(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升3.2《导数与函数的单调性》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增．( )
(4)函数f(x)＝x﹣sin x在R上是增函数．( )
教材改编题
1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )

2．函数f(x)＝(x﹣2)ex的单调递增区间为________．
3．若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3﹣eq \f(3,2)x2＋ax＋4的单调递减区间为[﹣1,4]，则实数a的值为________．
题型一 不含参数的函数的单调性
例1 (1)函数f(x)＝x2﹣2ln x的单调递减区间是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(﹣∞，1) D．(﹣1,1)
(2)若函数f(x)＝eq \f(ln x＋1,ex)，则函数f(x)的单调递减区间为________．
教师备选
若幂函数f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(1,2)))，则函数g(x)＝eq \f(fx,ex)的单调递增区间为( )
A．(0,2) B．(﹣∞，0)∪(2，＋∞)
C．(﹣2,0) D．(﹣∞，﹣2)∪(0，＋∞)
思维升华 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
跟踪训练1
(1)已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cs x，则f(x)的单调递增区间为____________．
(2)函数f(x)＝(x﹣1)ex﹣x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝eq \f(1,2)ax2﹣(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
延伸探究 若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？
教师备选
讨论下列函数的单调性．
(1)f(x)＝x﹣aln x； (2)g(x)＝(x﹣a﹣1)ex﹣(x﹣a)2.
思维升华
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x﹣eq \f(2,x)＋a(2﹣ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性．
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
例3 (1)已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))，f(1)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))的大小关系为( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))>f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5))) B．f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))>f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))) D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))>f(1)
(2)已知函数f(x)＝ex﹣e﹣x﹣2x＋1，则不等式f(2x﹣3)>1的解集为________．
命题点2 根据函数的单调性求参数的范围
例4 已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2＋2ax﹣ln x，若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))上单调递增，则实数a的取值范围为________．
延伸探究 在本例中，把“f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))上单调递增”改为“f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))上存在单调递增区间”，求a的取值范围．
教师备选
1．若函数f(x)＝ex(sin x＋a)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(﹣eq \r(2)，＋∞)
2．若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．
思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
跟踪训练3
(1)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足eq \f(f′x,mx－3)