辽宁省沈阳市铁西区2023-2024学年七年级上学期期末数学试卷+

这是一份辽宁省沈阳市铁西区2023-2024学年七年级上学期期末数学试卷+，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列有理数中，负数是（ ）
A．3B．0C．﹣1.5D．0.48
2．（3分）如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（ ）
A．核B．心C．数D．养
3．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．的系数是B．的次数是2
C．x的次数是0D．﹣5x2的系数是﹣5
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣1）+（+3）＝﹣4B．（﹣2）+（﹣3）＝1
C．（+2）﹣（﹣5）＝﹣3D．（﹣3）﹣（﹣5）＝2
5．（3分）下列方程变形正确的是（ ）
A．由3+x＝5得x＝5+3B．由7x＝﹣4得x＝﹣
C．由y＝0得y＝3D．由3＝x﹣2得x＝2+3
6．（3分）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．乘坐飞机时对旅客行李的检查
B．了解小明一家三口人对端午节来历的了解程度
C．了解我校初2016级1班全体同学的视力情况
D．了解某批灯泡的使用寿命
7．（3分）若x＝1是关于x的一元一次方程x+1＝﹣2x+3m的解，则m的值为（ ）
A．2B．3C．D．
8．（3分）一次数学测试，某班40名学生成绩被分为5组，第1至4组的频数分别为12，10，6，8，则第5组的频数是（ ）
A．12B．8C．4D．6
9．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”
译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？”
设井深为x尺，根据题意列方程，正确的是（ ）
A．3（x+4）＝4（x+1）B．3x+4＝4x+1
C．3（x﹣4）＝4（x﹣1）D．
10．（3分）如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能画出的角度是（ ）
A．18°B．55°C．63°D．117°
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是215000000米．将数字215000000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个结果如下：①0.13mm；②﹣0.12mm；③﹣0.15mm；④0.11mm．则质量最好的零件为 （填序号即可）．
13．（3分）计算1.45度＝ 分．
14．（3分）如图，数学课代表用折线统计图呈现了A、B两名同学最近5次的数学成绩，由统计图可知， 同学的进步大．
15．（3分）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．综合实践课上，小刚班级做幻方游戏，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则a＝ ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解一元一次方程：．
17．（8分）如图是由几个相同的边长为1的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，请分别画出这个几何体从正面和左面看到的形状图．
18．（8分）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周每天的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“﹣”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：
求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单．
19．（9分）某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A．“艺术类”，B．“文学类”，C．“科普类”，D．“体育类”，E．“其他类”．每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题；
（1）求此次调查的学生人数；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中A．“艺术类”所对应的圆心角度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校1200名学生中有多少名学生最喜爱C．“科普类”图书．
20．（8分）某工厂计划用100张白板纸制作某种型号的长方体纸箱，每张白板纸可以用A，B，C三种方法中的一种剪裁（如图所示）：
方法A：一张白板纸裁成5个侧面；
方法B：一张白板纸裁成4个侧面与3个底面；
方法C：一张白板纸裁成3个侧面与6个底面．
若四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱，设按方法A剪裁的有x张白板纸，按方法B剪裁的有y张白板纸．（1）则按方法C剪裁的有 张白板纸（用含x，y的代数式表示）；
（2）将100张白板纸裁剪完后，求一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含x，y的代数式表示）
21．（8分）某商场开展打折促销活动，对标价为80元/件的A商品和标价为100元/件的B商品进行打折销售，设计了如下两种打折方案．
方案一：A商品打7折，B商品打8.5折；
方案二：A，B两种商品都打8折．
乙单位到该商场购买A，B两种商品，购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少10件，经过计算发现，选择方案一和方案二实际付款相同，求乙单位购买A，B两种商品的件数．
22．（12分）如图1，将一段长为60cm的绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
（1）若将绳子AB沿点M，N折叠，点A，B分别落在A′，B′处．
①如图2，若A′，B′恰好重合于点O处，则MN＝ cm；
②如图3，若点A′落在点B′的左侧，且A′B′＝20cm，求MN的长度；
方案设计：
（2）如图4，若将绳子AB沿点N折叠后，点B落在点B′处，在重合部分B′N上用剪刀沿与绳子垂直方向将绳子剪断，把绳子分为AC，CD，B′D三段，且使这三段绳子的长度由短到长的比为3：4：5，请设计裁剪方案（即求此时绳子AN的长度，写出一种方案即可）．
23．（12分）忽【材料导读】
规定：在一个角的内部从角的顶点引出一条射线，这条射线与该角的一条边组成的角是原角的，则这条射线叫原角的“三等分线”．
【学以致用】
（1）如图1，若∠BOC＝2∠AOB，则射线OB ∠AOC的“三等分线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知∠AOC＝110°，射线OB在∠AOC的内部，射线OD是∠BOC的“三等分线”，且∠COD＝∠BOC，若∠AOD＝90°，求∠AOB的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知∠AOC＝100°，点M，N分别在∠AOC的边OA，OC上，射线OM绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，同时射线ON绕点O以每秒30°的速度逆时针旋转，旋转到与边OA重合后停止；然后再按原速度绕点O开始顺时针旋转，旋转到与边OC重合后停止；然后再按原速度绕点O开始逆时针旋转，如此往返…，当射线OM与边OC重合后，射线OM，ON都停止运动．设运动时间为t秒，当射线ON与OM第二次重合后，若射线ON是∠AOM的“三等分线”，请直接写出t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列有理数中，负数是（ ）
A．3B．0C．﹣1.5D．0.48
【分析】根据负数小于0，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、3是正数，故A不符合题意；
B、0既不是正数，也不是负数，故B不符合题意；
C、﹣1.5是负数，故C符合题意；
D、0.48是正数，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，熟练掌握小于0的数是负数是解题的关键．
2．（3分）如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（ ）
A．核B．心C．数D．养
【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．
【解答】解：在该正方体中，与“学”字相对的面所写的汉字是：心．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的平面展开图的特征是解题的关键．
3．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．的系数是B．的次数是2
C．x的次数是0D．﹣5x2的系数是﹣5
【分析】根据单项式的定义进行一一分析判断即可．
【解答】解：A、的系数是π，说法不正确，不符合题意．
B、的次数是3，说法不正确，不符合题意．
C、x的次数是1，说法不正确，不符合题意．
D、﹣5x2的系数是﹣5，说法正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了单项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣1）+（+3）＝﹣4B．（﹣2）+（﹣3）＝1
C．（+2）﹣（﹣5）＝﹣3D．（﹣3）﹣（﹣5）＝2
【分析】根据有理数的加减混和运算法则进行计算即可．
【解答】解：A、（﹣1）+（+3）＝2，故该项不正确，不符合题意；
B、（﹣2）+（﹣3）＝﹣5，故该项不正确，不符合题意；
C、（+2）﹣（﹣5）＝2+5＝7，故该项不正确，不符合题意；
D、（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3+5＝2，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混和运算法则是解题的关键．
5．（3分）下列方程变形正确的是（ ）
A．由3+x＝5得x＝5+3B．由7x＝﹣4得x＝﹣
C．由y＝0得y＝3D．由3＝x﹣2得x＝2+3
【分析】根据等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式进行分析即可．
【解答】解：A、由3+x＝5得x＝5﹣3，故原题说法错误；
B、由7x＝﹣4得x＝﹣，故原题说法错误；
C、由y＝0得y＝0，故原题说法错误；
D、由3＝x﹣2得x＝2+3，故原题说法正确；
故选：D．
【点评】此题主要等式的性质，关键是掌握等式的性质定理．
6．（3分）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．乘坐飞机时对旅客行李的检查
B．了解小明一家三口人对端午节来历的了解程度
C．了解我校初2016级1班全体同学的视力情况
D．了解某批灯泡的使用寿命
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【解答】解：A、乘坐飞机时对旅客行李的检查适合采用全面调查方式；
B、了解小明一家三口人对端午节来历的了解程度适合采用全面调查方式；
C、了解我校初2016级1班全体同学的视力情况的调查适合采用全面调查方式；
D、了解某批灯泡的使用寿命适合采用用抽样调方式；
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
7．（3分）若x＝1是关于x的一元一次方程x+1＝﹣2x+3m的解，则m的值为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】根据方程的解的定义，把x＝﹣1代入方程2x﹣3m＝0即可求出m的值．
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元一次方程x+1＝﹣2x+3m的解，
∴1+1＝﹣2+3m，
解得m＝．
故选：D．
【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
8．（3分）一次数学测试，某班40名学生成绩被分为5组，第1至4组的频数分别为12，10，6，8，则第5组的频数是（ ）
A．12B．8C．4D．6
【分析】根据题意可得：第5组的频数＝40﹣12﹣10﹣6﹣8，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：40﹣12﹣10﹣6﹣8＝4，
∴第5组的频数是4，
故选：C．
【点评】本题考查了频率与频数，熟练掌握频数的意义是解题的关键．
9．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”
译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？”
设井深为x尺，根据题意列方程，正确的是（ ）
A．3（x+4）＝4（x+1）B．3x+4＝4x+1
C．3（x﹣4）＝4（x﹣1）D．
【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【解答】解：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3（x+4），根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：4（x+1），
故3（x+4）＝4（x+1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键．
10．（3分）如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能画出的角度是（ ）
A．18°B．55°C．63°D．117°
【分析】一副三角板中的度数，用三角板画出角，无非是用角度加减，逐一分析即可．
【解答】解：A、18°＝90°﹣72°，则18°角能画出；
B、55°不能写成36°、72°、45°、90°的和或差的形式，不能画出；
C、63°＝90°﹣72°+45°，则63°可以画出；
D、117°＝72°+45°，则117°角能画出．
故选：B．
【点评】此题考查的知识点是角的计算，关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是215000000米．将数字215000000用科学记数法表示为 2.15×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：215000000用科学记数法表示为2.15×108．
故答案为：2.15×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个结果如下：①0.13mm；②﹣0.12mm；③﹣0.15mm；④0.11mm．则质量最好的零件为 ④ （填序号即可）．
【分析】先求出各数的绝对值，然后再进行比较，即可解答．
【解答】解：∵|0.13|＝0.13，|﹣0.12|＝0.12，|﹣0.15|＝0.15，|0.11|＝0.11，
∴0.11＜0.12＜0.13＜0.15，
∴质量最好的零件为④，
故答案为：④．
【点评】本题考查了正数和负数，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（3分）计算1.45度＝ 87 分．
【分析】将1.45°化成“分”，只要乘以进率60即可．
【解答】解：1.45°＝1.45×60′＝87′，
故答案为：87．
【点评】本题考查度分秒的换算，掌握进率和换算方法是得出正确答案的前提．
14．（3分）如图，数学课代表用折线统计图呈现了A、B两名同学最近5次的数学成绩，由统计图可知， A 同学的进步大．
【分析】根据折线统计图可知，A、B两名同学第一次成绩都是70分，5次成绩是逐渐提高，到第5次A同学成绩在90分以上，B同学只达到85分，所以A同学的进步大．
【解答】解：由图可知，A、B两名同学第一次成绩都是70分，折线从左往右逐渐上升，即5次成绩是逐渐提高，到第5次时A同学成绩在90分以上，B同学只达到85分，所以A同学的进步大．
故答案为A．
【点评】本题考查了折线统计图的定义与特点，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
15．（3分）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．综合实践课上，小刚班级做幻方游戏，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则a＝ ﹣14 ．
【分析】设左上角的数为x，正中间的数为y，根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列方程可解得a的值．
【解答】解：设左上角的数为x，正中间的数为y，如图：
∵x+15+b＝b+8+4，
∴x＝﹣3，
∵x+y+4＝b+8+4，
∴﹣3+y＝b+8，
∴y＝b+11，
∵a+y+15＝4+8+b，
∴a+（b+11）+15＝4+8+b，
解得a＝﹣14；
故答案为：﹣14．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列方程．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解一元一次方程：．
【分析】（1）首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【解答】解：（1）
＝﹣64+3×4+（﹣5）÷
＝﹣64+12+（﹣45）
＝﹣97．
（2）去分母，可得：4（y﹣1）+12＝3（3y+1），
去括号，可得：4y﹣4+12＝9y+3，
移项，可得：4y﹣9y＝3+4﹣12，
合并同类项，可得：﹣5y＝﹣5，
系数化为1，可得：y＝1．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意运算顺序，以及解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
17．（8分）如图是由几个相同的边长为1的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，请分别画出这个几何体从正面和左面看到的形状图．
【分析】根据三视图的定义画图即可．
【解答】解：如图所示．
【点评】本题考查作图﹣三视图、由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，难度不大．
18．（8分）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周每天的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“﹣”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：
求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单．
【分析】求出表中数据的平均数，再加上标准数40即可．
【解答】解：由题意，得：
40+[（﹣3）+（+4）+（﹣5）+（+14）+（﹣8）+（+7）+（+12）]÷7
＝40+3
＝43（单），
答：该外卖小哥这一周平均每天送餐43单．
【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．
19．（9分）某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A．“艺术类”，B．“文学类”，C．“科普类”，D．“体育类”，E．“其他类”．每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题；
（1）求此次调查的学生人数；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中A．“艺术类”所对应的圆心角度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校1200名学生中有多少名学生最喜爱C．“科普类”图书．
【分析】（1）用B的人数除以对应百分比可得样本容量；
（2）用样本容量减去其它四类的人数可得D类的人数，进而补全条形统计图；
（3）用360°乘A“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；
（4）用总人数乘样本中C类所占百分比即可．
【解答】解：（1）此次被调查的学生人数为：20÷20%＝100（名）；
（2）D类的人数为：100﹣10﹣20﹣40﹣5＝25（名），
补全条形统计图如下：
（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是：360°×＝36°；
（4）1200×＝480（名），
答：估计该校1200名学生中，大约有480名学生最喜爱C“科普类”图书．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）某工厂计划用100张白板纸制作某种型号的长方体纸箱，每张白板纸可以用A，B，C三种方法中的一种剪裁（如图所示）：
方法A：一张白板纸裁成5个侧面；
方法B：一张白板纸裁成4个侧面与3个底面；
方法C：一张白板纸裁成3个侧面与6个底面．
若四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱，设按方法A剪裁的有x张白板纸，按方法B剪裁的有y张白板纸．（1）则按方法C剪裁的有 （100﹣x﹣y） 张白板纸（用含x，y的代数式表示）；
（2）将100张白板纸裁剪完后，求一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含x，y的代数式表示）
【分析】（1）用100张白板纸减去按方法A剪裁的x张白板纸，再减去按方法B剪裁的有y张白板纸即可；
（2）把x张白板纸，y张白板纸，（100﹣x﹣y）张白板纸可以裁剪出的侧面个数和底面个数分别相加即可．
【解答】解：（1）由题意得：
按方法C剪裁的有（100﹣x﹣y）张白板纸，
故答案为：（100﹣x﹣y）；
（2）由题意得：
x张白板纸可以裁剪出5x个侧面，
y张白板纸可以裁剪出4y个侧面，3y个底面，
（100﹣x﹣y）张白板纸可以裁剪出3（100﹣x﹣y）个侧面，6（100﹣x﹣y）个底面，
所以：一共可以裁出的侧面个数为：
5x+4y+3（100﹣x﹣y）＝2x+y+300（个），
一共可以裁出的底面个数为：
3y+6（100﹣x﹣y）＝600﹣6x﹣3y（个），
答：一共可以裁出的侧面个数为（2x+y+300）个，一共可以裁出的底面个数为（600﹣6x﹣3y）个．
【点评】本题考查了认识立体图形，整式的加减，列代数式，代数式求值，根据题目的已知条件并结合图形求出一共可以裁出的侧面个数和底面个数是解题的关键．
21．（8分）某商场开展打折促销活动，对标价为80元/件的A商品和标价为100元/件的B商品进行打折销售，设计了如下两种打折方案．
方案一：A商品打7折，B商品打8.5折；
方案二：A，B两种商品都打8折．
乙单位到该商场购买A，B两种商品，购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少10件，经过计算发现，选择方案一和方案二实际付款相同，求乙单位购买A，B两种商品的件数．
【分析】设乙单位购买A种商品x件，根据选择方案一和选择方案二实际付款相同列方程可解得答案．
【解答】解：设乙单位购买A种商品x件，则购买B种商品（2x﹣10）件，
根据题意得：80×0.7x+100×0.85（2x﹣10）＝80×0.8x+100×0.8（2x﹣10），
解得x＝25，
∴2x﹣10＝2×25﹣10＝40，
答：乙单位购买A种商品25件，购买B种商品40件．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程．
22．（12分）如图1，将一段长为60cm的绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
（1）若将绳子AB沿点M，N折叠，点A，B分别落在A′，B′处．
①如图2，若A′，B′恰好重合于点O处，则MN＝ 30 cm；
②如图3，若点A′落在点B′的左侧，且A′B′＝20cm，求MN的长度；
方案设计：
（2）如图4，若将绳子AB沿点N折叠后，点B落在点B′处，在重合部分B′N上用剪刀沿与绳子垂直方向将绳子剪断，把绳子分为AC，CD，B′D三段，且使这三段绳子的长度由短到长的比为3：4：5，请设计裁剪方案（即求此时绳子AN的长度，写出一种方案即可）．
【分析】（1）①MN＝AB﹣A′M﹣B′M，
②MN＝MA′+A′B′+B′N；
（2）CN＝DN＝CD，按三段绳子比例求得每段绳子的长度，可得AN．
【解答】解：（1）①由题意得A′M+B′M＝MN，
MN＝AB﹣A′M﹣B′M＝30（cm），
故答案为：30；
②∵AM+A′M+A′B′+B′N+BN＝60（cm），A′B′＝20cm，AM＝A′M，B′N＝BN，
∴A′M+B′N＝20（cm），
MN＝MA′+A′B′+B′N＝40（cm），
（2）由题意得CN＝DN＝CD，
使得AC，CD，B′D这三段绳子的长度由短到长的比为3：4：5，
∴AC＝15cm，CD＝20cm，B′D＝25cm，
∴CN＝10cm，AN＝AC+CN＝30cm．
【点评】本题考查了两点之间的距离，关键是正确计算．
23．（12分）忽【材料导读】
规定：在一个角的内部从角的顶点引出一条射线，这条射线与该角的一条边组成的角是原角的，则这条射线叫原角的“三等分线”．
【学以致用】
（1）如图1，若∠BOC＝2∠AOB，则射线OB 是 ∠AOC的“三等分线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知∠AOC＝110°，射线OB在∠AOC的内部，射线OD是∠BOC的“三等分线”，且∠COD＝∠BOC，若∠AOD＝90°，求∠AOB的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知∠AOC＝100°，点M，N分别在∠AOC的边OA，OC上，射线OM绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，同时射线ON绕点O以每秒30°的速度逆时针旋转，旋转到与边OA重合后停止；然后再按原速度绕点O开始顺时针旋转，旋转到与边OC重合后停止；然后再按原速度绕点O开始逆时针旋转，如此往返…，当射线OM与边OC重合后，射线OM，ON都停止运动．设运动时间为t秒，当射线ON与OM第二次重合后，若射线ON是∠AOM的“三等分线”，请直接写出t的值．
【分析】（1）根据题意解答即可；
（2）根据三等分线列出等式计算即可．
（3）先计算出t＞5s，再分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝2∠AOB，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝∠AOB+2∠AOB＝3∠AOB，
故答案为：是；
（2）∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝20°，
∵∠COD＝∠BOC，
∴∠BOC＝60°，∠BOD＝∠BOC＝40°，
∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝50°；
（3）当ON与OM第二次重合时，ON从OA转向OC，此时，∠AOM＝10t，∠AON＝（30t﹣100）°，
∴10t＝30t﹣100，
20t＝100，t＝5，
∴当t＞5后，
当∠MON＝∠AOM时，此时，ON向OA转动，此时，∠CON＝30t﹣200，∠AON＝100﹣（30t﹣200）＝300﹣30t，
当∠AON＝时，300﹣30t＝，
∴，
当∠AON＝∠AOM时，300﹣30t＝，
∴t＝9（s）．
综上，t值为s或9s．
【点评】本题考查了角的计算，熟练掌握角的和差倍分是关键．
15
a
b
8
4
星期
一
二
三
四
五
六
日
送餐量/单
﹣3
+4
﹣5
+14
﹣8
+7
+12
15
a
b
8
4
x
15
y
a
b
8
4
星期
一
二
三
四
五
六
日
送餐量/单
﹣3
+4
﹣5
+14
﹣8
+7
+12