(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升3.7《利用导数研究函数零点》(2份打包，原卷版+教师版)

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例1 已知函数f(x)＝ex﹣a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
教师备选
已知函数f(x)＝xex＋ex.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)讨论函数g(x)＝f(x)﹣a(a∈R)的零点的个数．
思维升华 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．
跟踪训练1 设函数f(x)＝ln x＋eq \f(m,x)，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)﹣eq \f(x,3)零点的个数．
题型二 利用函数性质研究函数零点
例2 已知函数f(x)＝x﹣aln x(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数g(x)＝eq \f(1,2)x2﹣ax﹣f(x)的零点个数．
教师备选
已知函数f(x)＝xsin x＋cs x，g(x)＝x2＋4.
(1)讨论f(x)在[﹣π，π]上的单调性；
(2)令h(x)＝g(x)﹣4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．
思维升华 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3﹣a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
题型三 构造函数法研究函数的零点
例3 已知a>0且a≠1，函数f(x)＝eq \f(xa,ax)(x>0)．
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
教师备选
已知f(x)＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(3,2)x2＋2x，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求f(x)的极值；
(2)令g(x)＝f′(x)＋kex﹣1，若y＝g(x)的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
思维升华 涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝(x﹣1)ex﹣ax2＋b＋eq \f(1,2).
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝eq \f(1,2)时，f(x)的图象与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围．
课时精练
1．已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx﹣e.
(1)求a，b的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)﹣3ex﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．
2．已知函数f(x)＝ex﹣(k＋1)ln x＋2sin α.
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)当k＝0时，证明：函数f(x)无零点．
3．已知函数f(x)＝ln x﹣aex＋1(a∈R)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)极值点的个数；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．
4．已知函数f(x)＝eq \f(x2－a,sin x)﹣2(a∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))))处的切线经过坐标原点，求实数a；
(2)当a>0时，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．