数学选择性必修 第一册3.3 抛物线课时训练

这是一份数学选择性必修 第一册3.3 抛物线课时训练，共6页。

1．设a为实数，则曲线C：x2－eq \f(y2,1－a2)＝1不可能是( )
A．抛物线B．双曲线
C．圆D．椭圆
2．一个动圆与定圆F：(x－3)2＋y2＝4相外切，且与直线l：x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝6xB．y2＝4x
C．y2＝8xD．y2＝12x
3．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
4．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，A在x轴上方，则eq \f(|AF|,|BF|)＝( )
A．3＋2eq \r(2)B．1＋eq \r(2)
C．8D．2eq \r(2)
5．(多选)已知抛物线C：y＝eq \f(x2,8)的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于( )
A．2 B．－2
C．－4D．4
6．已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝0，延长MP到点N，使得|eq \(PM,\s\up6(→))|＝|eq \(PN,\s\up6(→))|，则点N的轨迹方程是________．
7．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上在第一象限的点．若M为PF的中点，O为抛物线C的顶点，则直线OM斜率的最大值为________．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点M(x0，2)与焦点F的距离为|MF|＝p.
(1)求x0和p的值；
(2)直线l：y＝x－1与C相交于A，B两点，求直线AM，BM的斜率之积．
[提能力]
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p＝( )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(1,2)
C．1D．2
10．(多选)已知点F是抛物线y2＝2x的焦点，过点F的直线交抛物线于M、N两点，则下列结论正确的是( )
A．点M到焦点F的最小距离为1
B．若点P的坐标为(2，1)，则|MP|＋|MF|的最小值为eq \f(5,2)
C．以MF为直径的圆与抛物线的准线相切
D．eq \f(1,|MF|)＋eq \f(1,|NF|)＝2
11．已知直线l是抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线，半径为eq \f(3,4)的圆过抛物线的顶点O和焦点F，且与l相切，则抛物线C的方程为________；若A为C上一点，l与C的对称轴交于点B，在△ABF中，sin∠AFB＝eq \r(2)sin∠ABF，则|AB|的值为________．
12．动点M到点F(eq \f(1,4)，0)的距离比它到直线l：x＋eq \f(1,2)＝0的距离小eq \f(1,4)，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知圆D：(x－2)2＋y2＝1，设P，A，B是C上不同的三点，若直线PA，PB均与圆D相切，若P的纵坐标为eq \r(2)，求直线AB的方程．
[培优生]
13.eq \r(4y＋（y－1）2)＋eq \r(（2\r(y)－1）2＋（y－5）2)的最小值为( )
A．5B．2＋eq \r(17)
C．6D．1＋eq \r(26)
课时作业(三十) 抛物线的简单几何性质(2)
1．解析：因为曲线C的方程中x，y都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征，曲线C不可能是抛物线，故选项A正确；当1－a2>0时，曲线C为双曲线，故选项B错误；当1－a2＝－1时，曲线C为圆，故选项C错误；当1－a2<0且1－a2≠－1时，曲线C为椭圆，故选项D错误．
答案：A
2．解析：定圆F：(x－3)2＋y2＝4的圆心F(3，0)，半径为2，
设动圆圆心P点坐标为(x，y)，动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线x＝－1的距离，即r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|PF|－2＝r，d＝r，
所以eq \r(（x－3）2＋y2)－2＝x＋1，
化简得：y2＝12x.
∴动圆圆心轨迹方程为y2＝12x.
答案：D
3．解析：由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，\f(a2,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a2,4)))，a>0.
S△AOB＝eq \f(1,2)×2a×eq \f(a2,4)＝16，解得a＝4，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
答案：D
4．解析：由题意可知F(1，0),
所以直线AB的方程为y＝x－1，
代入抛物线方程可得x2－6x＋1＝0，
解得xA＝3＋2eq \r(2)，xB＝3－2eq \r(2)，
所以eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(xA＋1,xB＋1)＝eq \f(4＋2\r(2),4－2\r(2))＝eq \f(2＋\r(2),2－\r(2))＝eq \f(6＋4\r(2),2)＝3＋2eq \r(2).
答案：A
5．解析：∵抛物线C：y＝eq \f(x2,8)，∴x2＝8y，
∴焦点F(0，2)，准线方程为y＝－2.
∵A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，
由抛物线的定义，得y0＋2＝2y0，
∴y0＝2，∴x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝16，∴x0＝±4.
答案：CD
6．解析：由于|eq \(PM,\s\up6(→))|＝|eq \(PN,\s\up6(→))|，则P为MN的中点．
设N(x，y)，则M(－x，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y,2)))，
由eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝0，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x，－\f(y,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(y,2)))＝0，
所以(－x)·1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,2)))＝0，则y2＝4x，
即点N的轨迹方程是y2＝4x.
答案：y2＝4x
7．解析：由题意，可得F(1，0)，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,4)，y0))，(y0>0)，M(x，y)，
∵M是线段PF的中点，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,8)，\f(y0,2)))，
∴kOM＝eq \f(\f(y0,2),\f(1,2)＋\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,8))＝eq \f(4y0,4＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )＝eq \f(4,\f(4,y0)＋y0)≤eq \f(4,2\r(\f(4,y0))×y0)＝1，当且仅当y0＝2时取等号，
∴直线OM的斜率的最大值为1.
答案：1
8．解析：(1)依题意抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点M(x0，2)与焦点F的距离为|MF|＝p，
根据抛物线的定义可知x0＝eq \f(p,2)，
将M点坐标代入抛物线方程得
22＝2p×eq \f(p,2)⇒p＝2，x0＝1.
(2)由(1)得抛物线方程为y2＝4x，M(1，2)，不妨设A在B下方
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－1,y2＝4x))⇒A(3－2eq \r(2)，2－2eq \r(2))，B(3＋2eq \r(2)，2＋2eq \r(2))，
所以kAM·kBM＝eq \f(－2\r(2),2－2\r(2))·eq \f(2\r(2),2＋2\r(2))＝2.
9．解析：
如图所示：准线l与横轴的交点为A，由抛物线的性质可知：|AF|＝p，
因为若△MNF是边长为2的正三角形，所以|NF|＝2，∠MNF＝eq \f(π,3)，
显然∠ANF＝eq \f(π,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,6)，在直角三角形ANF中，
sin∠ANF＝eq \f(|AF|,|NF|)⇒eq \f(1,2)＝eq \f(|AF|,2)⇒|AF|＝1⇒p＝1.
答案：C
10．解析：
如图：Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))且准线为x＝－eq \f(1,2)，
过F的直线交抛物线于M、N，则该直线斜率存在时不为0，由抛物线性质知：|MF|>|OF|＝eq \f(1,2)，即M到焦点F没有最小距离，A错误；如图，MA⊥抛物线准线，要使|MP|＋|MF|最小，则P，M，A共线，即|MP|＋|MF|＝|PA|＝eq \f(5,2)，B正确；
以M为圆心，以MN为直径的圆与抛物线的准线相切，而以MF为直径的圆不与抛物线的准线相切，C错误；
令MN为x＝ky＋eq \f(1,2)，联立抛物线可得：y2－2ky－1＝0，则yM＋yN＝2k，yMyN＝－1，
∴xM＋xN＝k(yM＋yN)＋1＝2k2＋1，
xMxN＝k2yMyN＋eq \f(k,2)(yM＋yN)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,4).
由eq \f(1,|MF|)＋eq \f(1,|NF|)＝eq \f(|NF|＋|MF|,|MF||NF|)
＝eq \f(xM＋xN＋1,xM·xN＋\f(1,2)（xM＋xN）＋\f(1,4))＝2，正确．
答案：BD
11．解析：由题意得：圆的圆心横坐标为eq \f(1,4)p，半径为eq \f(3,4)，
∴eq \f(3,4)p＝eq \f(3,4)⇒p＝1，
∴抛物线C的方程为y2＝2x；
设A到准线的距离为d，
∵sin∠AFB＝eq \r(2)sin∠ABF，∴|AB|＝eq \r(2)|AF|，
∴eq \f(d,|AB|)＝eq \f(\r(2),2)＝cs∠ABF，∴∠ABF＝45°，
∴lAB：y＝x＋eq \f(1,2)，代入y2＝2x，解得：xA＝eq \f(1,2)，yA＝1，
∴|AF|＝xA＋eq \f(p,2)＝1＝d，
∴|AB|＝eq \r(2).
答案：y2＝2x eq \r(2)
12．解析：(1)由题意得动点M到点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))的距离等于到直线x＝－eq \f(1,4)的距离，
所以曲线C是以Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))为焦点，x＝－eq \f(1,4)为准线的抛物线．
设C：y2＝2px(p>0)，则p＝eq \f(1,2)，
于是C的方程为y2＝x.
(2)由(1)可知P(2，eq \r(2))，设A(x1，y1)，
PA的两点式方程为(y－y1)(2－x1)＝(x－x1)(eq \r(2)－y1).
由x1＝y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，y2≠eq \r(2)，
可得PA：x－(y1＋eq \r(2))y＋eq \r(2)y1＝0.
因为PA与D相切，所以eq \f(|2＋\r(2)y1|,\r(1＋（y1＋\r(2)）2))＝1，整理得y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋2eq \r(2)y1＋1＝0.
因为y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝x1，可得x1＋2eq \r(2)y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得x2＋2eq \r(2)y2＋1＝0.
于是直线AB的方程为x＋2eq \r(2)y＋1＝0.
13．解析：设x＝2eq \r(y)，则x2＝4y(y≥0)，则曲线x＝2eq \r(y)为抛物线x2＝4y的右半部分．抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，设点A(1，5)到准线l：y＝－1的距离为d，点P为抛物线x2＝4y的右半部分上一点，设P到准线l：y＝－1的距离为d1，
则eq \r(4y＋（y－1）2)＋eq \r(（2\r(y)－1）2＋（y－5）2)
＝eq \r(x2＋（y－1）2)＋eq \r(（x－1）2＋（y－5）2)
＝|PF|＋|PA|＝d1＋|PA|≥5＋1＝6.
答案：C