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    微专题6 等差数列与等比数列

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    这是一份微专题6 等差数列与等比数列,共7页。

    【真题体验】
    1.(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=( )
    A.120 B.85
    C.-85 D.-120
    2.(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA′,BB′,CC′,DD′是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为eq \f(DD1,OD1)=0.5,eq \f(CC1,DC1)=k1,eq \f(BB1,CB1)=k2,eq \f(AA1,BA1)=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=( )
    B.0.8
    D.0.9
    3.(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=________.
    4.(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
    ①数列{an}是等差数列;②数列{eq \r(Sn)}是等差数列;③a2=3a1.
    注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
    【热点突破】
    热点一 等差、等比数列的基本运算
    1.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d.
    2.等比数列的通项公式:an=a1·qn-1.
    3.等差数列的求和公式:
    Sn=eq \f(n(a1+an),2)=na1+eq \f(n(n-1),2)d;
    4.等比数列的求和公式:
    Sn=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1(1-qn),1-q)=\f(a1-anq,1-q),q≠1,,na1,q=1.))
    例1 (1)(2023·威海模拟)已知等比数列{an}的前三项和为84,a2-a5=21,则{an}的公比为( )
    A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
    C.2 D.4
    (2)(多选)(2023·宿州模拟)我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方,如图所示,将1,2,3,…,9填入3×3的方格内,使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等,便得到一个3阶幻方.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等,这个正方形叫作n阶幻方.记n阶幻方的数的和(即方格内的所有数的和)为Sn,如S3=45,那么下列说法正确的是( )
    A.S6=666
    B.7阶幻方第4行第4列的数字可以为25
    C.8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260
    D.9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为410
    规律方法 等差、等比数列的基本量问题的求解
    (1)抓住基本量:首项a1、公差d或公比q.
    (2)熟悉一些结构特征,如前n项和为Sn=an2+bn(a,b是常数)形式的数列为等差数列,通项公式为an=p·qn-1(p,q≠0)形式的数列为等比数列.
    训练1 (1)(2023·丽水调研)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,eq \f(Sn,Tn)=eq \f(3n-2,2n+1),a1=2,则{bn}的公差为________.
    (2)(2023·广州二模)如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图案的作法为:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1,将图①,图②,图③,图④中的图案周长依次记为C1,C2,C3,C4,则eq \f(C1C5,C2)=________.
    热点二 等差、等比数列的性质
    1.通项性质:若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则对于等差数列,有am+an=ap+aq=2ak,对于等比数列,有aman=apaq=aeq \\al(2,k).
    2.前n项和的性质(m,n∈N*):
    对于等差数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差数列;对于等比数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列(q=-1且m为偶数情况除外).
    例2 (1)在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=eq \f(12,5),a4a5=-eq \f(2,5),则eq \f(1,a1)+eq \f(1,a2)+eq \f(1,a3)+eq \f(1,a4)+eq \f(1,a5)+eq \f(1,a6)+eq \f(1,a7)+eq \f(1,a8)=( )
    A.-6 B.-eq \f(24,25)
    C.eq \f(14,5) D.2
    (2)(多选)(2023·梅州模拟)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题正确的是( )
    A.若d<0,则S1是数列{Sn}的最大项
    B.若数列{Sn}有最小项,则d>0
    C.若数列{Sn}是递减数列,则对任意的:n∈N*,均有Sn<0
    D.若对任意的n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列
    规律方法 等差、等比数列性质问题的求解
    (1)抓关系,抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手,选择恰当的性质进行求解.
    (2)用性质,数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题.
    训练2 (1)(2023·聊城质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若eq \f(S4,S8)=eq \f(2,5),则eq \f(S8,S16)=( )
    A.eq \f(5,14) B.eq \f(7,26)
    C.eq \f(3,5) D.eq \f(2,5)
    (2)(2023·赣州模拟)若等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且0A.q>1
    B.0C.Sn的最大值为S8
    D.Tn的最大值为T8
    热点三 等差、等比数列的证明
    证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
    例3 (2023·盐城调研)若数列{an}满足:a1=1,a2=5,对于任意的n∈N*,都有an+2=6an+1-9an.
    (1)证明:数列{an+1-3an}是等比数列;
    (2)求数列{an}的通项公式.
    规律方法 (1)aeq \\al(2,n)=an-1an+1(n≥2)是{an}为等比数列的必要不充分条件,也就是判断一个数列是等比数列时,要注意各项不为0.
    (2){an}为等比数列,可推出a1,a2,a3成等比数列,但a1,a2,a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列.
    (3)证明{an}不是等比数列可用特值法.
    训练3 设Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知eq \f(2,Sn)+eq \f(1,bn)=2.
    (1)证明:数列{bn}是等差数列;
    (2)求{an}的通项公式.
    等差数列
    等比数列
    定义法
    an+1-an=d
    eq \f(an+1,an)=q(q≠0)
    通项法
    an=a1+(n-1)d
    an=a1·qn-1
    中项法
    2an=an-1+an+1(n≥2)
    aeq \\al(2,n)=an-1an+1(n≥2,an≠0)
    前n项和法
    Sn=an2+bn(a,b为常数)
    Sn=kqn-k(k≠0,q≠0,1)
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