绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期11月半期考试数学试卷(含答案)

这是一份绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期11月半期考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2、已知空间向量,,且,则m的值为( )
A.B.C.D.
3、已知直线,相互平行,则,之间的距离为( )
A.B.C.D.
4、已知某地A,B,C三个村的人口户数及贫困情况分别如图1和图2所示,当地政府为巩固拓展脱贫攻坚成果,全面推进乡村振兴,决定采用分层随机抽样的方法抽取20%的户数进行调查,则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是( )
A.150,15B.150,20C.200,15D.200,20
5、已知,是椭圆C的两个焦点,焦距为4.若P为椭圆C上一点,且的周长为10,则椭圆C的离心率e为( )
A.B.C.D.
6、若圆C经过点,,且圆心在直线上,则圆C的方程为( )
A.B.
C.D.
7、先后两次掷一枚质地均匀的骰子,事件“两次掷出的点数之和是6”,事件“第一次掷出的点数是奇数”,事件“两次掷出的点数相同”,则( )
A.A与B互斥B.B与C相互独立C.D.A与C互斥
8、若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值是( )
A.4B.5C.6D.8
二、多项选择题
9、已知椭圆与椭圆,则下列说法错误的是( )
A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等
10、已知空间中三点,,,则下列结论错误的是( )
A.与是共线向量B.与同向的单位向量是
C.与夹角的余弦值是D.平面ABC的一个法向量是
11、光线自点射入,经倾斜角为的直线反射后经过点,则反射光线经过的点为( )
A.B.C.D.
12、对于平面直角坐标系内任意两点,,定义它们之间的一种“折线距离”:,则下列命题正确的是( )
A.若,,则
B.若A为定点,B为动点,且满足,则B点的轨迹是一个圆
C.若A为定点,B为动点,且满足,则B点的轨迹是一个椭圆
D.若点C线段AB上,则
三、填空题
13、已知直线与直线互相垂直,则它们的交点坐标为_________.
14、如图,在平行六面体中,设,,,N是BC的中点,则向量_________.(用,,表示)
15、某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况,随机抽取了部分党员,对他们一周的党史学习时间进行了统计,统计数据如下表所示:
则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是______.
16、已知点P在直线上运动,点E是圆上的动点,点F是圆上的动点,则的最大值为________.
四、解答题
17、求适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1）长轴在x轴上,长轴的长为12,离心率为;
（2）经过点和.
18、已知,以点A为圆心的圆被y轴截得的弦长为.
（1）求圆A的方程;
（2）若过点的直线l与圆A相切,求直线l的方程.
19、南山实验高二年级的同学们学习完《统计与概率》章节后,统一进行了一次测试,并将所有测试成绩(满分100分)按照,,…,进行分组,得到如图所示的频率分布直方图,已知图中.
（1）求出a,b;
（2）估计测试成绩的平均分;
（3）按照人数比例用分层随机抽样的方法,从成绩在内的学生中抽取4人,再从这4人中任选2人,求这2人成绩都在内的概率.
20、为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全,海事部门在某平台O的北偏西方向km处设立观测点A,在平台O的正东方向12km处设立观测点B,规定经过O,A,B三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示:以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系.
（1）试写出A,B的坐标,并求两个观测点A,B之间的距离;
（2）某日经观测发现,在该平台O正南10kmC处,有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东方向行驶,如果航向不变,该轮船是否会进入安全预警区?如果不进入,请说明理由;如果进入,则它在安全警示区内会行驶多长时间?
21、甲,乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛,每轮比赛由甲,乙各猜一个数学名词,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率;
（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.
22、如图,等腰梯形ABCD中,,,现以AC为折痕把折起,使点B到达点P的位置,且.
（1）证明:面面ACD;
（2）若M为PD上的一点,点P到面ACM的距离为,求的值及平面MAC和平面DAC夹角的余弦值.
参考答案
1、答案：D
解析：设直线的倾斜角为,,
直线可化为,
所以直线的斜率,
,
故选:D.
2、答案：B
解析：,.
故选:B.
3、答案：A
解析：因为直线,相互平行,
所以,解得,
所以,即,
所以,之间的距离.
故选:A.
4、答案：D
解析：将饼图中的A,B,C三个村的人口户数全部相加,
再将所得结果乘以得出样本容量为,
C村抽取的户数为户,
则抽取C村贫困户户数为户.
故选:D.
5、答案：C
解析：依题意知,
焦距:,
由椭圆的定义得的周长为:,
解得:,,所以离心率
故选:C.
6、答案：A
解析：圆经过点,,
可得线段AB的中点为,又,
所以线段AB的中垂线的方程为,
即,
由,解得,
即,圆C的半径,
所以圆C的方程为.
故选:A.
7、答案：B
解析：对于选项A:第一次掷出点数为3,第二次掷出点数为3,满足事件A,也满足事件B,因此A与B能够同时发生,所以A与B不互斥,故选项A错误;
对于选项B:,,,所以,所以B与C相互独立,即选项B正确;
对于选项C:,故选项C错误;
对于选项D:第一次掷出点数为3,第二次掷出点数为3,满足事件A,也满足事件C,因此A与C能够同时发生,所以A与C不互斥,故选项D错误;
故选:B.
8、答案：B
解析：由题意可知,动直线经过定点,
动直线即,经过点定点,
注意到动直线和动直线始终垂直,P又是两条直线的交点,
则有,.
故(当且仅当时取“=”)
故选:B.
9、答案：ABC
解析：由已知条件得椭圆中,,,,
则该椭圆的长轴长为,短轴长为,离心率为,焦距为;
椭圆中,焦点在x轴上,,,,故这两个椭圆只有焦距相等.
故选:ABC.
10、答案：AC
解析：对于A:,,
,与不是共线向量,故A错误;
对于B:,则与同向的单位向量是,故B正确;
对于C:,,
,故C错误;
对于D:,,
设平面ABC的法向量为,
则,取,得,故D正确.
故选:AC.
11、答案：BC
解析：由题意知,,设点关于直线的对称点为,
则,解得,所以反射光线所在的直线方程为,
所以当时,;当时,,
故选:BC
12、答案：AD
解析：由题意可得:当,,时
,所以A正确;
不妨设,,由题意可得,此时表示的几何图形是正方形,
所以BC错误;
设,,且,,
所以
,所以D正确.
故选:AD
13、答案：
解析：因为直线与直线互相垂直,
所以,解得,
联立,解得直线和的交点坐标为,
故答案为:
14、答案：
解析：由向量的减法及加法运算可得,
,
故答案为:
15、答案：9
解析：党员人数一共有,
,那么第60百分位数是第24和25个数的平均数,
第24和25个数分别为9,9,所以第60百分位数是,
故答案为:9.
16、答案：8
解析：如图所示,
圆的圆心为,半径为3,
圆的圆心为,半径为1,
可知,,
所以,
若求的最大值,转化为求的最大值,
设关于直线的对称点为B,设B坐标为,
则,解得,故B,
因为,可得,
当P,B,A三点共线,即P点为时,等号成立,
所以的最大值为.
故答案为:8.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知,,,得:,,从而.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆的几何性质知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,
所以点P,Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点,于是有,.
又短轴,长轴分别在x轴和y轴上,所以椭圆的标准方程为.
18、答案：（1）
（2）或
解析：（1）不妨设圆的半径为R,根据垂径定理,可得:
解得:
则圆的方程为:
（2）当直线l的斜率不存在时,则有:
故此时直线l与圆相切,满足题意
当直线l的斜率存在时,不妨设直线l的斜率为k,点的直线l的距离为d
直线l的方程为:
则有:
解得:,此时直线l的方程为:
综上可得,直线l的方程为:或
19、答案：（1）见解析
（2）76.5
（3）
解析：（1）由频率分布直方图可知,即,
又,所以,.
（2）测试成绩的平均分为:
（3）成绩在和内的人数之比为,
故抽取的4人中成绩在内的有3人,设为,,,成绩在内的有1人,设为D,
再从这4人中选2人,这2人的所有可能情况为,,,,,,共6种,
这2人成绩均在内的情况有,,,共3种,
故这2人成绩都在内的概率为
20、答案：（1）
（2）半小时
解析：（1）由题意得,,;
（2）设圆的方程为,
因为该圆经过O,A,B三点,,得到.
所以该圆的方程为:,
化成标准方程为:.
设轮船航线所在的直线为l,则直线l的方程为:,
圆心到直线的距离,
所以直线l与圆相交,即轮船会驶入安全预警区.
直线l与圆截得的弦长为,行驶时长小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件,
.
（2）设事“甲第一轮猜对”,“乙第一轮猜对”,“甲第二轮猜对”,“乙第二轮猜对”,““九章队”猜对三个数学名词”,
所以,,
则,
由事件的独立性与互斥性,得
,
故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为.
22、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）如图所示,在梯形ABCD中,取AD中点N,连接CN,
易知四边形ABCN为平行四边形,可得,即,
又,,PA,平面PAC,
所以平面PAC,
因为平面DAC,
所以面面ACD;
（2）取AC的中点O,则,
因为,所以,结合（1）结论,
可以以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,,
设,,
即,,
设面ACM一个法向量为,
则有,令,,
即,则点P到面ACM的距离为,即;
易知平面ACD的一个法向量可为,
设平面MAC和平面DAC夹角为,易知,
所以.
党史学习时间(小时)
7
8
9
10
11
党员人数
6
10
9
8
7