微专题9　数列中的最值、范围问题

展开

这是一份微专题9　数列中的最值、范围问题，共5页。

【真题体验】
1.(2022·浙江卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an－eq \f(1,3)aeq \\al(2,n)(n∈N*)，则( )
A.2<100a100C.3<100a1002.(2022·北京卷)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1，2，…).给出下列四个结论：
①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列；③{an}为递减数列；④{an}中存在小于eq \f(1,100)的项，其中所有正确结论的序号是________.
3.(2021·浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－eq \f(9,4)，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
【热点突破】
热点一求数列和式的最值、范围
求数列和式最值、范围的基本方法
(1)利用不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Sn≥Sn＋1，,Sn≥Sn－1))(n≥2)确定和式的最大值；
利用不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Sn≤Sn＋1，,Sn≤Sn－1))(n≥2)确定和式的最小值.
(2)利用和式的单调性；
(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1＝1，nan－(n－1)an－1＝2n－1，b1b2b3…bnbn＋1＝3Sn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝(－1)n＋1·eq \f(an,bn)，Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn的最值.
规律方法利用数列和式的单调性求其最值，要首先证明数列的单调性，并且注意数列与函数的区别与联系.
训练1 (2023·南平联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝2eq \r(Sn)＋1，a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(1,4Sn－1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围.
热点二求n的最值或范围
求n的值或最值，一般涉及数列的项或和的最值与范围，通常化归为解关于n的不等式，或根据数列的单调性求解.
例2 (2023·湖州质检)已知数列{an}是递增的等比数列.设其公比为q，前n项和为Sn，且满足a1＋a5＝34，8是a2与a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝n·an，Tn是{bn}的前n项和，求使Tn－n·2n＋1>－100成立的最大正整数n的值.
易错提醒解答本题要首先正确求出Tn，在求n的最值时要结合Tn－n·2n＋1的单调性，同时注意n∈N*求解.
训练2 (2023·广州联考)已知数列{an}和{bn}满足an＋bn＝2n＋1，且{bn}满足beq \\al(2,n＋1)＝bn·bn＋2，a2＝1，a3＝－1.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求当Sn＋2n＋1≥50时，正整数n的最小值.
热点三求数列不等式中参数的取值范围
此类问题以数列为载体，一般涉及数列的求和，考查不等式的恒成立问题，可转化为函数的最值问题.
例3 (2023·安庆模拟)数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＝2an＋1－an.
(1)求a2、a3，并求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn；
(3)设bn＝eq \f(1,n（12－an）)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的正整数m，使得对任意n∈N*均有Tn>eq \f(m,32)成立？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由.
易错提醒求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立，还是有解问题，若f(n)≥M恒成立，则f(n)min≥M；若f(n)≥M有解，则f(n)max≥M.
训练3 已知数列{an}中，an＝1＋eq \f(1,a＋2（n－1）)(a≠0).
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.