高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆课时练习，共5页。
1．椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点坐标为(eq \f(p,2)，0)，则p＝( )
A．2B．3
C．4D．8
2．椭圆2x2＋y2＝1的( )
A．焦点在x轴上，长轴长为2
B．焦点在y轴上，长轴长为2
C．焦点在x轴上，长轴长为eq \r(2)
D．焦点在y轴上，长轴长为eq \r(2)
3．已知a>0，椭圆x2＋a2y2＝2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为( )
A．eq \f(1,3)B．3
C．3或eq \f(1,3)D．eq \r(3)
4．地球轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，设太阳半径为R，轨道近日点、远日点离太阳表面的距离分别为r1，r2，则地球轨道的离心率为( )
A.eq \f(r2－r1,2R＋r1＋r2)B．eq \f(r2＋r1,2R＋r1＋r2)
C．eq \f(r2－r1,2R＋2r1)D．eq \f(r2－r1,2R＋2r2)
5．(多选)已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1与椭圆eq \f(x2,16＋t)＋eq \f(y2,9＋t)＝1(－9＜t＜0)，则下列说法错误的是( )
A.长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
6．若椭圆的长轴长为10，焦距为8，则它的标准方程为________________．
7．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF＝90°，则称其为“优美椭圆”，它的离心率e＝________．
8．(1)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
(2)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，右焦点为(eq \r(2)，0).求椭圆C的方程．
[提能力]
9．已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为( )
A．2B．4
C．6D．8
10．(多选)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[eq \f(π,6)，eq \f(π,4)]，则该椭圆离心率e的可能取值为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \r(3)－1D．eq \f(\r(3),2)
11．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,8)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝eq \f(1,3)．若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则△PF1F2的周长为________，·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为________．
12．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
[培优生]
13．已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与圆C2：x2＋y2＝eq \f(4b2,5)，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A.(0，eq \f(\r(3),3)) B．(0，eq \f(\r(6),4))
C．[eq \f(\r(3),3)，1) D．[eq \f(\r(6),4)，1)
课时作业(二十三) 椭圆的简单几何性质
1．解析：∵椭圆方程为：eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1，
∴p＞0，∴a2＝3p，b2＝p，
∵椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
∴c＝eq \f(p,2)，又a2＝b2＋c2，
∴3p＝p＋eq \f(p2,4)，
∴p＝8.
答案：D
2．解析：椭圆2x2＋y2＝1化为标准方程为y2＋eq \f(x2,\f(1,2))＝1，所以椭圆焦点在y轴上，a＝1，长轴长为2.
答案：B
3．解析：x2＋a2y2＝2a可变为eq \f(x2,2a)＋eq \f(y2,\f(2,a))＝1，a>0，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a>\f(2,a),2a＝9×\f(2,a)))，解得a＝3，或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)>2a,\f(2,a)＝9×2a))，解得a＝eq \f(1,3)，
故a＝3或a＝eq \f(1,3).
答案：C
4．解析：设椭圆的实半轴长为a，半焦距为c，
因为轨道近日点、远日点离太阳表面的距离分别为r1，r2，
所以a－c＝r1＋R，a＋c＝r2＋R，
所以a＝eq \f(r1＋r2＋2R,2)，c＝eq \f(r2－r1,2)，
所以地球轨道所在椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(r2－r1,2R＋r1＋r2).
答案：A
5．解析：由已知条件得椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1中，a＝4，b＝3，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(7)，
则该椭圆的长轴长为2a＝8，短轴长为2b＝6，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)，焦距为2c＝2eq \r(7)；
椭圆eq \f(x2,16＋t)＋eq \f(y2,9＋t)＝1(－9＜t＜0)中，焦点在x轴上，a＝eq \r(16＋t)，b＝eq \r(9＋t)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(7)，故这两个椭圆只有焦距相等．
答案：ABC
6．解析：由题意知，2a＝10，2c＝8，
所以a2＝25，c2＝16，b2＝a2－c2＝9.
若焦点在x轴上，则标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1；
若焦点在y轴上，则标准方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1.
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
7．解析：因为|AO|＝a，|OF|＝c，|BF|＝a，|AB|＝eq \r(a2＋b2)，
所以在直角三角形ABF中，a2＋b2＋a2＝(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2，即a2－c2－ac＝0，两边同除以a2得e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(－1＋\r(5),2)或e＝eq \f(－1－\r(5),5)(舍去).
答案：eq \f(－1＋\r(5),2)
8．解析：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1.
(2)由右焦点为(eq \r(2)，0)，则c＝eq \r(2)，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，所以a＝eq \r(3)，b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
9．解析：设坐标原点为O，
∵|OP|＝|OQ|，|OF1|＝|OF2|∴四边形PF1QF2为平行四边形，
又∵|PQ|＝|F1F2|∴平行四边形PF1QF2为矩形，
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝64，
又∵|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝48，
∴|PF1||PF2|＝8，∴S△PF1F2＝4，
则四边形PF1QF2的面积为2S△PF1F2＝4×2＝8，
答案：D
10．解析：因为B，A关于原点对称，所以B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆的定义：|AF|＋|AF′|＝2a，
又因为|BF|＝|AF′|，所以|AF|＋|BF|＝2a，O是直角三角形ABF斜边的中点，
所以|AB|＝2c，|AF|＝2csinα，|BF|＝2ccsα，所以2c(sinα＋csα)＝2a，
所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,sinα＋csα)＝eq \f(1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))，由于α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4)))，eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(3),2)，\r(2)))
所以eq \f(c,a)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\r(3)－1)).
答案：BC
11．解析：因为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,8)＝1的离心率e＝eq \f(1,3)，所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，又b2＝8，即b＝2eq \r(2)，所以a＝3，c＝1.
所以eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1，F1(－1，0)，A(3，0)，△PF1F2＝2a＋2c＝8，
设椭圆上的一点P(x，y)，则PF1·eq \(PA,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)·(3－x，－y)＝eq \f(1,9)(x－9)2－4，
所以当x＝－3时，PF1·eq \(PA,\s\up6(→))取得最大值12.
答案：8 12
12．解析：(1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncs60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))eq \s\up12(2)＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号).
所以eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,4)，即e≥eq \f(1,2).又0