提优点5　衍生数列问题

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衍生数列是指由已知数列通过插项、去项得到新数列，或由已知的两个数列的公共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列的关系，确定衍生数列的特征，以此来解决问题.
【类型突破】
类型一 数列中的去项问题
例1 (2023·常州质测)记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，已知a1＝b2＝4，q＝eq \f(2,3)d，S9＝9b4.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)将{an}，{bn}中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列{cn}，求{cn}的前100项和.
易错提醒 解答去项问题的易错之处是不能准确确定数列中去掉的项数，或求和时不会采取原数列和减去去掉各项和的方法.
训练1 (2023·盘锦模拟)已知正项数列{an}和{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，且满足4Sn＝aeq \\al(2,n)＋2an，an＝2lg2bn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)将数列{an}中与数列{bn}相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Tn，求T100.
类型二 数列中的公共项问题
例2 已知数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(3n2＋n,2)，{bn}的前n项之积Tn＝2eq \f(n（n＋1）,2).
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值.
规律方法 两个等差数列的公共项还是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项还是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.
训练2 (2020·新高考Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为__________.
类型三 数列中的并项问题
例3 (2023·济南模拟)在①6Sn＝aeq \\al(2,n)＋3an－4；②an＝2an－1－3n＋5这两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知正项等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}前n项和为Sn，满足a2＝2b2－1，a3＝b3＋2，________.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前70项和.
易错提醒 解答本题易出现的失误是没有理解A∪B中的元素的特征，求数列{cn}的前70项和时没有去掉公共项.
训练3 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2，数列{bn}满足2bn＝bn－1＋bn＋1，且a2＝4b1，a3＝b8.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)将{an}和{bn}中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100.
类型四 数列中的插项问题
例4 (2023·南京质检)已知等差数列{an}满足：a1＋3，a3，a4成等差数列，且a1，a3，a8成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在任意相邻两项ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}.记Sn为数列{bn}的前n项和，求满足Sn