高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列课时训练

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1.[2022·河北唐山高二期末]若a，b，c成等比数列且公比为q，那么eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)( )
A．不一定是等比数列
B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为eq \f(1,q)
D．一定是等比数列，且公比为q
2．[2022·福建福州高二期中]设{an}是等比数列，若a2＝4，a1a5＝64，则a4＝( )
A．8B．12
C．16D．32
3．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为____________．
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
提能力
5.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，那么a3a6a9…a30＝( )
A．210B．220
C．216D．215
6．(多选)[2022·山东德州高二期中]下列结论正确的是( )
A．若数列{an}是等差数列，则{2an}为等比数列
B．若数列{an}是等比数列，则{lnan}为等差数列
C．若数列{an}满足an＋1＝qan，则{an}为等比数列
D．若数列{an}是等差数列，bn＝a2n－1＋a2n，则{bn}为等差数列
7．[2022·江苏常州高二期末]已知数列{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝3，则a6＋a7＋a8＝____________．
8．在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝45，求an.
9．数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－an＋1)),1－an)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋an)),1＋an＋1)，数列bn＝1－a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ，数列cn＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) (n∈N*).
(1)求证：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{cn}的通项公式．
10．假设某市2021年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底：
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
培优生
11.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形，分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的．按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝i(i∈N*)时，该黑色三角形内一共去掉的小三角形的个数为____________．
12．[2022·广东佛山高二期中]“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告．为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为a1万平方公里，第n年绿洲的面积为an万平方公里．
(1)求第n年绿洲的面积an与上一年绿洲的面积an－1的关系；
(2)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(4,5)))是等比数列，并求{an}的通项公式；
(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%？(参考数据：lg2＝0.3010)
课时作业(八) 等比数列的性质
1．解析：因为a，b，c成等比数列且公比为q，所以eq \f(b,a)＝q，b2＝ac，可得eq \f(1,b2)＝eq \f(1,ac)，eq \f(\f(1,b),\f(1,a))＝eq \f(a,b)＝eq \f(1,q)，由等比数列的中项可判断得eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等比数列，并且公比为eq \f(1,q).
故选C.
答案：C
2．解析：{an}是等比数列，所以a2a4＝a1a5＝64，a4＝eq \f(64,4)＝16.
故选C.
答案：C
3．解析：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝25.
答案：25
4．解析：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2).当n≥2时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2n,2n－1)＝2.
当n＝1时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(2,2＋a).
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
5．解析：设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，C＝a3a6a9…a30，
则A，B，C成等比数列，公比为q10＝210，且B2＝A·C，
由条件得A·B·C＝230，
所以B3＝230，所以B＝210，所以C＝B·210＝220.
故选B.
答案：B
6．解析：对于A，设数列{an}的公差为d，则eq \f(2an＋1,2an)＝2an＋1－an＝2d≠0，首项为2a1≠0，
所以{2an}为等比数列，故A正确；
对于B，当an>0恒成立时，设公比为q，有lnan＋1－lnan＝lneq \f(an＋1,an)＝lnq，
则{lnan}为等差数列，当an>0不恒成立时，设ak≤0则lnak无意义，故B不成立；
对于C，若q＝0或an＝0时，{an}不是等比数列，故C不成立；
对于D，设数列{an}的公差为d，由bn＋1－bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2n＋1＋a2n＋2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2n－1＋a2n))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2n＋1－a2n－1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2n＋2－a2n))＝4d，
所以{bn}为等差数列，故D正确．
故选AD.
答案：AD
7．解析：由题意，设等比数列公比为q，则a2＋a3＋a4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3))q，故q＝3，所以a6＋a7＋a8＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3))q5＝35＝243.
答案：243
8．解析：设等比数列{an}的公比为q.
根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2a5＝a3a4＝45，,a2＋a5＝18，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝3，,a5＝15))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝15，,a5＝3.))
∴q＝5eq \f(1,3)或q＝5－eq \f(1,3).
∴an＝3×5eq \s\up6(\f(n－2,3))或an＝3×5eq \s\up6(\f(5－n,3)).
9．解析：(1)由题设，3(1－a eq \\al(2,n＋1) )＝2(1－a eq \\al(2,n) )且an≠±1，即3bn＋1＝2bn且bn≠0，而b1＝1－a eq \\al(2,1) ＝eq \f(3,4)，
所以eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(2,3)且b1＝eq \f(3,4)，则{bn}是首项为eq \f(3,4)，公比为eq \f(2,3)的等比数列，得证．
(2)由(1)可得：bn＝eq \f(3,4)·(eq \f(2,3))n－1，故a eq \\al(2,n) ＝1－eq \f(3,4)·(eq \f(2,3))n－1，则a eq \\al(2,n＋1) ＝1－eq \f(3,4)·(eq \f(2,3))n，
所以cn＝a eq \\al(2,n＋1) －a eq \\al(2,n) ＝eq \f(9,8)·(eq \f(2,3))n－eq \f(3,4)·(eq \f(2,3))n＝eq \f(3,8)·(eq \f(2,3))n.
则{cn}的通项公式为cn＝eq \f(3,8)·(eq \f(2,3))n.
10．解析：(1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，
其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋eq \f(n（n－1）,2)×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，
n是正整数，则n≥10.
即到2030年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．
(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1.
由题意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85.
n是正整数，则n的最小值为6.
∴当2026年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
11．解析：由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，
则当n＝1时，a1＝1；
当n＝2时，a2＝3＋1＝4；
当n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；
当n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；
当n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；
当n＝6时，a6＝3×121＋1＝364.
可以猜测an＋1＝3an＋1，可化为an＋1＋eq \f(1,2)＝3(an＋eq \f(1,2))，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,2)))为首项为eq \f(3,2)，公比为3的等比数列，
有an＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)×3n－1，可得an＝eq \f(3n－1,2)，
故当n＝i时，ai＝eq \f(3i－1,2).
答案：eq \f(3i－1,2)
12．解析：(1)依题意，n∈N*，n≥2，an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝eq \f(4,5)an－1＋eq \f(4,25)，
所以an＝eq \f(4,5)an－1＋eq \f(4,25)，n≥2.
(2)证明：由(1)知，n∈N*，n≥2，an＝eq \f(4,5)an－1＋eq \f(4,25)，即an－eq \f(4,5)＝eq \f(4,5)(an－1－eq \f(4,5))，又a1＝eq \f(3,10)，有a1－eq \f(4,5)＝－eq \f(1,2)，
于是得eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(4,5)))是以－eq \f(1,2)为首项，eq \f(4,5)为公比的等比数列，则an－eq \f(4,5)＝－eq \f(1,2)×(eq \f(4,5))n－1，
所以an＝－eq \f(1,2)×(eq \f(4,5))n－1＋eq \f(4,5).
(3)由(2)知，an＝－eq \f(1,2)×(eq \f(4,5))n－1＋eq \f(4,5)>eq \f(3,5)，即(eq \f(4,5))n－1则n－1>eq \f(lg\f(2,5),lg\f(4,5))＝eq \f(lg2－lg5,2lg2－lg5)＝eq \f(1－2lg2,1－3lg2)＝eq \f(1－2×0.301,1－3×0.301)＝eq \f(0.398,0.097)≈4.1，即n>5.1，
所以第6年该地区的绿洲面积可超过60%.