山东省泰安第一中学2023-2024学年高二上学期12月份学情诊断数学试卷(含答案)

这是一份山东省泰安第一中学2023-2024学年高二上学期12月份学情诊断数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、数列1,-3,5,-7,9,····,的一个通项公式为( )
A.B.
C.D.
2、已知圆,圆,则与的位置关系是( )
A.外切B.内切C.外离D.相交
3、在空间直角坐标系中,已知,,则点到直线AB的距离为( )
A.B.C.D.
4、已知直线和以,为端点的线段相交,则实数k的取值范围为( )
A.B.
C.或D.或
5、我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图,四棱锥为阳马,平面ABCD,且,若,则( )
A.1B.2C.D.
6、已知在一个二面角的棱上有两个点A、B,线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱,,,,,则这个二面角的度数为( )
A.B.C.D.
7、如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,,,,为椭圆的顶点,为右焦点,延长与交于点P,若为钝角,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8、阅读材料：空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为,阅读上面材料,解决下面问题：已知平面的方程为,直线l是两平面与的交线,则直线l与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列说法正确的是( )
A.若空间中的O,A,B,C满足,则A,B,C三点共线
B.空间中三个向量,,,若,则,,共面
C.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若,则P,A,B,C四点共面
D.设是空间的一组基底,若,,则不能为空间的一组基底
10、在正方体中,下列结论正确的是( )
A.B.平面
C.直线与所成的角为D.二面角的大小为
11、已知P是双曲线上任意一点,A,B是双曲线的两个顶点,设直线PA,PB的斜率分别为,,若恒成立,且实数t的最大值为1,则下列说法正确的是( )
A.双曲线的方程为
B.双曲线的离心率为
C.函数的图象恒过双曲线C的一个焦点
D.设,分别是双曲线的左、右焦点,若的面积为,则
12、已知O为坐标原点,F为抛物线的焦点,过点的直线交E于A、B两点,直线AF、BF分别交E于C、D,则( )
A.E的准线方程为B.
C.的最小值为4D.的最小值为
三、填空题
13、已知空间向量,,两两夹角均为,其模均为1,则__________.
14、若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是__________.
15、已知双曲线C渐近线方程为,两顶点间的距离为6,则该双曲线C的方程是__________．
四、双空题
16、已知菱形ABCD边长为2,,沿对角线BD将折起到的位置,当时,二面角的大小为____________,此时三棱锥的外接球的半径为__________.
五、解答题
17、已知直线l经过.
（1）当直线的倾斜角为45°时,求直线l的方程;
（2）当直线l在两坐标轴上的截距相等时,求直线l的方程.
18、已知圆和圆.
（1）若直线l过点,且被圆M截得的弦长为4,求l的方程：
（2）求圆M与圆N的公共弦的长.
19、如图,四棱锥中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,且,M,N分别PC,AB为的中点．
（1）证明：平面PAD;
（2）求平面MNB与平面NBC的夹角．
20、已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点的距离减去它到y轴距离的差都是1．
(1)求曲线C的方程;
(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A,B两点,,求直线l的方程．
21、边长为4的正方形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,四边形EFCD是半圆弧的内接梯形,且.
（1）证明：平面平面BCE;
（2）设,且二面角与二面角的大小都是,当点P在棱AD（包含端点）上运动时,求直线PB和平面ACE所成角的正弦值的取值范围.
22、已知椭圆经过点,离心率为.
（1）求曲线C的方程;
（2）设直线与曲线C交于A,B两点,点M为OA中点,BM与曲线C的另一个交点为N,设,试求出m的值.
参考答案
1、答案：C
解析：数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式．
故选C．
2、答案：D
解析：因为的圆心为,半径,的圆心为,半径,
所以,
所以,
所以与两圆相交,
故选：D.
3、答案：C
解析：,,,
,
,
在方向上的投影数量为,
点到直线AB的距离为.
故选：C.
4、答案：C
解析：直线恒过定点,且,,
由图可知,或.
故选：C.
5、答案： A
解析：,,
,
,,,.
故选：A.
6、答案：C
解析：设这个二面角的度数为,
由题意得,,
,
解得,
,
这个二面角的度数为,
故选：C.
7、答案：C
解析：设直线l为过且与垂直的直线,易知则直线l的斜率为,
而,则该直线l的方程为,所以该直线与x轴的交点坐标为,
要使得为钝角,则说明直线在直线l上方,故满足,结合,
得到,结合得,结合解得.
故选：C.
8、答案：A
解析：因为平面的方程为,
所以平面的法向量可取,
同理平面的法向量可取,
平面的法向量可取,
设直线l的方向向量,
则,令,则,
则直线l与平面所成角的正弦值为
.
故选：A.
9、答案：ABC
解析：对于A,根据向量的线性运算,若空间中的O,A,B,C满足,
则,即,则A,B,C三点共线,故A正确;
对于B,因为,则,共线,则根据共面向量的定义可得,,,共面,故B正确;
对于C,对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若,又,则P,A,B,C四点共面,故C正确;
对于D,若,,共面,则,则,,共面,与是空间的一组基底矛盾,所以,,不共面,所以能为空间的一组基底,故D错误,
故选：ABC．
10、答案：BCD
解析：对于A：明显四边形是矩形,但不是正方形,故其对角线不垂直,即错误,A错误;
对于B：明显,且平面,平面,故平面,B正确;
对于C：因为,则即为直线与所成的角,
又为等边三角形,所以,即直线与所成的角为,C正确;
对于D：因为面,则为二面角的平面角,又,所以二面角的大小为,D正确;
故选：BCD.
11、答案：AC
解析：由题意知,设,则,即
可得,,
所以,
所以,当且仅当时等号成立,
实数t的最大值为1,所以,解得,
可得双曲线的方程为,则,,
所以离心率,故A正确,B错误,
双曲线的焦点为,
函数图象恒过双曲线的焦点,故C正确,
由的面积为和双曲线的对称性可知,P在双曲线的左支或右支上,
所以错误,由排除法判断D错误,
故选：AC.
12、答案：ABD
解析：对于A选项,对于抛物线E,,可得,
所以,抛物线E的准线方程为,A对;
对于B选项,若直线AB与x轴重合,此时,直线AB与抛物线E只有一个公共点,不合乎题意,
设直线AB的方程为,设点、,
联立,可得,,
所以,,,
则,则,B对;
对于C选项,,
当且仅当时,即当时,等号成立,故的最小值为5,C错;
对于D选项,设点、,
设直线AF的方程为,联立可得,
判别式为,由韦达定理可得,,同理可得,
,同理可得,,
所以,
,
当且仅当时,即当时,等号成立,
所以,的最小值为,D对.
故选：ABD.
13、答案：
解析：单位向量,,两两夹角均为,
则,
所以
.
故答案为：.
14、答案：
解析：由,解得
根据二次函数的性质得出,即
曲线可化为,
所以该曲线表示圆心为,半径为2的半圆
因为直线与曲线有公共点,所以它位于,之间,如下图所示
当直线运动到时,过,代入得：
当直线运动到时,此时与曲线相切
则,解得或（舍）
要使得直线与曲线有公共点,则
故答案为：.
15、答案：或
解析：当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线C的方程为,
则,解得,
双曲线C的方程为;
当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线C的方程为,
则,解得,
双曲线C的方程为;
综上：该双曲线C的方程是或.
故答案为：或
16、答案：①.②.
解析：因为菱形ABCD边长为2,,
所以,为等边三角形,
取BD的中点F,连接CF,,
则,,且,
故为二面角的平面角,
因为,由余弦定理得,
故,
取的中心Q,故,
设三棱锥的球心为O,则平面BCD,
过点作平面BCD,则点E在CF的延长线上,且,
故,
则,
设三棱锥外接球半径为R,
过点O作于点N,连接,OC,则,
,设,
则,
故,解得,
故,
故答案为：,.
17、答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意,直线l的倾斜角为45°时,
可得直线l的斜率为,
又由直线l经过,所以直线l的方程为,
即直线l的方程为.
（2）当直线l过原点时,因为直线l经过,
可得直线l方程为,即;
当直线不过原点时,可设直线l的方程为,
因为直线l过点,可得,解得,所以直线l的方程为.
综上所述,直线l的方程为或.
18、答案：（1）或
（2）
解析：（1）由得,
故圆M的圆心为,半径为,
设圆心M到直线的距离为d,由弦长公式得,故,
若直线l斜率不存在,则,此时圆心到直线l的距离为2,符合题意;
若直线l斜率存在,设直线方程为,即,
故,解得,则直线方程为,
所以直线l得方程为或.
（2）因为圆,所以圆N的圆心为,,
所以,,
故,即圆M与圆N相交,
联立,两式相减得公共弦方程为,
所以圆心到公共弦的距离为,
又因为,所以公共弦长为.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）取PD的中点E,连接ME,EA,如图（1）所示：
因为M,E分别是PC,PD的中点,
在中,,且,
因为底面ABCD是正方形,N为AB中点,
所以,,
所以且,
故四边形MEAN是平行四边形,所以,
又因为平面PAD,平面PAD,
所以平面PAD.
（2）因为底面ABCD是正方形,底面ABCD,所以AB,AD,AP两两垂直,
以A为原点,,,分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
如图（2）所示：
由条件可知,,,,.
设平面MNB与平面NBC的夹角为,平面MNB的法向量为,
则,取,得平面MNB的一个法向量为,
易知,平面NBC的一个法向量为,
所以,
又,所以,
即平面MNB与平面NBC的夹角为．
20、答案：(1)
(2)或
解析：(1)设点是曲线C上任意一点,
那么点满足：．
化简得曲线C的方程为．
(2)由题意得,直线l的方程为,
设,．
由得．
因为,故,
所以．
由题设知,解得或．
因此直线l的方程为或．
21、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）在正方形ABCD中,
面面CDE,面ABCD,面面,
面CDE,
面CDE,,
E在以CD为直径的半圆上, ,
又,BC,面BCE,面BCE,
又面ADE,
面面BCE.
（2）,,
又,为二面角的平面角,
,同理.
在梯形EFCD中,.
取CD的中点O,以为y轴正半轴,以平行于的方向为x轴正半轴,
以平面CDE内垂直于OC的方向为z轴正半轴,建立如图空间直角坐标系：
则,,,
设,,
则,,,
设平面ACE的法向量为,
则,
令,则,,
设直线PB和平面ACE所成角为,
则,
设,
则,
令,
当时,,
当时,,
令,任意,
,
因为,所以,,,
所以,所以在上为减函数,
故,所以,
所以,
所以,
所以直线PB和平面ACE所成角的正弦值的取值范围.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,
解得,C的方程为;
（2）设,,
将代入得,
所以,
所以,
由点M为OA中点得,
由得,
所以,
因为N在椭圆上,所以,
所以,
即,
又因为,,,
所以,化简得,解得（负值舍去）.