(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升1.4《基本不等式》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.了解基本不等式的推导过程.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
3.理解基本不等式在实际问题中的应用．
知识梳理
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤(eq \f(a＋b,2))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥(eq \f(a＋b,2))2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤(eq \f(a＋b,2))2与eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)等号成立的条件是相同的．( )
(2)y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.( )
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.( )
(4)函数y＝sin x＋eq \f(4,sin x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值为4.( )
教材改编题
1．已知x>2，则x＋eq \f(1,x－2)的最小值是( )
A．1 B．2 C．2eq \r(2) D．4
2．(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是( )
A.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 B．ab≤eq \f(a2＋b2,2) C.eq \f(a2＋b2,2)≥(eq \f(a＋b,2))2 D.eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)
3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法
例1 (1)设0A.eq \f(9,4) B．4 C.eq \f(9,2) D．9
(2)若xA．最大值0 B．最小值9 C．最大值﹣3 D．最小值﹣3
(3)函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)(x>﹣1)的最小值为________．
命题点2 常数代换法
例2已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,2b)的最小值是( )
A．1 B．2 C.eq \f(9,4) D.eq \f(9,2)
命题点3 消元法
例3 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．
延伸探究 本例条件不变，求xy的最大值．
教师备选
1．已知x>0，y>0，且2x＋8y﹣xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于( )
A．16 B．6 C．18 D．12
2．已知函数f(x)＝eq \f(－x2,x＋1)(x<﹣1)，则( )
A．f(x)有最小值4 B．f(x)有最小值﹣4
C．f(x)有最大值4 D．f(x)有最大值﹣4
思维升华
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝eq \f(2,2x－1)＋x(2x>1)，则f(x)的最小值为________．
(2)若实数x>1，y>eq \f(1,2)且x＋2y＝3，则eq \f(1,x－1)＋eq \f(1,2y－1)的最小值为________．
题型二 基本不等式的常见变形应用
例4 (1)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)
C.eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)(a>0，b>0) D.eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)
(2)已知01，则下列不等式中成立的是( )
A．a＋b教师备选
若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq \r(ab) C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
思维升华 基本不等式的常见变形
(1)ab≤(eq \f(a＋b,2))2≤eq \f(a2＋b2,2). (2)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．
跟踪训练2 (1)已知命题p：a>b>0，命题q：eq \f(a2＋b2,2)>(eq \f(a＋b,2))2，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )
A.eq \f(2,a＋b) B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b) C.eq \f(2,\r(ab)) D.eq \r(\f(2,a2＋b2))
题型三 基本不等式的实际应用
例5 小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25﹣x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入﹣总支出)
教师备选
某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________ cm2.
思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
跟踪训练3 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3﹣eq \f(2,t＋1).已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．
柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789﹣1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．
1．(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
当且仅当ad＝bc时，等号成立．
推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，
则(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n))(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋…＋beq \\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2
(当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立)．
2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
3．(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则：
eq \r(x1－x22＋y1－y22)＋eq \r(x2－x32＋y2－y32)≥eq \r(x1－x32＋y1－y32).
一、利用柯西不等式求最值
例1 已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为________．
例2 已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为________．
例3 函数y＝5eq \r(x－1)＋eq \r(10－2x)的最大值为________．
二、利用柯西不等式证明不等式
例4 已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a1,b1)＋\f(a2,b2)))≥(a1＋a2)2.
例5 已知a1，a2，…，an都是实数，求证：eq \f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)2≤aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n).
课时精练
1．下列函数中，最小值为2的是( )
A．y＝x＋eq \f(2,x) B．y＝eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))
C．y＝ex＋e﹣x D．y＝lg3x＋lgx3(02．已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
3．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则eq \f(a2,x)＋eq \f(b2,y)≥eq \f(a＋b2,x＋y)，当且仅当eq \f(a,x)＝eq \f(b,y)时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝eq \f(2,x)＋eq \f(9,1－2x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))取得最小值时x的值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(1,3)
4．已知x>2，y>1，(x﹣2)(y﹣1)＝4，则x＋y的最小值是( )
A．1 B．4 C．7 D．3＋eq \r(17)
5．已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
6．原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是( )
A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算
C．两种方案一样 D．无法确定
7．(多选)已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式成立的有( )
A．2a＋2b≥2eq \r(2) B．a2＋b2<1
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)<4 D．a＋eq \f(1,a)<2
8．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2) B.eq \f(2ab,a＋b)>eq \r(ab)
C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b D．(a＋b)(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))≥4
9．若010．已知a>0，b>0，且a＋2b＝2ab，则ab的最小值为________，2a＋b的最小值为________．
11．习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{an}(单位：万元，n∈N*)，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍，已知aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＝72.则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为________万元．
12．已知p：存在实数x，使4x＋2x·m＋1＝0成立，若綈p是假命题，则实数m的取值范围是________．
13．)若△ABC的内角满足sin B＋sin C＝2sin A，则( )
A．A的最大值为eq \f(π,3) B．A的最大值为eq \f(2π,3)
C．A的最小值为eq \f(π,3) D．A的最小值为eq \f(π,6)
14．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的取值范围是________．
15．若x>0，y>0且x＋y＝xy，则eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)的最小值为________．
16．设a>b>0，则a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,aa－b)的最小值是________．