06向量在几何中的应用（用向量解决线段的长度问题）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全

这是一份06向量在几何中的应用（用向量解决线段的长度问题）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（ ）

A．2B．1C．D．
2．在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（ ）
A．B．C．2D．
3．在四边形ABCD中，，且满足 ，则（ ）
A．2B．C．D．
4．如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（ ）

A．B．C．或D．或
5．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（ ）
A．B．C．（0，2]D．
6．已知中，边上的中线，则=（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．在中，为边上的中点，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知平面直角坐标系中有一凸四边形，且不平行于不平行于．设中点中点，且，求的取值范围（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，若存在，使得，，满足，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，，D，E，F分别在边上（与线段端点可重合），且，．则下列结论正确的是（ ）
A．的值是定值:
B．的范围是；
C．面积的最小值为1；
D．的周长最大值为
11．已知分别是三棱锥的棱，的中点，．若异面直线与所成角的大小为60°，则线段的长为（ ）
A．3B．6C．D．
三、填空题
12．如图，在重，点D是线段上靠近点C的三等分点.若，，，则 ； .
13．如图，在平面四边形中，，，，且，则 ，若是线段上的一个动点，则的取值范围是 .
14．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，，，，，要建设一条从点到点的空中长廊，则 ．
15．四边形的两条对角线与相交于点，且，，过点作，垂足为，若，则四边形的面积为 ．
16．如图，在平面四边形中，，．若，则的值为 ．
17．如图,在中，，点在线段上，且，则 ．
四、解答题
18．在△ABC中，D是边BC上的点，，，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍．
(1)求△ACD的面积；
(2)求△ABC的边BC上的中线AE的长．
19．在中，设.
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若且，求的取值范围.
20．如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．
(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？
(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？
参考答案：
1．D
【分析】设与x轴方向相同的单位向量为，与y轴方向相同的单位向量为，则可表示出，即可计算出和两点间的距离.
【详解】设与x轴方向相同的单位向量为，与y轴方向相同的单位向量为，
则，，
则，
所以，
所以，
故选：D.
2．B
【分析】由题意可知是线段的中垂线，从而可得结果.
【详解】由得是的中点，
又由得，所以.
故选：B.
3．D
【分析】由向量相等得为平行四边形，利用向量加法法则结合数量积可得，且是的平分线，从而易得对角线的长．
【详解】，则四边形为平行四边形，
设都是单位向量，，则，，，则，所以，
因此由知，且是的平分线，
因此四边形是菱形，而，
∴，
故选：D.
4．B
【解析】由条件可得，然后用、表示出，然后可算出答案.
【详解】因为，，，所以.
因为，
所以
故选：B
5．D
【解析】如图所示，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果.
【详解】如图所示，设，，∠CAB＝45°，
由图可知，当BC⊥AC时，的取值最小，此时，则，
而没有最大值，
故的取值范围为.
故选：D.
【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题.
6．A
【分析】利用三角形中向量加法得到,两边平方得结果
【详解】因为为边上的中线，所以
即，，
故选：A
【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算三角形边长问题.根据定义计算数量积的思路：根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解.
7．A
【解析】由为边上的中点，表示出，然后用向量模的计算公式求模.
【详解】解：为边上的中点，
，
故选：A
【点睛】在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.
8．A
【分析】根据中点中点，通过向量运算得到，从而有，用两点间距离公式得到，再根据不平行于，由求解.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，
因为不平行于，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
9．CD
【分析】设，.先判断出点P、Q在直线AB上，得到夹角为.由，得到.设点O到直线AB的距离为h，过O作AB的垂线，垂足为H.设，,得到.设，求出，得到：.把表示为，求出.
对照四个选项，得到正确答案.
【详解】设，
.
因为，所以点P、Q在直线AB上.
因为，所以，即夹角为.
因为，所以.
设点O到直线AB的距离为h，过O作AB的垂线，垂足为H.
设，,则.
设，因为，所以.
所以.
因为，所以，所以，
所以，即，解得：，
所以.
因为，所以.
对照四个选项，，，，.
故的值可以是CD.
故选：CD
10．ACD
【分析】以A点为原点建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，设，通过求出，则求出的范围，对各选项一一验证即可.
【详解】因为，所以以A点为原点建立平面直角坐标系，则
，则，
，，
，所以则.
对于A，，
则，所以A正确.
对于B，，，因为，，
，所以B错.
对于C，面积为：
，，当时，面积的最小值为1.
所以C正确.
对于D，的周长为：
，，当时，的周长最大值为：.
所以D正确.
故选：ACD.
11．AD
【分析】将求线段的长度问题转化为求向量的模，结合已知条件，通过向量方法即可求解.
【详解】如图，取的中点，连接，，．
设与的交角为．因为异面直线与所成的角为60°，所以或，
所以
将，，分别代入上式，得或．
故选：AD．
12．
【分析】（1）根据，两边平方化简求解即可；
（2）由余弦定理求解即可
【详解】设，则，故
从而，从而，故.由余弦定理得
，故.
故答案为：，.
13． 4
【分析】根据题意求出，，再根据平面向量数量积的定义可得；设，将和化为、、表示，利用定义求出关于的二次函数，根据二次函数知识可求得结果.
【详解】因为，，所以为正三角形，所以，，
因为，所以，
因为，所以，所以.
因为是线段上的一个动点，所以可设，
所以
，
因为，所以时，取得最小值，当时，取得最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：4；
【点睛】关键点点睛：将和化为、、表示，利用定义求出是解题关键.
14．
【解析】根据题中条件，先得到，，利用向量数量积的运算法则，计算，即可求出结果.
【详解】由题可知，所以，
由可得，
，
又，，
，
所以，则．
故答案为：.
15．
【分析】本题首先可以作，然后通过计算出的长，再然后通过三角形相似求出的长，最后将四边形拆成两个三角形并利用三角形面积公式即可得出结果．
【详解】
如图所示，作，
设，，，则，
因为，所以 ，即，
因为，，,
所以，，
所以．
【点睛】本题考查四边形面积的求法以及向量的数量积的相关性质，在计算四边形的面积的时候可以将四边形分为两个三角形进行求解，向量的数量积公式为，考查计算能力，是中档题．
16．
【分析】过D作，则，利用三角形的相似比表示出x，y即可得出结论．
【详解】如图，过D作BC的垂线，交BC延长线于M，
设∠BAC=α，则∠ACD=2α，，
∴，
∴，
∴（为相似比）．
又，
∴,
∴．
【点睛】本题考查对平面向量基本定理的理解和应用，解题时借助平面几何知识求解是解答本题的关键，合理构造相似三角形并由三角形的相似比得到的取值后可得所求．
17．
【分析】由向量法借助求出，再用余弦定理即可求解
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
解得（负值舍去）；
因而，
所以
故，
故答案为：
18．(1)
(2)．
【分析】（1）运用正弦定理的面积公式及面积关系计算即可；
（2）运用向量的数量积与模长关系计算即可．
【详解】（1）由已知及正弦定理可得：，
化简得：．
又因为：
，所以， 所以，
所以△ACD的面积为．
（2）由（1）可知，因为AE是△ABC的边BC上的中线，
所以，
所以，
所以△ABC的边BC上的中线AE的长为．
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1） ，知，由， 知，所以，即可证明为等腰三角形；
（2）由，知，设，由，知，所以，由此能够求出的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
故为等腰三角形，
（2）因为，所以，设，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，
，，即.
【点睛】本题主要考查了向量的加法和线性运算，是向量的综合应用，属于中档题.
20．（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元
【详解】试题分析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.
试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得，
即，

=
当且仅当，即时等号成立，
所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米
（2）在(1)的条件下，因为．
由
得


，
元
所以，建水上通道还需要万元．
解法二：在中，

在中，

在中，
=
元
所以，建水上通道还需要万元．
解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，
,即，设
由，求得， 所以
所以，
元
所以，建水上通道还需要万元．