数学选择性必修 第二册4.2 等差数列综合训练题

这是一份数学选择性必修 第二册4.2 等差数列综合训练题，共5页。试卷主要包含了5尺B．13，5尺D．15，5℃，5km高度的气温是－17等内容，欢迎下载使用。
1.等差数列{an}中，a4＋a6＝6，a8＝4，则a2＝( )
A．1B．2
C．3D．4
2．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是( )
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
3．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an＝( )
A．2192B．3912－8n
C．3920－8nD．3928－8n
4．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数．
提能力
5.在等差数列{an}中，a2＋a3＝4，a5＋a6＝8，则a4＝( )
A．4B．eq \f(7,2)
C．3D．2
6．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为( )
A．6.5尺B．13.5尺
C．14.5尺D．15.5尺
7．在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值．如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是－17.5℃，则2km，4km，8km高度的气温分别为________、________、________．
8．已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
9．诺沃尔(Knwall)在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次．
(1)从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？
(2)你认为这颗彗星会在2500年出现吗？为什么？
10．已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
培优生
11.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球(a1＝1)，第二层有3个球(a2＝3)，第三层有6个球(a3＝6)，第四层有10个球(a4＝10)，第五层有15个球(a5＝15)，…，各层球数之差eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋1－an))：a2－a1，a3－a2，a4－a3，a5－a4，…即2，3, 4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为( )
A．51B．68
C．106D．157
12．已知等差数列{an}的公差为正数，a2与a8的等差中项为8，且a3a7＝28.
(1)求{an}的通项公式；
(2)从{an}中依次取出第3项，第6项，第9项，…，第3n项，按照原来的顺序组成一个新数列{bn}，判断938是不是数列{bn}中的项？并说明理由．
课时作业(四) 等差数列的性质
1．解析：等差数列{an}中，因a4＋a6＝6，a8＝4，而a2＋a8＝a4＋a6，于是得a2＋4＝6，解得a2＝2.
故选B.
答案：B
2．解析：因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，是公差为2d的等差数列．
故选C.
答案：C
3．解析：由题意可知：每月还本金为2000元，
设张华第n个月的还款金额为an元，
则an＝2000＋[480000－(n－1)×2000]×0.4%＝3928－8n，
故选D.
答案：D
4．解析：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－d＋a＋a＋d＝9，,（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＝35，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,d＝±2.))
所以所求三个数分别为1，3，5或5，3，1.
5．解析：因为(a2＋a3)＋(a5＋a6)＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)＝4a4＝12，所以a4＝3.
故选C.
答案：C
6．解析：设冬至的日影子长为a1，则冬至、大寒、雨水的日影子长的和为a1＋a3＋a5＝40.5，根据等差数列的性质可知3a3＝40.5⇒a3＝13.5，芒种的日影子长为a12＝4.5，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝13.5,a1＋11d＝4.5))，解得：a1＝15.5，d＝－1，
所以冬至的日影子长为15.5尺．
故选D.
答案：D
7．解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2km，4km，8km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.
答案：2℃ －11℃ －37℃
8．解析：∵{an}是等差数列，且a2＋a3＋a4＝18, ∴3a3＝18，a3＝6.
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋a3＋a4＝18，,a2a3a4＝66，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋a4＝12，,a2a4＝11，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝11，,a4＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,a4＝11.))
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝11，,a4＝1))时，a1＝16，d＝－5.∴an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)(－5)＝－5n＋21，
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,a4＝11))时，a1＝－4，d＝5.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)5＝5n－9.
综上：an＝－5n＋21或an＝5n－9.
9．解析：(1)1740，1823，1906，1989，…，构成等差数列
首项a1＝1740，公差d＝83，
通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1740＋83(n－1)＝83n＋1657，
故a8＝83×8＋1657＝2321，即彗星第8次出现是在2321年．
(2)由83n＋1657＝2500，解得n＝eq \f(843,83)∉N，
故这颗彗星不会在2500年出现．
10．解析：设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(d>0)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a－3d）2＋（a＋3d）2＋（a－d）2＋（a＋d）2＝94，,（a－3d）（a＋3d）＋18＝（a－d）（a＋d），))
所以解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝±\f(7,2)，,d＝\f(3,2)，))
此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.
11．解析：现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，
各项与前一项之差eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋1－an))：a2－a1，a3－a2，a4－a3，a5－a4，a6－a5，…
即2，3，6，11，18，…，
3－2，6－3，11－6，18－11，…
即1，3，5，7，…是等差数列，
所以a7＝41＋(18＋9)＝68，a8＝68＋(18＋9＋11)＝106.
故选C.
答案：C
12．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，根据等差中项的性质可得a2与a8的等差中项为a5，
所以a5＝8，又因为a3a7＝28，即(a5－2d)(a5＋2d)＝28.
所以d2＝9，d＝±3，因为公差为正数，所以d＝3.
则a5＝a1＋4d＝8，则a1＝－4.
∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝－4＋3(n－1)＝3n－7(n∈N*).
(2)结合(1)可知b1＝a3＝2，b2＝a6＝11，b3＝a9＝20，…，bn＝a3n＝9n－7(n∈N*).
令938＝9n－7，即n＝105∈N*，符合题意，即b105＝938.
所以938是数列{bn}中的项．