上杭县第一中学2024届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份上杭县第一中学2024届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、若,则( )
A.B.C.D.
3、“”是“直线与直线互相垂直”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4、记等比数列的前n项和为.若,,则( )
A.-3B.-6C.-21D.-24
5、已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
6、2006年5月20日,蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴､踢的含义,“鞠”最早是外包皮革､内饰米糠的球,因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.如图所示,若将“鞠”的表面视为光滑的球面,已知某“鞠”的表面上有四个点P,A,B,C,满足,平面ABC,,若的面积为2,则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为( )
A.B.C.D.
7、设椭圆左、右焦点分别为,点M,N在椭圆C上（点M位于第一象限）,且点M,N关于原点O对称,若,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
8、已知：定义在R上的可导函数的图象关于点对称的充要条件是导函数的图象关于直线对称.任给实数m,n满足,,则( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
9、向量,满足,,,则___________.
10、在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B在圆上,且,点,,设AB的中点M的横坐标为,则的所有值为__________.
11、已知函数的两个零点为,,函数的两个零点为,,则___________
三、双空题
12、对任意的正整数k,直线恒过定点,则这个定点的坐标为__________,若点在直线l上,则数列的前10项和为___________.
四、解答题
13、关于函数,,下列命题正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数在上单调递增
C. 函数的表达式可改写为
D. 函数图像可先将图像向左平移,再把各点横坐标变为原来的得到
14、已知圆C过点,,直线平分圆C面积,过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M,N,则( )
A.圆心的坐标为
B.圆C的方程为
C.k的取值范围为
D.当时,弦MN的长为
15、如图,已知正方体的棱长为2,E,F分别是棱BC,的中点,P是侧面内（含边界）的动点,则下列说法正确的是( )
A.若直线与平面AEF平行,则三棱锥的体积为
B.若直线与平面AEF平行,则直线上存在唯一的点Q,使得DQ与始终垂直
C.若,则EP的最小值为
D.若,则的最大值为
16、定义在R上的函数的导函数为,对于任意实数x,都有,且满足,则( )
A.函数为奇函数
B.不等式的解集为
C.若方程有两个根,,则
D.在处的切线方程为
17、已知函数
（1）当,求的最值,及取最值时对应的x的值;
（2）在中,A为锐角,且,,求的面积．
18、第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWrldCupQatar2022）决赛中,阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活,组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关,随机抽取了男､女同学各100名进行调查,部分数据如表所示：
（1）根据所给数据完成上表,并判断是否有把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为,女生进球的概率为,每人射门一次,假设各人射门相互独立,求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附：.
19、椭圆的两个焦点分别为,,离心率为,R为椭圆C上任意一点,R不在x轴上,的面积的最大值为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点的直线l与椭圆C相交于M,N两点,设点,求证：直线BM,BN的斜率之和为定值,并求出定值.
20、设是数列的前n项和,已知,
（1）证明：是等比数列;
（2）求满足的所有正整数n.
21、如图①所示,长方形ABCD中,,,点M是边CD靠近点C的三等分点,将沿AM翻折到,连接PB,PC,得到图②的四棱锥.
（1）求四棱锥的体积的最大值;
（2）设的大小为,若,求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值.
22、已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）若,证明：.
参考答案
1、答案：B
解析：,,
所以．
故选：B.
2、答案：C
解析：,
故选：C.
3、答案：A
解析：依题意,,解得或,
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
4、答案： C
解析：设等比数列的公比为,
则,解得：,
又,
所以,
故选：C.
5、答案：B
解析：,,
,,
a,,故.
故选：B.
6、答案：C
解析：在三棱锥中,因为平面ABC,BC,平面ABC,
则,
而,,PC,平面PAC,因此平面PAC,
又平面PAC,于是,
取PB中点O,连接OA,OC,从而,
则点O是三棱锥的外接球球心,如图,
设该外接球半径为R,
则,
当且仅当时取等号,因此三棱锥的外接球表面积,
所以制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为.
故选：C.
7、答案：B
解析：依题意作下图,由于,并且线段MN,互相平分,
四边形是矩形,其中,,
设,则,
根据勾股定理,,,
整理得,
由于点M在第一象限,,
由,得,即,
整理得,即,解得或舍去.
故选：B．
8、答案：B
解析：设函数,则,
其图像关于对称,故原函数的图像关于点对称,且,故对称点的坐标为．
又由已知可得,,则,
又当时,知在上恒单调递增．
故点与点关于点对称．所以即．
故选：B．
9、答案：
解析：由题意,,,
,,
,
.
故答案为：.
10、答案：1,
解析：因为圆的圆心,半径为,
设,由,得,
又,所以,
即,
联立,解得或.
所以的所有值为1,.
故答案为：1,.
11、答案：2
解析：因为函数的两个零点为,,
则,即,
又,
则,即,
所以.
故答案为：2.
12、答案：①②
解析：直线
即,令,解得,
所以直线l恒过点,
因为点在直线l上,所以,解得,
所以,
则数列的前10项和.
故答案为：;.
13、答案：AC
解析：对选项A,,,故A正确.
对选项B,因为,所以,
所以在区间先增后减,故B错误.
对选项C,,
故C正确.
对选项D,图像向左平移得到,
再把各点横坐标变为原来的得到,故D错误.
故选：AC.
14、答案：ABD
解析：设圆的标准方程为,
因为圆C被直线平分,
所以圆心在直线m上,可得,
由题目条件已知圆C过点,
则
综上可解得,,
所以圆心的坐标为,选项A正确;
圆C的方程为,选项B正确;
根据题目条件已知过点且斜率为k的直线l方程为,即,
又直线l与圆C有两个不同的交点M,N,所以点到直线l的距离小于半径r,
则利用点到直线的距离公式可得：,
解得k的取值范围为,所以选项C错误;
当时,可求得点到直线l的距离为,
所以根据勾股定理可得,
即弦MN的长为,所以弦MN的长为,选项D正确.
故选：ABD.
15、答案：ABC
解析：取棱,的中点N,M,连接,,ME,
因为棱,的中点N,M,E,F分别是棱BC,的中点,
所以,,
因为,所以,
所以,四边形为平行四边形,
所以,
因为,平面AEF,AE,平面AEF,
所以平面AEF,平面AEF,
因为,,平面,
所以平面平面AEF,
所以,直线与平面AEF平行,P的轨迹即为线段MN,
故对于A选项,,
三棱锥的体积为,故A正确;
对于B选项,要使得DQ与始终垂直,则面,故如图建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,,
所以且,解得,即,
所以,直线上存在唯一的点Q（中点）,使得DQ与始终垂直,故B正确;
当时,所以,解得,
所以点P的轨迹为以为圆心,1为半径的圆在平面内的圆弧,
对于C选项,由于,故EP的最小值为,故C正确;
对于D选项,,
当且仅当时等号成立,
所以,的最大值为,故D错误.
故选：ABC.
16、答案：AC
解析：对于A,,
由可得,
所以,且定义域为R,故为奇函数,A正确,
由于,
所以,c为常数,则
又在中,令,则,故,故,
所以,
对于B,可得,又,故,则,故B错误,
对于C,为单调递增函数,而为开口向上,
且对称轴为二次函数,且是的两个交点,的两个交点设为,
则,且,又为单调递增函数,
所以,所以,C正确,
由得,所以在处的切线方程为,D错误,
故选：AC.
17、答案：（1）
解析：（1）
,
,
,
当,即时,;
当,即时,;
（2）由,即,
而A为锐角,,则,
,
又,
由余弦定理得,即,即,
18、答案：（1）有把握认为该校学生喜欢足球与性别有关
（2）
解析：（1）根据题意,得到列联表如下：
可得,
所以有把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）由题意,3人进球总次数所有可能取值为0,1,2,3,
可得,
,
,
所以随机变量的分布列为：
所以的数学期望为.
19、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为椭圆的离心率为,所以,
设R到的距离为d,因为,
所以,易得当时面积取得最大值,
所以,因为,
所以,,所以椭圆C的方程为;
（2）证明：如图,易知点P在椭圆外,
设直线l的方程为,,,
由得,
所以,,,
因为,所以,
所以,
所以,
所以.
20、答案：（1）是以为首项,为公比的等比数列
（2）满足的所有正整数n为1,2
解析：（1）由已知得,
所以,
其中,,
所以是以为首项,为公比的等比数列;
（2）由（1）知,
所以,
,
所以,
所以
,
当时,单调递减,其中,,,
所以满足的所有正整数n为1,2.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）取AM的中点G,连接PG,
因为,则,
当平面平面ABCM时,P点到平面ABCM的距离最大,
四棱锥的体积取得最大值,
此时平面ABCM,且,
底面ABCM为梯形,面积为,
则四棱锥的体积最大值为;
（2）连接DG,
因为,所以,
所以为的平面角,即,
过点D作平面ABCD,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DZ所在直线为x轴,y轴,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,
过P作于点H,由题意得平面ABCM,
设,
所以,
所以,
所以,
设平面PAM的法向量为,
则,
令,则,
设平面PBC的法向量为,
因为,,
则,
令,可得：,
设两平面夹角为,
则
,
令,所以,则
所以,
所以当时,有最小值,
所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为.
22、答案：（1）当时,在上单调递增,
当时,在上单调递增,在上单调递减
（2）
解析：（1）函数的定义域为,求导得：,
当时,恒成立,则在上单调递增,
当时,的解集为,的解集为,
即的单调增区间为,单调减区间为,
所以,当时,在上单调递增,
当时,在上单调递增,在上单调递减.
（2）因为,由(1)知,,
且,解得,
设,则,要证,即证,即证,
即证,设,,
则,即在上单调递减,有,
即,则成立,因此成立,
要证,即证,即证,即证,
即证,
而,即证,,
令,则,
设,求导得,即在上单调递增,
则有,即,在上单调递减,而,
当时,,则当时,成立,
故有成立,
所以,.
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
0
1
2
3
P