人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精练，共8页。试卷主要包含了≈0，02，等内容，欢迎下载使用。
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2，3a5，9a8成等差数列，则eq \f(S6,S3)＝( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(4,3)
C．3D．4
2．[2022·广东珠海高二期末]我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位(1533～1606年)所著．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”．其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”．若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有( )盏．
A.192B．128
C．3D．1
3．[2022·广东广州育才中学高二期中]公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为( )
A.16B．28
C．32D．64
4．[2022·辽宁沈阳高二期末]记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3an，求数列{bn}的前n项和Tn.
提能力
5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，下列结论正确的是( )
A．a1，a7，a4成等差数列
B．a1，a7，a4成等比数列
C．a1，2a7，a4成等差数列
D．a1，2a7，a4成等比数列
6．某公司计划在12年内每年对某产品的广告投入(单位：万元)等于上一年的1.5倍再减去2.已知第一年(2018年)该公司对该产品的广告投入为5万元，则按照计划该公司从2018年到2028年(含2028年)对该产品的广告总投入约为(参考数据：1.510≈57.67)( )
A．215万元B．219万元
C．153万元D．154万元
7．(多选)[2022·广东广州高二期末]如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…….记图1中正方形的个数为a1，图2中正方形的个数为a2，图3中正方形的个数为a3，……，图n中正方形的个数为an，下列说法正确的有( )
A．a5＝63
B．图5中最小正方形的边长为eq \f(1,4)
C．a1＋a2＋a3＋…＋a10＝2036
D．若an＝255，则图n中所有正方形的面积之和为8
8．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
9.[2022·河北石家庄二中高二期中]在等比数列{an}中，已知a1＝1，且2a1是a5与－3a3的等差中项．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn.若Sm＝127，求m.
10．如图，正三角形ABC的边长为20cm，取BC边的中点E，作正三角形BDE；取DE边的中点G，作正三角形DFG，……如此继续下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG，…，求前20个正三角形的面积和．
培优生
11.[2022·山东日照青山学校高二期中]“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为eq \f(1,3)的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形面积之和为S1；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记16个小正方形面积之和为S2；……；操作过程不断进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若S1＋S2＋…＋Sn≥eq \f(17,25)，则操作次数n的最小值为____________．
12．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加eq \f(1,4).(参考数据：lg6≈0.778，lgeq \f(5,4)≈0.097).
(1)求前n年旅游业的总收入(用代数式表示)；
(2)试估计大约从第几年开始，旅游业的总收入超过8000万元．
课时作业(十) 等比数列的前n项和公式
1．解析：设等比数列公比为q，由a2，3a5，9a8成等差数列可得，2×3a1·q4＝a1·q＋9a1·q7，化简得9q6－6q3＋1＝0，解得q3＝eq \f(1,3)，eq \f(S6,S3)＝eq \f(\f(a1（1－q6）,1－q),\f(a1（1－q3）,1－q))＝1＋q3＝eq \f(4,3).
故选B.
答案：B
2．解析：设这个塔顶层有x盏灯，则问题等价于一个首项为x，公比为2的等比数列的前7项和为381，
所以eq \f(x（27－1）,2－1)＝381，解得x＝3，
所以这个塔的最底层有3×27－1＝192盏灯．
故选A.
答案：A
3．解析：由题意，设等比数列{an}首项为a1，公比为q，
可得eq \f(a1（1－q3）,1－q)＝14且eq \f(a1（1－q6）,1－q)＝126，所以eq \f(1－q6,1－q3)＝1＋q3＝eq \f(126,14)＝9，
解得a1＝2，q＝2，则a5＝2×24＝32，即第5个区域种植32棵．
故选C.
答案：C
4．解析：(1)由题可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝5，,3a1＋3d＝9，))解得a1＝1，d＝2，
∴an＝2n－1.
(2)∵bn＝3an＝32n－1，∴eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(32n＋1,32n－1)＝9，
∴{bn}是首项为3，公比为9的等比数列，
∴Tn＝eq \f(3（1－9n）,1－9)＝eq \f(3,8)(9n－1)﹒
5．解析：∵S3，S9，S6成等差数列，
∴S3＋S6＝2S9，
当q＝1时，上式不成立，故q≠1，
则eq \f(a1（1－q3）,1－q)＋eq \f(a1（1－q6）,1－q)＝2·eq \f(a1（1－q9）,1－q)，a1≠0，
整理可得，2q9－q6－q3＝0，即2q6－q3－1＝0，
解得，q3＝－eq \f(1,2)，
A：a1＋a4＝a1(1＋q3)＝eq \f(1,2)a1，2a7＝2a1·q6＝eq \f(1,2)a1，即a1＋a4＝2a7，故A正确；
B：a1a4＝a eq \\al(2,1) q3＝－eq \f(1,2)a eq \\al(2,1) ，a eq \\al(2,7) ＝a eq \\al(2,1) ·q12＝eq \f(1,16)a eq \\al(2,1) ，a1≠0，故a1a4≠a eq \\al(2,7) ，故B不正确；
C：a1＋a4＝a1(1＋q3)＝eq \f(1,2)a1，4a7＝4a1·q6＝a1，a1≠0，a1＋a4≠4a7，故C不正确；
D：a1a4＝a eq \\al(2,1) q3＝－eq \f(1,2)a eq \\al(2,1) ，(2a7)2＝4a eq \\al(2,1) ·q12＝eq \f(1,4)a eq \\al(2,1) ，a1≠0，a1a4≠(2a7)2，故D不正确，
故选A.
答案：A
6．解析：设该公司在2018年，2019年，……，2028年的广告投入(单位：万元)分别为a1，a2，…，a11，
依题意可得an＋1＝1.5an－2(n＝1，2，…，11)，则an＋1－4＝1.5(an－4)(n＝1，2，…，11)，
所以数列{an－4}是首项为1，公比为1.5的等比数列，则an－4＝1.5n－1，即an＝4＋1.5n－1.
a1＋a2＋…＋a11＝4×11＋(1＋1.5＋…＋1.510)＝44＋eq \f(1－1.510×1.5,1－1.5)
＝42＋3×1.510≈42＋3×57.67＝215.01，
故从2018年到2028年该公司对该产品的广告总投入约为215万元．
故选A.
答案：A
7．解析：将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形个数成等比数列，且公比为2，根据等比数列前n项和可知an＝2n－1.
选项A：a5＝25－1＝31，A错误．
选项B：又因自下而上每一“层”的正方形的边长也成等比数列，且公比为eq \f(\r(2),2)，所以每“层”正方形边长bn＝(eq \f(\r(2),2))n－1，所以b5＝(eq \f(\r(2),2))5－1＝eq \f(1,4)，B正确．
选项C：a1＋a2＋a3＋…＋a10＝21－1＋22－1＋23－1＋…＋210－1
＝21＋22＋23＋…＋210－10＝2036，C正确．
选项D：an＝2n－1＝255解得n＝8，每一“层”的面积和cn＝2n－1[(eq \f(\r(2),2))n－1]2＝1，
所以当n＝8时所有正方形的面积之和为8，D正确．
故选BCD.
答案：BCD
8．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∵S4＝20，a1，a2，a4成等比数列，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝20，,（a1＋d）2＝a1（a1＋3d）))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝2，,d＝2，))
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)由(1)得，bn＝2an＝22n＝4n，
∴b1＝4，eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(4n＋1,4n)＝4，
∴{bn}是首项为4，公比为4的等比数列，
∴Tn＝eq \f(4×（1－4n）,1－4)＝eq \f(4×（4n－1）,3)＝eq \f(4n＋1－4,3).
9．解析：(1)设公比为q.
因为2a1是a5与－3a3的等差中项，
所以a5－3a3＝4a1，
所以q4－3q2－4＝0，
解得q2＝4，从而q＝±2.
当q＝2时，an＝2n－1；
当q＝－2时，an＝(－2)n－1.
所以{an}的通项公式为an＝2n－1或an＝(－2)n－1.
(2)当a1＝1，q＝2时，Sn＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1，
由Sm＝2m－1＝127，得m＝7，
当a1＝1，q＝－2时，Sn＝eq \f(1－（－2）n,1＋2)＝eq \f(1－（－2）n,3)，
由Sm＝eq \f(1－（－2）m,3)＝127，化简得(－2)m－2＝－95，无解．
综上，m＝7.
10．解析：设第n个三角形边长为a，则第n＋1个三角形边长为eq \f(a,2)，
设第n个三角形面积为an，
则an＝eq \f(\r(3),4)a2，an＋1＝eq \f(\r(3),4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(\r(3),16)a2，
∵eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,4)，a1＝S△ABC＝eq \f(\r(3),4)×202＝100eq \r(3)，
所以这些三角形面积成等比数列，且公比q＝eq \f(1,4)，首项a1＝100eq \r(3)，
所以前20个正三角形的面积和为：S20＝eq \f(100\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,420))),1－\f(1,4))＝eq \f(400\r(3),3)(1－eq \f(1,420))cm2.
11．解析：S1是边长为eq \f(1,3)的4个正方形的面积之和，故S1＝eq \f(1,32)×4＝eq \f(4,9)；
S2是边长为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)的42个正方形的面积之和，故S2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,32)))eq \s\up12(2)×42＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(2)；
以此类推得：Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,32)))eq \s\up12(n)×4n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(n)，
从而S1＋S2＋…＋Sn＝eq \f(4,9)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(2)＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(n)＝eq \f(\f(4,9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))\s\up12(n＋1),1－\f(4,9))＝eq \f(4,5)(1－eq \f(4n,9n))≥eq \f(17,25)，
所以eq \f(4n,9n)≤eq \f(3,20)，函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(x)关于x单调递减，
且n＝2时，eq \f(42,92)＝eq \f(16,81)>eq \f(3,20)，n＝3时，eq \f(43,93)＝eq \f(64,729)8000，即1600[(eq \f(5,4))n－1]>8000，
∴(eq \f(5,4))n>6，即lg (eq \f(5,4))n>lg6，∴n>eq \f(lg6,lg\f(5,4))≈8.02，
∴大约第9年后，旅游业总收入超过8000万元．