线方程为.
故选：B
3．以点为圆心，半径为2的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的标准方程求解判断．
【详解】由圆的标准方程，以为圆心，2为半径的圆的标准方程为.
故选：B.
4．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意求得，然后由公式可得.
【详解】由题意得，，所以，．
故选：D．
5．椭圆和（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．顶点相同
【答案】C
【分析】由椭圆的简单几何性质求解即可.
【详解】对于椭圆，
，，，∴，，，
∴长轴长，短轴长，焦距，
对于椭圆，
，，，∴，，，
∴长轴长，短轴长，焦距，
∴椭圆和的长轴长和短轴长均不相等，故顶点不相同，焦距相等.
故选：C.
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】首先根据题意设出抛物线的方程，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案.
【详解】根据题意设出抛物线的方程，
因为点在抛物线上，
所以有，解得，
所以抛物线的方程是：，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关抛物线的方程的求解问题，涉及到的知识点有根据抛物线所过的一个点，以及抛物线的对称轴求抛物线的方程的问题，注意开口方向不明确时抛物线方程的设法，属于简单题目.
7．已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线定义求解即可.
【详解】由题意可知，，解得，，
所以双曲线的方程是．
故选：D．
8．若双曲线的焦点为，，则b等于（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的列出方程，求出.
【详解】由题意得：，解得：
因为，
所以.
故选：B
9．已知双曲线（，）的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由双曲线离心率可得，再结合即可得，代入渐近线方程即可得出结果.
【详解】由双曲线离心率为可得，即可得，
又，即可得；
由题意可得双曲线的渐近线方程为.
故选：C
10．等轴双曲线：的焦距为4，则的一个顶点到一条渐近线的距离为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用等轴双曲线，实轴和虚轴长度相等，即，即可求解渐近线方程、顶点坐标等.
【详解】由题可知，双曲线为等轴双曲线，
故双曲线的半实轴长与半虚轴长相等，即，
∴渐近线方程为.
又，且，∴，
∴双曲线的顶点坐标为，
∴一个顶点到一条渐近线的距离为.
故选：A.
11．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.
【详解】由椭圆方程得..
故选：D.
12．动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【分析】根据题意可知，动点P到直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，点P的轨迹为抛物线.
【详解】如图所示，由于动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，
于是动点P在直线的右边，且动点P到直线的距离大于2，
因此动点P到直线的距离等于它到点的距离，
进而根据抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线．
故选：D
二、填空题
13．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则 .
【答案】10
【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦长公式为，代入即可.
【详解】根据抛物线的定义可得，所以.
故答案为：10.
14．已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】5
【分析】利用定义求出双曲线的渐近线，解方程求值即可.
【详解】易知双曲线的渐近线方程为，，
故答案为：5
15．已知方程表示圆，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据解不等式即可．
【详解】由题意得，，解得，
故答案为：．
16．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则k的值为 .
【答案】
【分析】根据给定方程，结合椭圆离心率的意义求解作答.
【详解】依题意，，解得，又椭圆离心率为，则有，解得，
所以k的值为.
故答案为：
三、问答题
17．已知两点和，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点，，是在圆上、在圆内、还是在圆外.
【答案】；在圆外，在圆上，在圆内.
【分析】线段的中点为圆心，线段的长度为直径，据此即可求出圆的标准方程.分别计算M、N、P到圆心的距离，和半径比较即可判断它们与圆的位置关系.
【详解】由题可知圆心坐标为(4，6)，圆的半径，
∴圆的标准方程为.
分别计算点M、N、P到圆心(4，6)的距离：
，
，
.
∴在圆外，在圆上，在圆内.
四、解答题
18．根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为；
(2)焦点在轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是轴，经过点．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
(4)
【分析】根据题意结合抛物线的标准方程分析求解.
【详解】（1）因为抛物线的准线方程为，则，可得，
所以抛物线的方程是．
（2）因为焦点在轴上且其到准线的距离为6，可知，
所以抛物线的方程是或．
（3）因为对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2，可知，即，
所以抛物线的方程是或．
（4）因为对称轴是轴，设抛物线方程为，
因为抛物线经过点，可得，解得，
所以抛物线的方程是．
19．已知双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上的一点，．
(1)求双曲线的标准方程
(2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，利用双曲线定义，得到，再由，求得，即可求得双曲线的方程；
（2）由（1）中双曲线的方程，得到的值，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为双曲线的两个焦点分别是，所以双曲线的焦点在轴上，
又因为点是双曲线上的一点，且，
根据双曲线的定义，可得，所以，
又由，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）解：由（1）知，双曲线的方程为，可得，
所以双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，顶点坐标为，
离心率为，渐近线方程为.
20．平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为．
(1)求圆的标准方程；
(2)若与圆相切，求m的值；
(3)若直线被圆截得的弦长，求的值.
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或.
【分析】（1）根据两点间距离公式求出半径，然后可得标准方程；
（2）根据圆心到直线距离等于半径即可求解；
（3）利用弦长公式求出圆心到直线的距离，然后由点到直线的距离公式求解可得.
【详解】（1）由题意知，，
所以圆的方程为．
（2）若与圆相切，
则圆心到直线的距离，
解得或
（3）设圆心到直线的距离为，则有
因为，所以，
由点到直线的距离公式得，解得或．
21．已知圆与圆．
(1)判断圆与圆的位置关系
(2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)相交
(2)
【分析】（1）求出圆心距与两圆半径的和、差比较可得；
（2）求出两圆交点坐标，设出圆心坐标，由圆心到这两个交点距离相等求得参数值，得圆心坐标，再计算出半径后可得圆方程．
【详解】（1）圆可得圆心，半径，
圆化成标准方程为，得圆心，半径，，
则，即，
所以圆与圆相交.
（2）由，解得或，
则交点，，
因为圆心在直线上，所以设圆心，
则，即，解得，
可得圆心，半径为，
所以所求圆的方程为.
22．已知椭圆的两个焦点分别为，并经过点
(1)求椭圆的标准方程
(2)过坐标原点且倾斜角为的直线与椭圆交与A，B两点，求
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用椭圆的定义，求得，结合，求得的值，即可求解；
（2）根据题意，得到直线方程为，联立方程组，求得的坐标，进而求得.
【详解】（1）因为椭圆的两个焦点分别为，可得椭圆的焦点在轴上，
又因为椭圆过点，
根据椭圆的定义得：，可得，
又由，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）过坐标原点且倾斜角为的直线，可得斜率为，其方程为，
设，不妨设
联立方程组，整理得，解得和，
所以，
所以.