数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课后作业题

这是一份数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课后作业题，共6页。
1．直线2x＋y－3＝0的一个方向向量为( )
A．(2，1) B．(1，2)
C．(－2，1) D．(－1，2)
2．已知平面α经过点A(1，1，1)和B(－1，1，z)，n＝(1，0，－1)是平面α的法向量，则实数z＝( )
A.3B．－1
C．－2D．－3
3．已知向量a＝(2，－1，3)和b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是( )
A．－1B．1或－1
C．－3D．1
4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1，1，－1) B．(1，－1，1)
C．(－1，1，1) D．(－1，－1，－1)
5．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，则下列结论正确的是( )
A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B．直线BC1的一个方向向量为(0，－1，－1)
C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
6．已知直线l1的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝__________，y＝____________．
7．若向量n＝(1，2a)是直线l：(2a＋1)x－ay＋1＝0的一个法向量，则a＝________．
8．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量n.
[提能力]
9．已知平面α过点A(1，1，2)，它的一个法向量为n＝(－3，0，4)，则下列哪个点不在平面α内( )
A．(5，5，5) B．(9，7，8)
C．(－7，2，－8) D．(－3，0，－1)
10．(多选)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，2，1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A．(eq \f(1,3)，－eq \f(2,3)，eq \f(2,3)) B．(－eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，－eq \f(2,3))
C．(eq \f(1,2)，－1，1) D．(－eq \f(1,2)，1，－1)
11．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(x，1，1)在平面ABC内，则x＝________．
12．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的一个法向量；
(2)求平面A1BC的一个法向量．
[培优生]
13．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(4，2，0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→)).其中正确的是________．(填序号)
课时作业(六)
1．解析：直线2x＋y－3＝0的一个法向量为(2，1)，
设直线一个方向向量为(a，b)，则有2a＋b＝0，
故只有D满足条件．
答案：D
2．解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，0，z－1)，
因为n＝(1，0，－1)是平面α的法向量，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·n＝0，
即－2－(z－1)＝0，解得z＝－1.
答案：B
3．解析：由题意得a∥b，所以存在唯一的实数λ使得b＝λa，
即(－4，2x2，6x)＝λ(2，－1，3)＝(2λ，－λ，3λ)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4＝2λ,2x2＝－λ,6x＝3λ))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－2,x＝－1))，
所以x＝－1.
答案：A
4．解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，1).
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1).
答案：D
5．解析：设正方体的棱长为1，
DD1∥AA1，而的一个方向向量是(0，0，1)，A正确，
C1(1，1，1)，B(1，0，0)，＝(0，1，1)，(0，－1，－1)与(0，1，1)平行，B正确；
AD⊥平面ABB1A1，而eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，1，0)，因此C正确；
平面B1CD即为平面B1CDA1，
如图，在正方体AC1中，AD1⊥A1D，
由CD⊥平面DAA1D1，AD1⊂平面DAA1D1，得CD⊥D1A，
CD∩A1D＝D，CD，A1D⊂平面B1CDA1，所以AD1⊥平面B1CDA1，
而＝(0，1，1)，即平面B1CD的一个法向量为(0，1，1)，而向量(0，1，1)与向量(1，1，1)不平行，D错．
答案：ABC
6．解析：∵直线的方向向量平行，
∴eq \f(x,－5)＝eq \f(y,3)＝eq \f(8,2)，
∴x＝－20，y＝12.
答案：－20 12
7．解析：取v＝(a，2a＋1)为直线l的一个方向向量，
所以n·v＝0⇒a＋2a·(2a＋1)＝0⇒a＝－eq \f(3,4)或a＝0.
答案：－eq \f(3,4)或0
8.
解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)
设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z).
∵eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，又∵n为平面ACD1的一个法向量，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0,n·AD1＝0))，化简得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝y,x＝z))，
令x＝1，得y＝z＝1.
∴平面ACD1的一个法向量n＝(1，1，1).
9．解析：设点B(x，y，z)为平面α内异于A点的任意一点，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y－1，z－2)，
由eq \(AB,\s\up6(→))·n＝0可得－3(x－1)＋4(z－2)＝0，即3x－4z＋5＝0，
对于A，x＝5，z＝5，满足；对于B，x＝9，z＝8，满足；
对于C，x＝－7，z＝－8，不满足；对于D，x＝－3，z＝－1，满足．
答案：C
10．解析：设面ABC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋2y＋z＝0,4x＋5y＋3z＝0))，
若y＝λ∈R，则m＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1，－1)).
∴由单位法向量有eq \f(9λ2,4)＝1，可得λ＝±eq \f(2,3)，故单位法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))、eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3))).
答案：AB
11．解析：设平面ABC的一个法向量是n＝(x，y，z)，又eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝－x＋y＝0,n·\(AC,\s\up6(→))＝－x＋z＝0))，取x＝1得n＝(1，1，1)，
P(x，1，1)在平面ABC上，
则n·eq \(AP,\s\up6(→))＝x－1＋1＋1＝0，x＝－1.
答案：－1
12．解析：易知B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2).
(1)eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，
设面BCC1B1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x1＋y1＝0,2z1＝0))，取x1＝y1＝1，z1＝0，则n＝(1，1，0)，
所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0)；
(2)eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，BA1＝(－1，0，2)，
设面A1BC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋y2＝0,－x2＋2z2＝0))，取x2＝y2＝2，z2＝1，则m＝(2，2，1)，
所以平面A1BC的一个法向量为m＝(2，2，1).
13．解析：∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．
又eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))不平行，∴eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，则③正确，
由于eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3，4)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，
∴eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(AP,\s\up6(→))不平行，故④错误．
答案：①②③