微专题10　空间几何体的表面积和体积

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高考定位 空间几何体的表面积和体积是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题为主，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.
【真题体验】
1.(2023·全国甲卷)在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq \r(6)，则该棱锥的体积为( )
A.1 B.eq \r(3)
C.2 D.3
2.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为eq \r(3)，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝eq \f(2π,3)，若△PAB的面积等于eq \f(9\r(3),4)，则该圆锥的体积为( )
A.π B.eq \r(6)π
C.3π D.3eq \r(6)π
3.(2023·天津卷)在三棱锥P－ABC中，线段PC上的点M满足PM＝eq \f(1,3)PC，线段PB上的点N满足PN＝eq \f(2,3)PB，则三棱锥P－AMN和三棱锥P－ABC的体积之比为( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(2,9)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(4,9)
4.(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq \r(2)，则该棱台的体积为________.
【热点突破】
热点一 空间几何体的侧面积、表面积
柱体、锥体、台体和球的表面积公式：
(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).
(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l).
(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl).
(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.
例1 (1)如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷、佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为( )
A.eq \r(3)∶2 B.eq \r(2)∶2
C.eq \r(3)∶3 D.eq \r(3)∶4
(2)(2023·商丘联考)如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，假设上、下底面圆是封闭的，已知AB＝9 cm，CD＝3 cm，则该青铜器的表面积为( )
A.eq \f(（36\r(3)＋81）π,2) cm2 B.(18eq \r(3)＋58)π cm2
C.eq \f(（24\r(3)＋81）π,2) cm2 D.(18eq \r(3)＋36)π cm2
易错提醒 1.旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用.
2.多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部分的处理.
训练1 (1)(2023·西安模拟)“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为( )
A.12eq \r(2) B.32
C.20＋12eq \r(2) D.20＋12eq \r(3)
(2)(2023·烟台模拟)如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为eq \f(1,3)，则圆台的侧面积为( )
A.eq \f(8π,3) B.eq \f(\r(35)π,2)
C.eq \f(16π,3) D.8π
热点二 空间几何体的体积
柱体、锥体、台体和球的体积公式：
(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
(2)V锥体＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)；
(3)V台体＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)；
(4)V球＝eq \f(4,3)πR3.
考向1 直接利用公式求体积
例2 (1)(2023·金华模拟)已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( )
A.eq \f(\r(3)π,3) B.eq \f(\r(3)π,2)
C.eq \f(\r(2)π,3) D.π
(2)(2023·湛江模拟)元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯.如图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40 cm和20 cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10 cm和60 cm，则该花灯的体积为( )
A.46 000eq \r(3) cm3 B.48 000eq \r(3) cm3
C.50 000eq \r(3) cm3 D.52 000eq \r(3) cm3
考向2 割补法求体积
例3 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.
考向3 等体积法求体积
例4 三棱锥A－BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD.若AB＝3，BD＝1，则该三棱锥体积的最大值为( )
A.2 B.eq \f(4,3)
C.1 D.eq \f(2,3)
规律方法 1.规则的几何体可以直接利用相应的公式求解，这就需要熟记柱体、锥体的体积公式；
2.不规则的几何体往往可以通过“间接法”——割补法求得，即把不规则的几何体通过“割补”手段，转化为规则几何体体积的和或差.
训练2 (1)(2023·潍坊模拟)紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，现在向这个空石瓢壶中加入91π cm3的矿泉水后，问石瓢壶内水深为( )cm
A.2.8 B.2.9
C.3 D.3.1
(2)(多选)(2023·营口模拟)如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，PA＝BC＝2BE＝2AB＝2，记四面体P－CDE，E－PBC，E－PAC的体积分别为V1、V2、V3，则下列说法正确的是( )
A.该几何体的体积为eq \f(4,3) B.V3＝2V2
C.3V1＝2V2 D.V1＋V2＝V3