2023-2024学年吉林省第二实验（高新、远洋）学校七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省第二实验（高新、远洋）学校七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列分别表示“节水”、“节能”、“回收”、“绿色食品”含义的四个标志的图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，解为x=1的是( )
A. x+1=0B. 3x=−3C. x−1=2D. 2x+2=4
3.若x>y，则下列式子中，不正确的是( )
A. −3x>−3yB. x+3>y+3C. x−3>y−3D. 3x>3y
4.某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是( )
A. 正五角形B. 正六边形C. 正七边形D. 正九边形
5.现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm.若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选( )
A. 10 cmB. 30 cmC. 50 cmD. 70 cm
6.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是( )
A. y−x=−1B. y=x+4.5y=2x−1C. y=x−+1D. y=x−4.5y=2x−1
7.不等式组x−1≤0x+3>0中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B=90°，AB=6，DH=4，平移距离为7，则阴影部分的面积为( )
A. 12B. 16C. 28D. 24
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知x=2y=−1是方程2x−3y=m的解，则m的值为______ ．
10.如图，木工师傅做长方形门框时，会在门上斜着钉两条木板，使其不变形，这样做的数学原理是______ ．
11.某正六边形的雪花图案如图所示.这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能与自身重合，则这个旋转角的大小至少为______ 度.
12.一个多边形的每个内角都是144°，则这个多边形是______ 边形．
13.若关于x的方程mxm−1−m+2=0是一元一次方程，则这个方程的解x=______
14.如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 ．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
解下列方程(或不等式)．
(1)4x=3x−4；
(2)3x+2≤−2(x−2)．
16.(本小题5分)
解不等式组，并将其解集在数轴表示出来．
5x+4<3(x+1)+8x−12≥2x−15．
17.(本小题6分)
下面是小张同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并回答相应的问题．
(1)小彬同学的解题过程从第______ 步开始出现错误；
(2)请写出正确的解题过程；
(3)解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是______ (填序号)．
A.数形结合
B.类比思想
C.转化思想
D.分类讨论
18.(本小题6分)
已知一个多边形的内角和比外角和多720°，求这个多边形的每个内角度数与边数n．
19.(本小题7分)
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交BD于点E，若∠A=84°，求∠CED的度数．
20.(本小题7分)
已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足(b−5)2+|c−7|=0，a为方程|a−3|=2的解，求△ABC的周长．
21.(本小题8分)
围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元．
(1)求每副象棋和围棋的价格；
(2)若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？
22.(本小题9分)
如图，在8×8的方格纸巾有一条直线m和△ABC，请按要求解答．
(1)将△ABC向右平移4个单位，在图①中画出平移后的△A1B1C1；
(2)在图②中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
(3)将△ABC绕点O旋转180°，在图③中画出旋转后的△A3B3C3．
23.(本小题10分)
将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．
(1)如图①，若∠A=40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB= ______ 度，∠DBC+∠DCB= ______ 度，∠ABD+∠ACD= ______ 度；
(2)如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．
(3)如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系．
24.(本小题12分)
如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4.点P从点A出发，沿折线AB−BC以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动.设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在AB边上运动时，PB= ______ ；当点P在BC边上运动时，PB= ______ .(用含t的代数式表示)
(2)当点P与点Q重合时，求t的值．
(3)当t=1时，求△PDQ的面积．
(4)若点P关于点B的中心对称点为点P′，直接写出△PDP′和△QDC面积相等时t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，选项错误；
B、不是轴对称图形，选项错误；
C、不是轴对称图形，选项错误；
D、是轴对称图形，选项正确．
故选：D．
根据轴对称图形的定义解答．
本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A.当x=1时，x+1=2≠0，故此选项不合题意；
B.当x=1时，3x=3≠−3，故此选项不合题意；
C.当x=1时，x−1=0≠2，故此选项不合题意；
D.当x=1时，2x+2=4，故此选项符合题意．
故选：D．
直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案．
此题主要考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程解的意义是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵x>y，
∴−3x<−3y，故选项A不正确；
∵x>y，
∴x+3>y+3，故选项B正确；
∵x>y，
∴x−3>y−3，故选项C正确；
∵x>y，
∴3x>3y，故选项D正确；
故选：A．
根据不等式的性质逐一进行判断即可．
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以或 同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向变．
4.【答案】B
【解析】解：A、正五边形的每个内角是(5−2)×180°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
B、正六边形的每个内角是(6−2)×180°÷6=120°，能整除360°，能密铺；
C、正七边形的每个内角为：(7−2)×180°÷7=°，不能整除360°，不能密铺；( )
D、正九边形的每个内角为：(9−2)×180°÷9=140°，不能整除360°，不能密铺；
故选：B．
平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
此题考查平面镶嵌问题，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
5.【答案】B
【解析】解：根据三角形的三边关系，得
第三根木棒的长度应大于10cm，而小于50cm．
故选：B．
首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步找到符合条件的答案．
本题考查了三角形中三边的关系求解；关键是求得第三边的取值范围．
6.【答案】A
【解析】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得y−x=−1，
故选：A．
设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
7.【答案】A
【解析】解：解不等式x−1≤0得x≤1，
解不等式x+3>0得x>−3，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是：．
故选：A．
先分别解两个不等式得到−3本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
8.【答案】C
【解析】解：∵平移距离为7，
∴BE=7，
∵AB=6，DH=4，
∴EH=6−4=2，
∵S△ABC=S△DEF，
∴S四边形ABEH=S阴，
∴阴影部分的面积为=12×(6+2)×7=28．
故选：C．
由S△ABC=S△DEF，推出S四边形ABEH=S阴即可解决问题．
此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握．
9.【答案】7
【解析】解：∵x=2y=−1是方程2x−3y=m的解，
∴2×2−3×(−1)=m，
即m=4+3=7．
故答案为：7．
根据二元一次方程组解的定义代入即可求出m的值．
本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义是正确解答的前提．
10.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：木工师傅做长方形门框时，会在门上斜着钉两条木板，使其不变形，这样做的数学原理是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形具有稳定性解答即可．
本题考查了三角形稳定性的应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，要使一些图形具有稳定性，往往转化为三角形．
11.【答案】60
【解析】解：∵360°÷6=60°，
∴旋转的角度是60°的整数倍，
∴旋转的角度至少是60°．
故答案为：60．
根据图形的对称性，用360°除以6计算即可得解．
本题考查利用旋转设计图案，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
12.【答案】正十
【解析】解：∵一个多边形的每个内角都是144°，
∴这个多边形的每个外角都是180°−144°=36°，
又∵多边形的外角和是360°，
∴这个多边形的边数为360°÷36°=10，
即这个多边形为正十边形，
故答案为：正十．
根据多边形的每个内角都是144°，可求出这个多边形的每个外角都是36°，根据多边形的外角和是360°可求出边数．
本题考查多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和是360°是解决问题的前提．
13.【答案】0
【解析】解：∵关于x的方程mxm−1−m+2=0是一元一次方程，
∴m−1=1，
解得：m=2，
故2x=0，
解得：x=0．
故答案为：0．
直接利用一元一次方程的定义分析得出答案．
此题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
14.【答案】140°
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
先求出∠ACD，根据三角形内角和定理求出∠AFC，得出∠DFB，再根据三角形外角的性质即可得出答案．
【解答】
解：如图，
∵∠ACB=90°，∠DCB=65°，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=90°−65°=25°，
∵∠A=60°，
∴∠DFB=∠AFC=180°−∠ACD−∠A=180°−25°−60°=95°，
∵∠D=45°，
∴∠α=∠D+∠DFB=45°+95°=140°，
故答案为：140°．
15.【答案】解：(1)4x=3x−4，
4x−3x=−4，
x=−4；
(2)3x+2≤−2(x−2)，
3x+2≤−2x+4，
3x+2x≤4−2，
5x≤2，
x≤25．
【解析】(1)利用解一元一次方程的方法进行求解即可；
(2)利用解一元一次不等式的方法进行求解即可．
本题主要考查解一元一次不等式，解一元一次方程，解答的关键是对相应的知识的掌握．
16.【答案】解：5x+4<3(x+1)+8①x−12≥2x−15②，
解不等式①，得：x<72，
解不等式②，得：x≥3，
则不等式组的解集为3≤x<72，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】二 C
【解析】解：(1)由题意，根据二元一次方程组的解法，②−③得，7y=−5．
∴第二步开始出现错误．
故答案为：二．
(2)由题意，①×3，得3x−6y=3③．
②−③，得7y=−5．
∴y=−57．
把y=−57代入x+107=1，
∴x=−37．
∴原方程组的解为x=−37y=−57．
(3)第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想，
故选：C．
(1)依据题意，利用二元一次方程组的解法，观察即可判断得解；
(2)依据题意，根据二元一次方程组的解法求解即可；
(3)依据题意，将“二元”转化为“一元”，体现了转化的思想．
本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是正确解答的前提．
18.【答案】解：设这个多边形是n边形．
则180°⋅(n−2)=720°+360°，
解得n=8，
(720°+360°)÷8=135°．
答：此多边形的边数是8，每一个内角的度数是135°．
【解析】结合多边形的内角和公式与外角和的关系寻求等量关系，构建方程即可求解．
本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．
19.【答案】解：在△ABC中，∠A=84°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−84°=96°．
∵BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交BD于点E，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=12∠ABC+12∠ACB=12(∠ABC+∠ACB)=12×96°=48°，
又∵∠CED是△BCE的外角，
∴∠CED=∠EBC+∠ECB=48°．
【解析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义，可求出∠EBC+∠ECB的度数，再利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出∠CED的度数．
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
20.【答案】解：∵(b−5)2+|c−7|=0，
∴b−5=0c−7=0，解得b=5c=7
∵a为方程|a−3|=2的解，
∴a=5或1，
当a=1，b=5，c=7时，1+5<7，
不能组成三角形，故a=1不合题意；
∴a=5，
∴△ABC的周长=5+5+7=17，
【解析】利用非负数的性质求出b，c的值，解绝对值方程求出a，再利用三角形的三边关系解决问题即可．
本题考查三角形的三边关系，非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)设每副象棋的价格为x元，每副围棋的价格为y元．
依题意得3x+y=1252x+3y=165，
解得x=30y=35．
答：每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元．
(2)设购买m副围棋，则购买(100−m)副象棋．
依题意得：30(100−m)+35m≤3200，
解得m≤40．
答：最多能购买40副围棋．
【解析】(1)设每副象棋的价格为x元，每副围棋的价格为y元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
(2)设购买m副围棋，则购买(100−m)副象棋，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)如图，△A3B3C3即为所求．
【解析】(1)根据平移的性质即可画出图形；
(2)根据轴对称的性质即可画出图形；
(3)根据旋转的性质即可画出图形．
本题主要考查了作图−平移变换，旋转变换，轴对称变换等知识，熟练掌握图形变换的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)140；90；50；
(2)∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°−∠A.证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A.
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°.
∴∠ABC+∠ACB−(∠DBC+∠DCB)=180°−∠A−90°．
∴∠ABD+∠ACD=90°−∠A．
(3)∠ACD−∠ABD=90°−∠A．
【解析】解：(1)在△ABC中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°，
在△DBC中，∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=140°−90°=50°；
故答案为：140；90；50.
(2)见答案；
(3)见答案．
【分析】
(1)根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°−∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
(2)根据三角形内角和定义有90°+(∠ABD+∠ACD)+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD=90°−∠A．
(3)由(1)(2)的解题思路可得：∠ACD−∠ABD=90°−∠A．
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是360°，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
24.【答案】3−2t(0≤t≤32) 2t−3(32≤t≤72)
【解析】解：(1)当点P在AB边上运动时，PB=3−2t(0≤t≤32)，
当点P在BC边上运动时，PB=2t−3(32≤t≤72)，
故答案为：3−2t(0≤t≤32)，2t−3(32≤t≤72)；
(2)当P，Q重合时，2t−3+t=4，
∴t=73；
(3)当t=1时，AP=2，PB=3−2=1，CQ=1，BQ=BC−CQ=3，
∴S△PDQ=S长方形ABCD−S△PAD−S△PBQ−S△CDQ
=3×4−12×4×2−12×3×1−12×3×1
=12−4−32−32
=5；
(4)当点P在AB上时，12×2(3−2t)×4=12×t×3，解得，t=2419．
当点P在BC上时，12×2(2t−3)×3=12×t×3，解得，t=2，
综上所述，△PDP′和△QDC面积相等时t的值为2419或2．
(1)判断出时间t的取值范围，根据线段的和差定义求解；
(2)根据BP+CQ=BC，构建方程求解；
(3)当t=1时，可得AP=2，PB=3−2=1，CQ=1，BQ=BC−CQ=3，根据面积的和差即可求解；
(4)分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．解方程组：x−2y=1①3x+y=−2②
解：①×3，得3x−6y=3③…第一步
②−③，得−5y=−5…第二步
y=1…第三步
y=1代入①，得x=3…第四步
所以，原方程组的解为x=3y=1…第五步