(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升3.1《导数的概念及其意义、导数的运算》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或 SKIPIF 1 < 0 .
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y﹣f(x0)＝f′(x0)(x﹣x0)．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝eq \f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( )
(4)若f(x)＝sin (﹣x)，则f′(x)＝cs (﹣x)．( )
教材改编题
1．函数f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1处的切线方程为________．
2．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.
3．若f(x)＝ln(1﹣x)＋e1﹣x，则f′(x)＝________.
题型一 导数的运算
例1 (1)(多选)下列求导运算正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝﹣eq \f(1,xln2x) B．(x2ex)′＝2x＋ex
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))′＝﹣sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
教师备选
1．函数y＝sin 2x﹣cs 2x的导数y′等于( )
A．2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) B．cs 2x＋sin x
C．cs 2x﹣sin 2x D．2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))
2．已知函数f′(x)＝exsin x＋excs x，则f(2 021)﹣f(0)等于( )
A．e2 021cs 2 021 B．e2 021sin 2 021
C.eq \f(e,2) D．e
思维升华
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
跟踪训练1 (1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2﹣1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知函数f(x)＝ln(2x﹣3)＋axe﹣x，若f′(2)＝1，则a＝________.
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(﹣1，﹣3)处的切线方程为__________．
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，﹣1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为__________．
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)过定点P(1，e)作曲线y＝aex(a>0)的切线，恰有2条，则实数a的取值范围是________．
教师备选
1．已知曲线f(x)＝x3﹣x＋3在点P处的切线与直线x＋2y﹣1＝0垂直，则P点的坐标为( )
A．(1,3) B．(﹣1,3)
C．(1,3)或(﹣1,3) D．(1，﹣3)
2．已知M是曲线y＝ln x＋eq \f(1,2)x2＋(1﹣a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于eq \f(π,4)的锐角，则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(﹣∞，2] D．(﹣∞，4]
思维升华
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．
跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝ex﹣2n相切，则( )
A．m＋n为定值 B.eq \f(1,2)m＋n为定值
C．m＋eq \f(1,2)n为定值 D．m＋eq \f(1,3)n为定值
(2)若函数f(x)＝ln x＋2x2﹣ax的图象上存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是______．
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于( )
A．0 B．﹣1 C．3 D．﹣1或3
(2)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为________．
延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为________．
教师备选
1．若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于( )
A．1 B．2 C．3 D．3或﹣1
2．已知曲线y＝ex在点(x1， SKIPIF 1 < 0 )处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2﹣1)等于( )
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
跟踪训练3
(1)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝﹣2x2＋m，g(x)＝﹣3ln x﹣x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A．2 B．5 C．1 D．0
(2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为____________________．
课时精练
1．下列函数的求导正确的是( )
A．(x﹣2)′＝﹣2x B．(xcs x)′＝cs x﹣xsin x
C．(ln 10)′＝eq \f(1,10) D．(e2x)′＝2ex
2．曲线y＝2cs x＋sin x在(π，﹣2)处的切线方程为( )
A．x﹣y＋π﹣2＝0 B．x﹣y﹣π＋2＝0
C．x＋y＋π﹣2＝0 D．x＋y﹣π＋2＝0
3．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于( )
A．﹣1 B．0 C．2 D．4
4．已知点A是函数f(x)＝x2﹣ln x＋2图象上的点，点B是直线y＝x上的点，则|AB|的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2 C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(16,3)
5．设曲线f(x)＝aex＋b和曲线g(x)＝cs eq \f(πx,2)＋c在它们的公共点M(0,2)处有相同的切线，则b＋c﹣a的值为( )
A．0 B．π C．﹣2 D．3
6．设点P是函数f(x)＝2ex﹣f′(0)x＋f′(1)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
7.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．f′(3)>f′(2) B．f′(3)f′(3) D．f(3)﹣f(2)