四川省达州市万源中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份四川省达州市万源中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、若直线l的方向向量为,平面的法向量为,且,则m的值( )
A.B.C.4D.
3、已知直线与圆交于A,B两点,则( )
A.B.C.4D.8
4、“圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广泛的运用,最具代表性的便是园林中的门洞．如图,某园林中的圆弧形挪动高为2.5m,底面宽为1m,则该门洞的半径为( )
5、若双曲线（,）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则C的离心率为( )
A.2B.C.D.
6、已知直线和点,点,点P是直线l上一动点,当最小时,点P的坐标是( )
A.B.C.D.
7、已知圆 ,直线,直线l被圆C截得的弦长最短时,实数m的值为( )
A.B.C.1D.
8、已知椭圆,直线,若椭圆上存在关于直线l对称的两点,则实数m的取值范围是 ( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、已知椭圆的左、右焦点分别是、,点P为椭圆C上一点, 则下列关于椭圆C的结论正确的有( )
A.长轴长为5B.离心率为
C.的周长为16D.的面积为16
10、如图,下列各正方体中,O为下底面的中心,M,N为顶点,P为所在棱的中点,则满足的是( )
A.B.
C.D.
11、以下四个命题表述正确的是( )
A.圆与圆恰有三条公切线
B.直线与圆一定相交
C.直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是
D.已知直线不经过第三象限,则a的取值范围
12、已知双曲线的左、右焦点分别是,过右焦点的直线AB交双曲线右支于A,B两点,的内切圆圆心为M,半径为,的内切圆圆心为N,半径为,则下列结论正确的是( )
A.直线MN垂直于x轴B.周长为定值
C.与之和为定值D.与之积为定值
三、填空题
13、若直线与直线垂直,则实数m的值为__________.
14、已知双曲线的左、右焦点分别是,,点M为双曲线上一点,若M到原点的距离,则的面积是___________.
15、已知圆,直线若圆上有两个点到直线l的距离等于1,则实数b的取值范围是_______.
16、已知椭圆的左、右焦点分别是,点A是椭圆上一点,的内切圆的圆心为M,若,则椭圆C的离心率为_______.
四、解答题
17、有一辆公交车,依次设了A,B,C,D,E,F,G共7个站,甲乙二人都从A站上车,假设他们从后面每个站下车是等可能的.
（1）求这两个人在不同站点下车的概率;
（2）求这两个人都没有坐到终点站的概率.
18、如图,在棱长为2的正方体中,E为的中点．
（1）求直线到平面的距离;
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19、在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.
（1）求角A的大小;
（2）若,求的面积S的最大值．
20、已知圆C过点和点,并且圆心在直线上.点P是直线上一动点,过点P引圆C的两条切线PM、PN,切点分别为M,N.
（1）求圆C的标准方程;
（2）当四边形PMCN的面积最小时,求点P的坐标及直线MN的方程.
21、如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,,,平面ABCD,M为线段PB上的一点．
（1）证明：平面平面PBD.
（2）当AM与平面PBD所成的角的正弦值最大时,求平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值．
22、已知椭圆的左、右焦点分别为,点A是椭圆上不同于左右顶点的一动点,点A关于x轴的对称点为点B.当直线AB过左焦点时,.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若直线与椭圆交于另外一点P（点P和点A不重合）,证明直线AP过定点.
参考答案
1、答案：A
解析：由直线,
则,
设直线的倾斜角为,
所以,
所以.
故选：A.
2、答案：B
解析：若,则有,
即,解得.
故选：B.
3、答案：B
解析：由题意得圆O的半径为,圆心O到l的距离,
所以,
故选：B.
4、答案：B
解析：设半径为R,,解得,化简得.
故选：B.
5、答案：A
解析：由几何关系可得,双曲线的渐近线方程为,
圆心到渐近线距离为,
则点到直线的距离为,
即,整理可得,
双曲线的离心率．
故选A．
6、答案：C
解析：依题意,设关于直线的对称点,
所以,解得,所以,
由直线的对称性知,,则,
当且仅当P,,B三点共线时,等号成立,即取到最小,
由及知直线的方程为,
联立,解得,即.
所以最小时,点P的坐标是.
故选：C.
7、答案：B
解析：因为直线,
方程可化为,
令,解得,
故直线l过定点,
且在圆内,又,
故当直线l被圆C截得的弦长最短时,
有,
则,
解得,
故选：B.
8、答案：D
解析：设,线段AB的中点,
若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线对称,
所以直线AB的方程可以设为,
联立,化为,
,解得,
而,所以,即,
代入直线可得,
所以,即实数m的取值范围是.
故选：D.
9、答案：BCD
解析：由椭圆,得：,,
对于A项：长轴长为,故A项错误;
对于B项：离心率,故B项正确;
对于C项：由椭圆定义得：,
的周长为,故C项正确;
对于D项：因为,所以得：,
解得：,故D项正确.
故选：BCD.
10、答案：AD
解析：在正方体中,对各选项建立相应的空间直角坐标系,
令正方体棱长为2,点,
对于A,,,,,,,,A是;
对于B,,,,,,,MN与OP不垂直,B不是;
对于C,,,,,,,MN与OP不垂直,C不是;
对于D,,,,,,,MN与OP垂直,D是.
故选：AD
11、答案：ABC
解析：对于A,圆,圆心,半径,
圆,圆心,半径,
又,所以两圆外切,故两圆有3条公切线,故A正确;
对于B,圆,圆心,半径,圆心到直线的距离直线,所以直线与圆相交,故B正确;
对于C,根据题意画出图形,如图所示,
直线恒过点,曲线表示以为圆心,半径的上半圆,
当直线与半圆相切时,圆心到直线的距离,即,解得;
当直线过时,直线的斜率,所以直线与曲线有两个不同的交点,
则实数k的取值范围为,故C正确;
对于D,当,即直线斜率不存在时,此时,不过第三象限;
当时,,不过第三象限,则,解得
综上可知,实数a的取值范围,故D错误;
故选：ABC.
12、答案：AD
解析：由题意,可得如下示意图,其中C,D,F,E,G为内切圆与各边切点,
由图知：,
由,,
则
令G横坐标为,则,
即G为双曲线右顶点,
同理,内切圆在x轴上的切点也为G,又MG,NG都垂直于x轴,
所以直线MN垂直于x轴,A对;
由周长为,
而的长不定,故周长不为定值,B错;
由,分别平分,且,
在中,又,
所以,故为定值,D对.
令,则,
显然为直线AB的倾斜角,其大小不定,故与之和不为定值,C错.
故选：AD.
13、答案：
解析：因为直线的法向量为,
直线的法向量为
由于,垂直,则对应法向量相互垂直,
所以,即,
则.
故答案为：.
14、答案：16
解析：如下图所示：
不妨取点M在双曲线的右支上,由可得点M在圆上,
又易知,所以即为圆的直径,
所以,
利用双曲线定义可得,利用勾股定理可得,
所以,可得,
因此的面积为.
故答案为：16.
15、答案：
解析：根据题意,圆的圆心为,半径为2,
因为直线若圆上有两个点到直线的距离等于1,
则圆心到直线距离为：,,
所以此时b的取值范围是
故答案为：
16、答案：
解析：如图所示：
不妨取点A在x轴上方,设点A的纵坐标为,点M的纵坐标为,
的内切圆半径为r,椭圆焦距为,
取线段的中点为N,设点N的纵坐标为,
由可得,
即
又O为的中点,可得,即,
所以O,M,N三点共线,且,可得,
又因为,所以;
利用椭圆定义以及等面积法可得,,
,
所以,可得,
即椭圆离心率为.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）甲乙下车方式有如下36种结果：
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
甲乙两人在不同站点下车的结果有30个,所以所求的概率为.
（2）由（1）可知甲乙两个人都没有坐到终点站的结果数有25个,因此所求概率为．
18、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）为正方体,
,
平面,平面,
平面,则到平面的距离即为点B到平面的距离,
以点A为坐标原点,AD,AB,所在直线分别为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、,,
则,,,
设平面的法向量为,由,得,
令,则,,则,
则B到平面的距离,
则到平面的距离为;
（2）,
,
直线与平面所成角的正弦值为.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知及正弦定理得,
所以,
所以,
,又,
,
,,,.
（2）根据余弦定理得,
由基本不等式得,
的面积,当且仅当时等号成立,
的面积S的最大值为．
20、答案：（1）
（2）,
解析：（1）AB的中点为,AB的方向向量
即为AB中垂线的法向量,利用点法式方程
则AB中垂线方程为,
由得圆心
半径,
圆的标准方程为①.
（2）由于,
故最小,即最小时,四边形面积最小
此时,,
假设直线PC方程为,带入圆心
得到直线PC方程,
由得圆心
M、N为圆C与以PC为直径的圆的交点.
以PC为直径的圆,圆心为P、C的中点,
半径r为：
则方程为：②
联立①②得到直线MN的方程为：.
21、答案：（1）证明见解析
（2）．
解析：（1）证明：
由底面ABCD是菱形可知,
又平面ABCD,平面ABCD,所以,
又,AC,平面PAC,所以平面PAC,
由于平面PBD,
可得平面平面PBD;
（2）连结PO,过点A作PO的垂线,垂足为H,连结MH,
由（1）可得,又,且PO,平面PBD,
所以平面PBD;
易知为AM与平面PBD所成的角,
,因为AH为定值,且,
所以当点M为PB的中点时,AM取得最小值,此时取得最大值;
以O为坐标原点,分别以OA,OB为x,y轴,过O点且平行于PA的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如下图所示：
又底面ABCD是菱形,,,所以,
则,,,
点M为PB的中点,所以,,
设平面MAC的一个法向量为,
则,解得,令,则,
即可得,
易知平面ABCD的一个法向量为,
设平面MAC与平面ABCD夹角为,
则,
即平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值为．
22、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由已知得直线AB过左焦点时,AB即为通径,可得;
又,且,解得,;
所以椭圆C的方程为
（2）由题意得直线AP的斜率一定存在,
如下图所示：
设直线AP的方程为,,,
联立直线AP和椭圆方程,消去y可得,
所以可得,
因为B,,P三点共线,可得,
所以,即,
即
所以,
也即,可得,
所以直线AP的方程为
即直线AP恒过定点.