微专题17　随机变量及其分布

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【真题体验】
1.(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.
2.(2022·北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)
【热点突破】
热点一 分布列的性质及应用
离散型随机变量X的分布列为
则：(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1；
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn；
(4)D(X)＝eq \(∑,\s\up14(n),\s\d10(i＝1))[xi－E(X)]2pi；
(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).
例1 (1)(多选)设离散型随机变量X的分布列如下表：
若离散型随机变量Y＝－3X＋1，且E(X)＝3，则( )
A.m＝0.1 B.n＝0.1
C.E(Y)＝－8 D.D(Y)＝－7.8
(2)已知随机变量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)＝D(ξ)，则下列结论中不可能成立的是( )
A.a＝eq \f(1,3) B.a＝eq \f(2,3)
C.k＝eq \f(1,2) D.k＝eq \f(3,2)
规律方法 分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
训练1 (1)已知随机变量X，Y的分布列如下：
则( )
A.D(X)＝3D(Y) B.D(Y)＝3D(X)
C.D(X)＝9D(Y) D.D(Y)＝9D(X)
(2)设a>0，若随机变量ξ的分布列如下：
则下列方差值中最大的是( )
A.D(ξ) B.D(|ξ|)
C.D(2ξ－1) D.D(2|ξ|＋1)
热点二 随机变量的分布列
1.二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0