2022-2023学年四川省宜宾市翠屏区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省宜宾市翠屏区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.4的算术平方根是( )
A. ±2B. 2C. 4D. −2
2.下列实数中，属于无理数的是( )
A. 13B. 2−3C. πD. 16
3.下列运算正确的是( )
A. a8÷a2=a4B. (−2a2)3=8a6
C. 2a2⋅a=2a3D. (a+b)2=a2+b2
4.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A. 5，11，12B. 2，3，4C. 4，6，7D. 3，4，5
5.从调查消费者购买汽车能源类型的扇形统计图中可看出，人们更倾向购买的是( )
A. 纯电动车
B. 混动车
C. 轻混车
D. 燃油车
6.若(x−2)(x+3)=x2+mx+n，则m、n的值分别是( )
A. m=1，n=6B. m=1，n=−6
C. m=5，n=−6D. m=5，n=6
7.如图，在△ABC和△ABD中，∠1=∠2，添加下列条件，不能说明△ABC≌△ABD的是( )
A. ∠3=∠4
B. ∠C=∠D
C. AC=AD
D. BC=BD
8.若x+3y−4=0，则3x⋅27y=( )
A. 9B. 27C. 45D. 81
9.下列命题是假命题的是( )
A. 有一个角是60°的三角形是等边三角形
B. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
C. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
10.如图，从边长为a的大正方形纸板的边上挖去一个边长为b的小正方形纸板后，沿着小正方形的缺口，将其裁成两个长方形，然后拼成一个长方形.那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为( )
A. 2a2+2ab=2a(a+b)B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. (a+b)2=a2+2ab+b2
11.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，如果大正方形的面积是11，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为( )
A. 11B. 16C. 21D. 121
12.已知如图，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD和BE相交于点F，连接CF有下列结论：
①AD=BE；②CF平分∠ACE；③AD⊥BE；④连接AE、BD，若AC=1，DC=2，则BD2+AE2=10.其中正确的是( )
A. ①③
B. ①②③
C. ①②④
D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.因式分解：x3−x=______．
14.命题“如果a、b互为相反数，那么a+b=0”的逆命题是______ (填“真命题”或“假命题”)．
15.已知实数a、b满足 a−2b−1+|a−3|=0，则ab的值为______ ．
16.如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是______米．
17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，BC= 3，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则EB′= ______ ．
18.如图，已知△ABC是等边三角形，AB=12cm，点D在AB上，且AD=4cm.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点作匀速运动，同时，点Q在线段CA上以不同于点P的速度，由C点向A点作匀速运动，当一个点到达终点后，另一个点也停止运动.运动t秒后要使△BPD与△CQP全等，则t= ______ s.
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
(1)计算：38+(−2)2−| 3−2|；
(2)(a+b)(3a−b)−b(3a−b)．
20.(本小题10分)
先化简，再求值：(x+y)(x−y)+(x−y)2−(6x2y−2xy2)÷2y，其中x=−1，y=2．
21.(本小题8分)
如图，AB=DE，AB//DE，BC/​/EF，求证：△ABC≌△DEF．
22.(本小题10分)
球类运动是中考体育项目之一，每位考生需在篮球、足球、排球中任选一项参加测试，某校为了解九年级学生球类选择情况，随机抽取部分学生进行调查统计，根据统计结果绘制成如图的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：

(1)此次调查的学生人数是______ 人，“排球”所对应的扇形的圆心角是______ 度；
(2)通过计算将条形统计图补充完整；
(3)若该校九年级共有1200名学生，请估计九年级学生中选择足球的约有多少人？
23.(本小题12分)
如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC．
(1)请用尺规作图法，在BC边上求作一点P，使∠PAB=∠B.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若AC=12，BC=18，求△PAB的面积．
24.(本小题12分)
阅读理解：
在学习同底数幂的除法公式am÷an=am−n(a≠0)时，有一个附加条件m>n，即被除数的指数大于除数的指数.仿照以上公式，我们研究m=n和mAC，点P在线段BC上运动(P不与B、C重合)，连接AP，作∠APM=∠B，PM交AC于点M．

(1)在图①中，在P点运动过程中，若PM/​/AB，求证：△ABP为等腰三角形；
(2)在图①中，若PC=AC时，求证：△ABP≌△PCM；
(3)在图②中，若∠B=45°时，过点A作PM的垂线交BC于点D，探究线段PB2、PD2、CD2之间的关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
根据算术平方根的概念即可求出答案．
本题考查算术平方根，掌握算术平方根的概念是解题的关键．
【解答】
解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：13是分数，属于有理数，故选项A不合题意；
2−3=18，是分数，属于有理数，故选项B不合题意；
π是无理数，故选项C符合题意；
16=4，是整数，故选项D不合题意．
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题考查了对无理数的意义的理解和运用，无理数是指无限不循环小数，有①开方开不尽的根式，②含π的，③一些有规律的数，题型较好，但是一道容易出错的题目．
3.【答案】C
【解析】解：A、a8÷a2=a6，故此选项错误；
B、(−2a2)3=−8a6，故此选项错误；
C、2a2⋅a=2a3，故此选项正确；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：C．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方，单项式乘以单项式运算法则、完全平方公式分别判断得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、42+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、32+42=52，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
5.【答案】A
【解析】解：根据扇形图即可观察出纯电动车占的最多．
故答案为：A．
根据扇形图即可观察出纯电动车占的最多．
本题考查扇形统计图，解题的关键是明确扇形统计图的特点，从中可以得到相关的信息．
6.【答案】B
【解析】解：∵(x−2)(x+3)
=x2+x−6，
∴m=1，n=−6，
故选：B．
运用多项式乘多项式的计算方法求解(x−2)(x+3)，再分别求得m，n的值．
此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算．
7.【答案】D
【解析】解：△ABC和△ABD中，∠1=∠2，AB=AB，
A.添加∠3=∠4，利用ASA可以证明△ABC≌△ABD；
B.添加∠C=∠D，利用AAS可以证明△ABC≌△ABD；
C.添加AC=AD，利用SAS可以证明△ABC≌△ABD；
D.添加BC=BD，不能证明△ABC≌△ABD；
故选：D．
利用全等三角形的判定方法逐项判断即可．
本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵x+3y−4=0，
∴x+3y=4，
∴3x⋅27y=3x⋅[(3)3]y=3x⋅33y=3x+3y=34=81．
故选：D．
利用同底数幂的乘法，幂的乘方计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：A.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故说法不正确，是假命题符合题意；
B.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，正确，是真命题不符合题意；
C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，正确，是真命题不符合题意；
D.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题不符合题意；
故选：A．
根据等边三角形的判定定理，角平分线的判定定理、全等三角形的判定定理、线段垂直平分线的性质定理判断即可．
此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．
10.【答案】B
【解析】解：由图可知：阴影部分的面积=a2−b2=(a+b)(a−b)；
故选：B．
根据阴影部分面积等于矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得出结论．
本题考查平方差公式的几何背景．正确的识图，用两种方式表示出阴影部分的面积，是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵大正方形的面积是11，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形面积和为11−1=10，即4×12ab=10，
∴2ab=10，a2+b2=11，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=11+10=21．
故选：C．
首先求出ab的值和a2+b2的值，再根据完全平方公式即可求得(a+b)2的值．
本题考查了完全平方公式的应用以及勾股定理的运用，本题中求得ab的值是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
故①正确；
过点C作CH⊥AD，CG⊥BE，
∵△ACD≌△BCE，
∴CH=CG，
∴CF平分∠BFD，
∴∠BFC=∠CFD，
假设CF平分∠ACE，
∴∠ACB+∠ACF=∠DCE+∠FCE，
∴∠BCF=∠DCF，
∴在△BCF和△DCF中，
∠BCF=∠DCFCF=CF∠BFC=∠CFD，
∴△BCF≌△DCF(ASA)，
∴BC=CD，
∵BC≠CD，
∴假设错误，
故②错误，
∵∠FEM=∠CDM，∠FME=∠CMD，∠EFM=180°−(∠EMF+∠FEM)，∠DCM=180°−(∠CDM+∠DMC)，
∴∠EFM=∠DCM，
∵∠DCM=90°，
∴∠EFM=90°，
∴AD⊥BE，
故③正确；
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，AC=1，DC=2
∴在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=2，在Rt△DEC中，DE2=EC2+CD2=8，
∴在Rt△ABF中，AB2=BF2+AF2=2，在Rt△DEF中，DE2=EF2+DF2=8，
∵在Rt△AEF中，AE2=EF2+AF2，在Rt△BDF中，BD2=BF2+DF2，
∴AE2+BD2=EF2+AF2+BF2+DF2=BF2+AF2+EF2+DF2=2+8=10，
故④正确；
∴正确的是①③④．
故选：D．
根据全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，勾股定理即可得到正确的选项．
本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
13.【答案】x(x+1)(x−1)
【解析】解：原式=x(x2−1)=x(x+1)(x−1)，
故答案为：x(x+1)(x−1)
原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】真命题
【解析】解：命题“如果a、b互为相反数，那么a+b=0”的逆命题是：如果a+b=0，那么a、b互为相反数，
这个逆命题是真命题．
故答案为：真命题．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
15.【答案】3
【解析】解：∵ a−2b−1+|a−3|=0，
∴a−2b−1=0，a−3=0，
解得a=3，b=1，
∴ab=3×1=3．
故答案为：3．
根据实数的非负性，确定a，b的值，再计算ab即可．
本题考查了实数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键．
16.【答案】2.5
【解析】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为(0.2+0.3)×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=22+[(0.2+0.3)×3]2=2.52，
解得x=2.5．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
17.【答案】 3−1
【解析】解：在△ABC中，∵∠C=90°,∠B=30°,AB=2,BC= 3，
∴∠CAB=60°，AC= 22−( 3)2=1，
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，
∴∠C′AE=60°−15°=45°，∠C′=∠C=90°，AC′=AC=1，B′C′=BC= 3，
∴∠AEC′=45°，
∴EC′=AC′=1，
∴EB′=B′C′−EC′= 3−1．
故答案为： 3−1．
先求出∠CAB=60°，AC=1，由旋转的性质可得∠C′=∠C=90°，AC′=AC=1，B′C′=BC= 3，再证明EC′=AC′=1即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解题关键是熟练掌握旋转的性质．
18.【答案】2
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AB=12cm，
∴BC=AB=12cm．
∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD与△CQP全等，∠B=∠C，
∴BP=PC，
∴3t=12−3t，
∴t=2．
故答案为：2．
由点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，所以BP≠CQ，又由△BPD与△CQP全等，∠B=∠C，得到BP=PC，据此即可解答．
本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2+4−(2− 3)
=2+4−2+ 3
=4+ 3；
(2)原式=3a2−ab+3ab−b2−3ab+b2
=3a2−ab．
【解析】(1)先化简各式，再进行加减运算；
(2)先算多项式乘多项式和单项式乘多项式，再合并同类项即可．
本题考查实数的混合运算，整式的混合运算．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：原式=x2−y2+x2+y2−2xy−3x2+xy
=−xy−x2，
当x=−1，y=2时，
原式=−(−1)×2−(−1)2=2−1=1．
【解析】先根据多项式混合运算法则化简，再把x=−1，y=2代入计算即可．
本题考查整式的化简求值，熟练掌握多项式混合运算法则和乘法公式是解题的关键．
21.【答案】证明：∵AB//DE，BC/​/EF，
∴∠A=∠1，∠F=∠2，
∵在△ABC和△DEF中，
∠A=∠1∠F=∠2AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)

【解析】根据AAS即可证明△ABC≌△DEF．
此题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
22.【答案】200 126
【解析】解：(1)此次调查的学生人数是40÷20%=200(人)，
选“排球”的人数为200−40−90=70(人)，
“排球”所对应的扇形的圆心角是70200×360°=126°，
故答案为：200，126．
(2)补全统计图如图所示，
(3)由题意得：1200×90200=540(人)，
故九年级学生中选择足球的约有540人．
(1)根据篮球的人数除以占比得出总人数，进而得出排球的人数，用排球人数的占比乘以360°，得出圆心角的度数；
(2)根据(1)的结论补全统计图即可求解；
(3)用1200乘以足球的占比即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】解：(1)如图，点P即为所求作．

(2)设CP=x，则BP=18−x，
∵∠PAB=∠B，
∴PA=PB=18−x，
在Rt△APC中，∠C=90°，
由勾股定理得PC2+AC2=PA2，
即122+x2=(18−x)2，
解得 x=5∴BP=18−x=18−5=13，
故S△PAB=12×13×12=78．
【解析】(1)作线段AB的垂直平分线，与线段BC交于点P，再连接PA和PB，即为所求；
(2)设CP=x，则BP=PA=18−x，在Rt△APC中，由勾股定理即可得到的x值，进而得到BP的值，即可求解△PAB的面积．
本题主要考查了作图−线段的垂直平分线的画法，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题关键是会画线段的垂直平分线及掌握其性质，熟练掌握勾股定理等．
24.【答案】1 19
【解析】解：(1)(3−π)0=1，3−2=19，
故答案为：1，19；
(2)22m−1−m
=2m−1
=2−3，
∴m−1=−3，
故m=−2；
(3)分三种情况：
①当x−1=1，且x+2为任意数时，原方程成立．
解得x=2，
②当x−1=−1，且x+2为偶数时，原方程成立．
解得x=0，
③当x+2=0，且x−1≠0时，原方程成立．
解得x=−2，
综上所述，x=−2或0或2．
(1)根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可；
(2)根据同底数幂的除法运算法则即可得出答案；
(3)分三种情况：①当x−1=1，且x+2为任意数时，原方程成立；②当x−1=−1，且x+2为偶数时，原方程成立；③当x+2=0，且x−1≠0时，原方程成立，解方程即可．
本题考查零指数幂，负整数指数幂的运算法则，同底数幂的除法，正确理解题意是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：在图①中，

∵PM/​/AB，
∴∠1=∠3，
又∵∠1=∠B，
∴∠3=∠B，
∴AP=BP，
∴△ABP为等腰三角形；
(2)证明：在图①中，

∵∠APC是△ABP的一外角，
∴∠APC=∠B+∠3，即∠1+∠2=∠B+∠3，
又∵∠1=∠B，
∴∠2=∠3，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
又∵AC=PC，
∴PC=AB，
在△ABP和△PCM中，
∠2=∠3PC=AB∠C=∠B，
∴△ABP≌△PCM(ASA)；
(3)解：PB2+CD2=PD2.理由如下：
将△APD沿AD翻折得到△AP′D，再连接P′C则P′D=PD，AP′=AP，∠PAP′=2∠2，

∵∠B=45°，∠B=∠1，AD⊥PP′，
∴∠2=∠B=∠ACB=45°，
∴∠PAP′=∠BAC=90°，
∴∠4=∠3，
在△ABP和△ACP′中，
AP=AP′∠3=∠4AB=AC，
∴△ABP≌△ACP′(SAS)，
∴P′C=BP，∠5=∠B=45°，
∴∠DCP′=45°+45°=90°，
即△DCP′为直角三角形，
∴由勾股定理得P′C2+CD2=P′D2，
∴PB2+CD2=PD2．
【解析】(1)由平行线的性质得∠1=∠3，再由∠1=∠B可得∠3=∠B，即可得证；
(2)先证∠2=∠3，再证PC=AB，利用角边角即可证明ABP≌△PCM；
(3)将△APD沿AD翻折得到△AP′D，再连接P′C则P′D=PD，AP′=AP，∠PAP′=2∠2，先证∠4=∠3，再证△ABP≌△ACP′，得P′C=BP，∠5=∠B=45°，从而证△DCP′为直角三角形，即可得PB2+CD2=PD2．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、平行线的性质、三角形的外角以及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．