高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课后作业题，共5页。试卷主要包含了3展开式中含x2项的系数为，故选D等内容，欢迎下载使用。
A．－56B．56
C．－28D．28
2．(x－1)10的二项展开式中第4项是( )
A．C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) x7B．C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) x6
C．－C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) x7D．－C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) x6
3．[2022·广东肇庆高二期末]在(x－2)5的展开式中，x4的系数为________．(用数字作答)
4．求(2＋eq \f(1,x))4的展开式．
5.(2x－1)(x－1)3展开式中含x2项的系数为( )
A．－3B．－9
C．3D．9
6．在(x2＋2x－3)5的展开式中，x的系数为( )
A．800B．810
C．820D．830
7．[2022·湖北恩施高二期中](ax－eq \f(2,x))6展开式中的常数项为20，则a＝________．
8．已知二项式(2eq \r(x)－eq \f(1,x))6.
(1)求展开式第4项的二项式系数；
(2)求第4项．
9．[2022·江苏泰州高二期末]已知(eq \r(x)－eq \f(2,x2))n的展开式中，第2项与第4项的二项式系数之比为1∶12.
(1)求正整数n的值；
(2)求展开式中的常数项．
10．已知在(eq \f(1,2)x2－eq \f(1,\r(x)))n的展开式中，第9项为常数项．求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
11.(x－1)(2x＋eq \f(a,x))6的展开式中，常数项为－1280，则(1＋3a)15－3被8除的余数为( )
A．3B．4
C．5D．6
12．[2022·重庆市江津第五中学校高二期中]已知(eq \r(3,x)－eq \f(1,2\r(3,x)))n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
课时作业(七) 二项式定理
1．解析：二项式展开式第三项的二项式系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) ＝28.故选D.
答案：D
2．解析：(x－1)10的通项公式为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) x10－k·(－1)k，
故第4项T4＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) x10－3(－1)3＝－C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) x7，故选C.
答案：C
3．解析：因为(x－2)5展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) x5－k(－2)k，当k＝1时，T2＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) x4(－2)1＝－10x4，所以x4的系数为－10.
答案：－10
4．解析：(2＋eq \f(1,x))4＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) 24eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(0)＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) 23eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(1)＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) 22eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(2)＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) 21eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(3)＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(4)
＝16＋eq \f(32,x)＋eq \f(24,x2)＋eq \f(8,x3)＋eq \f(1,x4).
5．解析：因(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1，于是得(2x－1)(x－1)3展开式中的二次项为2x·3x＋(－1)·(－3x2)＝9x2，
所以(2x－1)(x－1)3展开式中含x2项的系数为9.故选D.
答案：D
6．解析：因为(x2＋2x－3)5的展开式中含x的项是由5个多项式(x2＋2x－3)在按多项式乘法运算时仅一个多项式取出2x，其它4个多项式都取出－3，
所以展开式中x的系数为：C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ·2·(－3)4＝810.故选B.
答案：B
7．解析：(ax－eq \f(2,x))6展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) (ax)6－k(－eq \f(2,x))k＝(－2)ka6－kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) x6－2k，
令6－2k＝0，解得k＝3，
则(ax－eq \f(2,x))6展开式的常数项为T4＝－8a3C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＝－160a3＝20，
解得a＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
8．解析：由已知得(2eq \r(x)－eq \f(1,x))6的展开式的通项是
Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) (2eq \r(x))6－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up12(k)＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) 26－k(－1)kxeq \s\up6(\f(6－3k,2))(k＝0，1，2，…，6).
(1)展开式第4项的二项式系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＝20.
(2)展开式的第4项为T4＝－160x－eq \f(3,2).
9．解析：(1)由eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) )＝eq \f(6,（n－1）（n－2）)＝eq \f(1,12)，
得(n＋7)(n－10)＝0，所以正整数n＝10.
(2)第k＋1项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) (eq \r(x))10－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x2)))eq \s\up12(k)＝(－2)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ·x eq \f(10－5k,2)，由eq \f(10－5k,2)＝0得k＝2，
所以展开式中的常数项为T3＝(－2)2×C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＝180.
10．解析：二项展开式的通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2))eq \s\up12(n－k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(k)＝(－1)keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－k)C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) x2n－eq \f(5,2)k.
(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－eq \f(5,2)k＝0，解得n＝10.
(2)令2n－eq \f(5,2)k＝5，得k＝eq \f(2,5)(2n－5)＝6，
所以x5的系数为(－1)6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)×C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(10)) ＝eq \f(105,8).
(3)要使2n－eq \f(5,2)k，即eq \f(40－5k,2)为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
11．解析：由题意，(x－1)(2x＋eq \f(a,x))6＝x(2x＋eq \f(a,x))6－(2x＋eq \f(a,x))6，
x(2x＋eq \f(a,x))6的通项公式为Ak＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) 26－kakx7－2k，k＝0，1，2，…，6，
令7－2k＝0，k＝eq \f(7,2)，不合题意；
(2x＋eq \f(a,x))6的通项公式为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) (2x)6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)))eq \s\up12(k)＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) 26－kakx6－2k，
令6－2k＝0，则k＝3，所以(x－1)(2x＋eq \f(a,x))6的常数项为－C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ×23a3＝－1280，
解得a＝2，
所以(1＋3a)15－3＝715－3＝(8－1)15－3＝815－C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(15)) 814＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(15)) 813－C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(15)) 812＋…＋C eq \\al(\s\up1(14),\s\d1(15)) 8－1－3
＝8×(814－C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(15)) 813＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(15)) 812－C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(15)) 811＋…＋C eq \\al(\s\up1(14),\s\d1(15)) －1)＋4，
则(1＋3a)15－3被8除的余数为4，故选B.
答案：B
12．解析：(1)(eq \r(3,x)－eq \f(1,2\r(3,x)))n的展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) xeq \f(n－k,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(k)x－eq \f(k,3)＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(k)xeq \s\up6(\f(n－2k,3))，
因为第6项为常数项，所以k＝5时，有eq \f(n－2k,3)＝0，解得n＝10.
(2)令eq \f(n－2k,3)＝2，得k＝eq \f(1,2)(n－6)＝eq \f(1,2)×(10－6)＝2，
所以含x2的项的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(45,4).
(3)根据通项公式与题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(10－2k,3)∈Z,0≤k≤10,k∈Z))，
令eq \f(10－2k,3)＝m(m∈Z)，则10－2k＝3m，即k＝5－eq \f(3,2)m.m∈Z，∴m应为偶数．
又0≤k≤10，∴m可取2，0，－2，即k可取2，5，8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)x2，C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(5)，C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(10)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(8)x－2，即eq \f(45,4)x2，－eq \f(63,8)，eq \f(45,256x2).
练基础
提能力
培优生