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(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升3.1《导数的概念及其意义、导数的运算》(2份打包,原卷版+教师版)
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1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象,理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数.
知识梳理
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f′(x0)或 SKIPIF 1 < 0 .
f′(x0)=eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)=eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0+Δx-fx0,Δx).
(2)函数y=f(x)的导函数f′(x)=eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx+Δx-fx,Δx).
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y﹣f(x0)=f′(x0)(x﹣x0).
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有
[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′=eq \f(f′xgx-fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0);[cf(x)]′=cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
常用结论
1.区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线,该点一定是切点,切线有且仅有一条.
(2)过点处的切线,该点不一定是切点,切线至少有一条.
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′=eq \f(-f′x,[fx]2)(f(x)≠0).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
(3)f′(x0)=[f(x0)]′.( )
(4)若f(x)=sin (﹣x),则f′(x)=cs (﹣x).( )
教材改编题
1.函数f(x)=ex+eq \f(1,x)在x=1处的切线方程为________.
2.已知函数f(x)=xln x+ax2+2,若f′(e)=0,则a=________.
3.若f(x)=ln(1﹣x)+e1﹣x,则f′(x)=________.
题型一 导数的运算
例1 (1)(多选)下列求导运算正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′=﹣eq \f(1,xln2x) B.(x2ex)′=2x+ex
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))))′=﹣sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,x)))′=1+eq \f(1,x2)
(2)函数f(x)的导函数为f′(x),若f(x)=x2+f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x,则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))=________.
教师备选
1.函数y=sin 2x﹣cs 2x的导数y′等于( )
A.2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,4))) B.cs 2x+sin x
C.cs 2x﹣sin 2x D.2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))
2.已知函数f′(x)=exsin x+excs x,则f(2 021)﹣f(0)等于( )
A.e2 021cs 2 021 B.e2 021sin 2 021
C.eq \f(e,2) D.e
思维升华
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
跟踪训练1 (1)若函数f(x),g(x)满足f(x)+xg(x)=x2﹣1,且f(1)=1,则f′(1)+g′(1)等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知函数f(x)=ln(2x﹣3)+axe﹣x,若f′(2)=1,则a=________.
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y=eq \f(2x-1,x+2)在点(﹣1,﹣3)处的切线方程为__________.
(2)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,﹣1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为__________.
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)直线y=kx+1与曲线f(x)=aln x+b相切于点P(1,2),则2a+b等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
(2)过定点P(1,e)作曲线y=aex(a>0)的切线,恰有2条,则实数a的取值范围是________.
教师备选
1.已知曲线f(x)=x3﹣x+3在点P处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直,则P点的坐标为( )
A.(1,3) B.(﹣1,3)
C.(1,3)或(﹣1,3) D.(1,﹣3)
2.已知M是曲线y=ln x+eq \f(1,2)x2+(1﹣a)x上的任一点,若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于eq \f(π,4)的锐角,则实数a的取值范围是( )
A.[2,+∞) B.[4,+∞)
C.(﹣∞,2] D.(﹣∞,4]
思维升华
(1)处理与切线有关的参数问题,关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:
①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”.
跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y=x+m与曲线y=ex﹣2n相切,则( )
A.m+n为定值 B.eq \f(1,2)m+n为定值
C.m+eq \f(1,2)n为定值 D.m+eq \f(1,3)n为定值
(2)若函数f(x)=ln x+2x2﹣ax的图象上存在与直线2x﹣y=0平行的切线,则实数a的取值范围是______.
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)已知函数f(x)=xln x,g(x)=x2+ax(a∈R),直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0),若直线l与g(x)的图象也相切,则a等于( )
A.0 B.﹣1 C.3 D.﹣1或3
(2)若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则a的取值范围为________.
延伸探究 在本例(2)中,把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”,则a的取值范围为________.
教师备选
1.若f(x)=ln x与g(x)=x2+ax两个函数的图象有一条与直线y=x平行的公共切线,则a等于( )
A.1 B.2 C.3 D.3或﹣1
2.已知曲线y=ex在点(x1, SKIPIF 1 < 0 )处的切线与曲线y=ln x在点(x2,ln x2)处的切线相同,则(x1+1)(x2﹣1)等于( )
A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2
思维升华 公切线问题,应根据两个函数在切点处的斜率相等,且切点既在切线上又在曲线上,列出有关切点横坐标的方程组,通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线,利用两切线重合列方程组求解.
跟踪训练3
(1)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)=﹣2x2+m,g(x)=﹣3ln x﹣x,若以上两函数的图象有公共点,且在公共点处切线相同,则m的值为( )
A.2 B.5 C.1 D.0
(2)已知f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+2,直线l是f(x)与g(x)的公切线,则直线l的方程为____________________.
课时精练
1.下列函数的求导正确的是( )
A.(x﹣2)′=﹣2x B.(xcs x)′=cs x﹣xsin x
C.(ln 10)′=eq \f(1,10) D.(e2x)′=2ex
2.曲线y=2cs x+sin x在(π,﹣2)处的切线方程为( )
A.x﹣y+π﹣2=0 B.x﹣y﹣π+2=0
C.x+y+π﹣2=0 D.x+y﹣π+2=0
3.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)等于( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.4
4.已知点A是函数f(x)=x2﹣ln x+2图象上的点,点B是直线y=x上的点,则|AB|的最小值为( )
A.eq \r(2) B.2 C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(16,3)
5.设曲线f(x)=aex+b和曲线g(x)=cs eq \f(πx,2)+c在它们的公共点M(0,2)处有相同的切线,则b+c﹣a的值为( )
A.0 B.π C.﹣2 D.3
6.设点P是函数f(x)=2ex﹣f′(0)x+f′(1)图象上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),π)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),π))
7.(多选)已知函数f(x)的图象如图,f′(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是( )
A.f′(3)>f′(2) B.f′(3)f′(3) D.f(3)﹣f(2)
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