高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置精练，共5页。

1．圆C1：x2＋y2－4x＋2y－4＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0的位置关系为( )
A．内切B．相交
C．外切D．外离
2．圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与圆C2：x2＋y2＋6x＋2y＋8＝0公切线的条数为( )
A．1B．2
C．3D．4
3．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为( )
A．x－2y－1＝0B．x－y＋2＝0
C．x－y－2＝0D．x－2y＋1＝0
4．已知圆x2＋y2＝1与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r＞0)外切，则r＝( )
A．1B．2
C．3D．4
5．(多选)已知圆O1：x2＋y2＝1的半径为r1，圆O2：x2＋y2－3x－4y＋4＝0的半径为r2，则( )
A.r1＞r2
B．r1＜r2
C．圆O1与圆O2外切
D．圆O1与圆O2外离
6．若圆x2＋y2＋Dx－4y－4＝0和圆x2＋y2－2x＋F＝0的公共弦所在的直线方程为x－y＋1＝0，则D＋F＝________．
7．圆C1：x2＋y2－2x＝0与圆C2：x2＋y2－4y＝0的公共弦长为________．
8．已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：(x－3)2＋y2＝m.
(1)在①m＝3，②m＝4这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答．若________，判断这两个圆的位置关系；
(2)若m＝5，求直线x＋y－1＝0被圆C截得的弦长．
注：若第(1)问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分．
[提能力]
9．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)，以下结论正确的是( )
A.若C1和C2只有一个公共点，则r＝2
B．若r＝1，则C1和C2关于直线x＝eq \f(3,2)对称
C．若1＜r＜2，则C1和C2外离
D．若2＜r＜3且C1和C2的公共弦长为eq \r(3)，则r＝eq \r(7)
10．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
11．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________．
12．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：(x－a)2＋(y－2a＋2)2＝25.
(1)若圆C1与圆C2外切，求实数a的值；
(2)若圆C1与圆C2相交于A，B两点，弦AB的长为eq \r(55)，求实数a的值．
[培优生]
13．(多选)数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ＞0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A(－2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA|＝eq \r(2)|MB|，则下列说法正确的是( )
A．点M的轨迹围成区域的面积为32π
B．△ABM面积的最大值为8eq \r(2)
C．点M到直线x－y＋4＝0距离的最大值为5eq \r(2)
D.若圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝r2上存在满足条件的点M，则半径r的取值范围为[eq \r(2)，9eq \r(2)]
课时作业(二十一) 圆与圆的位置关系
1．解析：将两圆的一般方程化为标准方程得C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝9；C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝4，
可知圆心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半径r1＝3，r2＝2，
|C1C2|＝eq \r(（2＋2）2＋（－1－2）2)＝5＝r1＋r2，
故两圆外切．
答案：C
2．解析：根据题意，圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0即(x－5)2＋(y－5)2＝50，
其圆心为(5，5)，半径r＝5eq \r(2)；圆C2：x2＋y2＋6x＋2y＋8＝0即(x＋3)2＋(y＋1)2＝2，其圆心为(－3，－1)，半径R＝eq \r(2)；两圆的圆心距|C1C2|＝eq \r(64＋36)＝10＞R＋r＝6eq \r(2)，所以两圆相离，其公切线条数有4条．
答案：D
3．解析：由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减，
得：4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.
答案：B
4．解析：由题设，两圆圆心分别为(0，0)、(3，4)，半径分别为1、r，
∴由外切关系知：eq \r(（3－0）2＋（4－0）2)＝r＋1，可得r＝4.
答案：D
5．解析：圆O1：x2＋y2＝1的半径为r1＝1，圆O2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋(y－2)2＝eq \f(9,4)的半径为r2＝eq \f(3,2)，故r1＜r2，故B对，A错；圆心距d＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－0))\s\up12(2)＋（2－0）2)＝eq \f(5,2)＝r1＋r2，故圆O1与圆O2外切，故C对，D错．
答案：BC
6．解析：由题设，两圆方程相减可得：(D＋2)x－4y－4－F＝0，即为公共弦x－y＋1＝0，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4,D＋2)＝1,－\f(4＋F,D＋2)＝1))，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝2,F＝－8))，
∴D＋F＝－6.
答案：－6
7．解析：圆C1：x2＋y2－2x＝0与圆C2：x2＋y2－4y＝0，两式相减得，公共弦所在直线方程为：x－2y＝0，圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆心为C1：(1，0)，r＝1，C1到公共弦的距离为：d＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，公共弦长为2eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))\s\up12(2))＝eq \f(4\r(5),5).
答案：eq \f(4\r(5),5)
8．解析：(1)选①.圆O的圆心为O(0，0)，半径为1；圆C的圆心为C(3，0)，半径为eq \r(3).
因为两圆的圆心距为|OC|＝3，
且两圆的半径之和为1＋eq \r(3)＜3，所以两圆外离．
选②.
圆O的圆心为O(0，0)，半径为1.圆C的圆心为C(3，0)，半径为2.
因为两圆的圆心距为|OC|＝3.且两圆的半径之和为1＋2＝3，所以两圆外切．
(2)因为点C到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，所以直线x＋y－1＝0被圆C截得的弦长为2eq \r(5－d2)＝2eq \r(3).
9．解析：圆C1的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝1.
圆C2的圆心为C2(3，0)，半径为r2＝r.圆心距|C1C2|＝3.当r＝4时，r2－r1＝|C1C2|，两圆内切，C1和C2只有一个公共点，A选项错误．当r＝1时，两个圆的半径相等，C1和C2关于直线x＝eq \f(3,2)对称，B选项正确．当1＜r＜2时，r1＋r2＝1＋r∈(1，3)，即|C1C2|＞r1＋r2，C1和C2外离，C选项正确．当2＜r＜3时，r1＋r2＝1＋r∈(3，4)，r2－r1＝r－1∈(1，2)，
所以r2－r1＜|C1C2|＜r1＋r2，所以两圆相交，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－3）2＋y2＝r2,x2＋y2＝1))，两式相减并化简得x＝eq \f(10－r2,6)＞0，
即相交弦所在直线方程为x＝eq \f(10－r2,6)，
所以公共弦长为2eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10－r2,6)))\s\up12(2))＝eq \r(3)⇒r＝eq \r(7)∈(2，3)，D选项正确．
答案：BCD
10．解析：设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则eq \r(（x－5）2＋（y＋7）2)＝4＋1，
∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；
若动圆与已知圆内切，则eq \r(（x－5）2＋（y＋7）2)＝4－1，
∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
答案：D
11．解析：O(0，0)，C(3，0)，两圆半径均为1，∵|OC|＝eq \r(32＋02)＝3，∴|PQ|的最小值为3－1－1＝1.
答案：1
12．解析：(1)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，即为(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，所以C1(－1，－4)，r1＝5，
圆C2：(x－a)2＋(y－2a＋2)2＝25，所以C2(a，2a－2)，r2＝5，
因为两圆外切，所以|C1C2|＝r1＋r2＝10，得eq \r(（a＋1）2＋（2a＋2）2)＝10，
化简得(a＋1)2＝20，所以a＝－1±2eq \r(5).
(2)方法一 圆C2：(x－a)2＋(y－2a＋2)2＝25，即为x2＋y2－2ax＋4(1－a)y＋5a2－8a－21＝0，
将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，,x2＋y2－2ax＋4（1－a）y＋5a2－8a－21＝0，))两式相减得公共弦AB的方程为：(2＋2a)x＋(4＋4a)y－5a2＋8a＋13＝0，
由于|AB|＝eq \r(55)，得点C1到直线AB的距离：d＝eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))\s\up12(2))＝eq \r(25－\f(55,4))＝eq \f(3\r(5),2)，
所以eq \f(|－（2＋2a）－4（4＋4a）－5a2＋8a＋13|,\r(（2＋2a）2＋（4＋4a）2))＝eq \f(3\r(5),2)，即eq \f(|5a2＋10a＋5|,2\r(5)|a＋1|)＝eq \f(3\r(5),2)，即|a＋1|＝3，
解得a＝2或者a＝－4.
方法二 因为r1＝r2＝5，所以圆C1与圆C2关于直线AB对称，
因为|AB|＝eq \r(55)，得点C1到直线AB的距离：
d＝eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))\s\up12(2))＝eq \r(25－\f(55,4))＝eq \f(3\r(5),2)，所以|C1C2|＝3eq \r(5)＝eq \r(（a＋1）2＋（2a＋2）2)，
解得a＝2或者a＝－4.
13．解析：由题意，设点M(x，y)，
又|MA|＝eq \r(2)|MB|，
所以eq \r(（x＋2）2＋y2)＝eq \r(2)·eq \r(（x－2）2＋y2)，化简可得(x－6)2＋y2＝32，
所以点M的轨迹为以点N(6，0)为圆心，4eq \r(2)为半径的圆，所以点M的轨迹围成的区域面积为32π，A选项正确；又点M(x，y)满足y∈[－4eq \r(2)，4eq \r(2)]，
所以S△ABM＝eq \f(1,2)|AB|·|y|∈(0，8eq \r(2)]，B选项正确；点N(6，0)到直线x－y＋4＝0的距离d＝eq \f(|6－0＋4|,\r(12＋（－1）2))＝5eq \r(2)＞4eq \r(2)，
所以直线与圆相离，所以点M到直线x－y＋4＝0距离的最大值为5eq \r(2)＋4eq \r(2)＝9eq \r(2)，C选项错误；由D选项可知圆C与圆N有公共点，所以|4eq \r(2)－r|≤|CN|≤4eq \r(2)＋r，
且|CN|＝eq \r(（6＋1）2＋（0－1）2)＝5eq \r(2)，
即|4eq \r(2)－r|≤5eq \r(2)≤4eq \r(2)＋r，
所以eq \r(2)≤r≤9eq \r(2)，D选项正确．
答案：ABD