微专题6　等差数列与等比数列

这是一份微专题6　等差数列与等比数列，共7页。

【真题体验】
1.(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )
A.120 B.85
C.－85 D.－120
2.(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为eq \f(DD1,OD1)＝0.5，eq \f(CC1,DC1)＝k1，eq \f(BB1,CB1)＝k2，eq \f(AA1,BA1)＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝( )
B.0.8
D.0.9
3.(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.
4.(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列{eq \r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【热点突破】
热点一 等差、等比数列的基本运算
1.等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
2.等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
3.等差数列的求和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d；
4.等比数列的求和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))
例1 (1)(2023·威海模拟)已知等比数列{an}的前三项和为84，a2－a5＝21，则{an}的公比为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.2 D.4
(2)(多选)(2023·宿州模拟)我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入3×3的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方.记n阶幻方的数的和(即方格内的所有数的和)为Sn，如S3＝45，那么下列说法正确的是( )
A.S6＝666
B.7阶幻方第4行第4列的数字可以为25
C.8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260
D.9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为410
规律方法 等差、等比数列的基本量问题的求解
(1)抓住基本量：首项a1、公差d或公比q.
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)形式的数列为等比数列.
训练1 (1)(2023·丽水调研)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n－2,2n＋1)，a1＝2，则{bn}的公差为________.
(2)(2023·广州二模)如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图案的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图案周长依次记为C1，C2，C3，C4，则eq \f(C1C5,C2)＝________.
热点二 等差、等比数列的性质
1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝aeq \\al(2,k).
2.前n项和的性质(m，n∈N*)：
对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).
例2 (1)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝eq \f(12,5)，a4a5＝－eq \f(2,5)，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a3)＋eq \f(1,a4)＋eq \f(1,a5)＋eq \f(1,a6)＋eq \f(1,a7)＋eq \f(1,a8)＝( )
A.－6 B.－eq \f(24,25)
C.eq \f(14,5) D.2
(2)(多选)(2023·梅州模拟)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是( )
A.若d<0，则S1是数列{Sn}的最大项
B.若数列{Sn}有最小项，则d>0
C.若数列{Sn}是递减数列，则对任意的：n∈N*，均有Sn<0
D.若对任意的n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
规律方法 等差、等比数列性质问题的求解
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.
训练2 (1)(2023·聊城质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(S4,S8)＝eq \f(2,5)，则eq \f(S8,S16)＝( )
A.eq \f(5,14) B.eq \f(7,26)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(2,5)
(2)(2023·赣州模拟)若等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且0A.q>1
B.0C.Sn的最大值为S8
D.Tn的最大值为T8
热点三 等差、等比数列的证明
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
例3 (2023·盐城调研)若数列{an}满足：a1＝1，a2＝5，对于任意的n∈N*，都有an＋2＝6an＋1－9an.
(1)证明：数列{an＋1－3an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
规律方法 (1)aeq \\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.
(2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列.
(3)证明{an}不是等比数列可用特值法.
训练3 设Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知eq \f(2,Sn)＋eq \f(1,bn)＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式.
等差数列
等比数列
定义法
an＋1－an＝d
eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0)
通项法
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1·qn－1
中项法
2an＝an－1＋an＋1(n≥2)
aeq \\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)
前n项和法
Sn＝an2＋bn(a，b为常数)
Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0，1)