微专题15　计数原理

这是一份微专题15　计数原理，共5页。
2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，有时也与函数、不等式、数列交汇考查.
【真题体验】
1.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A.30种 B.60种
C.120种 D.240种
2.(2023·全国甲卷)现有5名志愿者参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A.120种 B.60种
C.30种 D.20种
3.(2022·浙江卷)已知多项式(x＋2)·(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.
4.(2022·新高考Ⅰ卷)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________.(用数字作答)
【热点突破】
热点一 两个计数原理
(1)利用分类加法计数原理时注意根据题目特点选择一个恰当的分类标准，分类时注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类.
(2)利用分步乘法计数原理时，注意将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当各步骤都完成了，这件事才能完成.
例1 (1)(2023·川大附中二模)为了备战下一届排球世锦赛，中国国家队甲、乙、丙、丁四人练习传球，第1次由甲传给乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者传给另外三人中的任意一人，往后依次类推，经过4次传球，球仍回到甲手中，则传法总数为( )
A.30 B.24
C.21 D.12
(2)(2023·临汾模拟)如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有________种不同的绿化方案(用数字作答).
规律方法 利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事.
(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图.
(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步.
训练1 (1)(2023·贵阳模拟)“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中A，B，C为节点，若研究发现本局游戏只能以A为起点C为终点或者以C为起点A为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为( )
A.6种 B.12种
C.24种 D.30种
(2)(2023·宁波质检)十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们有时是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对.每对生肖相辅相成，构成一种完美人格.现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六组.甲、乙、丙三位同学依次选一组作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、羊和猴，丙同学喜欢兔、马和狗.若甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数为________.
热点二 排列与组合
解决排列、组合问题的一般步骤
(1)认真审题弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素.
例2 (1)(2023·广州二模)现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有________种.(用数字作答)
(2)(2023·郑州二模)某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有________种.(用数字作答)
规律方法 排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化.
训练2 (1)(2023·福州模拟)如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有( )
A.96种 B.64种
C.32种 D.16种
(2)小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字如下表所示：
比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中 (没有放入火柴棒的空位表示数字“0”)，那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为( )
A.8 B.12
C.16 D.20
热点三 二项式定理
1.求(a＋b)n的展开式中的特定项一般要应用通项公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk(k＝0，1，2，…，n).
2.求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解.
3.求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法.
4.求解系数和问题应用赋值法.
例3 (1)(多选)(2023·青岛模拟)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))8的展开式中，下列说法正确的是( )
A.常数项是1120
B.第四项和第六项的系数相等
C.各项的二项式系数之和为256
D.各项的系数之和为256
(2)(2023·永州二模)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)＋2))eq \s\up12(5)的展开式中x2的系数是________.
(3)已知x4＋x8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a0＝________，a1＋a3＋a5＋a7＝________.
易错提醒 1.二项式(a＋b)n的展开式的通项公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk(k＝0，1，2，…，n)表示的是二项展开式的第k＋1项，而不是第k项.
2.要区分某项的二项式系数和系数.
训练3 (1)(2023·葫芦岛模拟)(x＋y)(x－2y)6的展开式中x4y3的系数为( )
A.－80 B.－100
C.100 D.80
(2)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，则a6等于( )
A.－448 B.－112
C.112 D.448
(3)(2023·武汉调研)(2x＋y)8的展开式中各项系数的最大值为( )
A.112 B.448
C.896 D.1 792