01正、余弦定理的实际应用（测量距离问题）-【三角函数与解三角形专题】2024届高考数学重要模型专练

这是一份01正、余弦定理的实际应用（测量距离问题）-【三角函数与解三角形专题】2024届高考数学重要模型专练，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．盘兴铁路全长98.309公里，是贵州省“市市通高铁”的最后一个项目，盘兴铁路全线桥隧长为89.13公里，是目前贵州高铁中桥隧比最高的线路.如图所示，施工队为了估计盘兴铁路某隧道DE的长度，在山顶P点处测得三点A，B，C的俯角依次为，，，其中A，B，C，D，E为山脚两侧共线的五点.现预沿直线AC挖掘一条隧道，测得米，米，米，估计隧道DE的长度为（ ）
A．米B．300米C．350米D．400米
2．如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及， 则M，N间的距离为（ ）

A．B．120mC．D．200m
3．镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（ ）
A．6mB．5mC．4mD．3m
4．如图，从高为h的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是，桥头（C）的俯角是，则桥BC的长为（ ）
A．B．
C．D．
5．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘（如图阴影部分），为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是（ ）
①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；
③∠P1DC和∠DCP1.
A．①和②B．①和③
C．②和③D．①和②和③
6．位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为14米，则表高（即的长）约为（ ）（其中，）
A．9.27米B．9.33米C．9.45米D．9.51米
7．如图所示，一船向正北方向航行，当航行到点时，看见正西方向有两个相距10海里的灯塔和恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到达点后，看见灯塔在船的南偏西方向上，灯塔在船的南偏西方向上，则这艘船的速度是（ ）
A．5海里/时B．海里/时C．10海里/时D．海里/时
8．如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则（ ）
A．40.5米B．54米C．81米D．121.5米
二、多选题
9．如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（ ）
A．a，b，B．，，
C．a，，D．，，b
10．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点沿东偏南（在上变化）方向行走一段时间后，再向正南方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的落点与原点的距离可能为（ ）
A．14米B．16米C．18米D．20米
11．为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（ ）
A．与B．与C．，与D．，与
12．如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20m，∠DAB=75，∠CAB=30，AB⊥BC，∠ABD= 60则（ ）
A．BD=10(3 +)mB．DC = 10m
C．DC = 10mD．BC = 10m
13．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，则下列计算结果正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
14．如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．

15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为 海里.

16．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为60n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东的方向上，则此时A，B两船相距 n mile．

17．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距20海里的灯塔恰好与该船同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是 海里/小时.
18．如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，，，则，两点间的距离为 米
19．西点中学高一学生王某以三栋教学楼为中心（处），看到九栋宿舍处在教学楼北偏东方向，此时他认为教学楼处到九栋宿舍处距离应为100m，从教学楼继续向东行驶到升旗台（）处后，看到九栋宿舍在北偏东方向，若以上数据正确且三个点都在同一平面，那么升旗台到九栋宿舍处距离应为 m.
四、解答题
20．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
21．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
22．如图，某地需要经过一座山两侧的D，E两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线DE上的三点A，B，C，设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，C处的俯角为，且测得，试求拟修建的隧道DE的长．
参考答案：
1．C
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，，结合长度关系可得，进而可得结果.
【详解】如图，过点作，垂足为，
由题意可知：，
则均为等腰直角三角形，可得，
且，可得，
因为，则，解得，
所以，
即隧道DE的长度为350米.
故选：C.
2．A
【分析】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】由题意，可得，
且，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，由余弦定理得，
所以.
故选：A.

3．A
【分析】设建筑物底部到第一次观察时镜面位置之间的距离为，根据光线反射性质列出关于的方程组，求解即可.
【详解】
如图：设建筑物最高点为A，建筑物底部为，第一次观察时镜面位置为，第一次观察时人眼睛位置为C处，第二次观察时镜面位置为，
设到之间的距离为，
由光线反射性质得，所以，即，①
同理可得，②
①②两式相比得，解得，
代入①得，
故选：A．
4．A
【分析】分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出与，由 求出的长即可.
【详解】解：如图所示：
由题意得：，
在中，，即，
整理得：；
在中，，即，
整理得：，
则
.
故选:A.
5．D
【分析】由正余弦定理知已知三角形两角一边或两边一角或三边均可解出三角形任意一个量，要求C，D间距离只需看CD所在三角形是否已知两角一边或者两边一角即可.
【详解】根据题意，的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，中已知，而中已知
若选条件①，则中已知两角一边，CD可以求；
若选条件②，由正弦定理可以求出及，所以可以求出，则在中已知两边及夹角运用余弦定理即可求出CD.
若选条③，则在中已知两边及一角，用正弦定理即可求出CD.
故选：D
6．C
【分析】根据题意，，进而代入数据求解即可.
【详解】解：如图，，
设表高，则由题知，，
所以，
因为，，，
所以，解得，
所以，表高（即的长）约为米.
故选：C
7．A
【分析】依题意有，在中，求得，从而求得速度．
【详解】依题意有，，，
从而，在中，求得，
这艘船的速度是（海里/时）．
故选：A
8．C
【分析】利用比例求得正确答案.
【详解】依题意，
，
，
，
所以米.
故选：C
9．ACD
【分析】由三角形全等的条件或者正、余弦定理即可判定.
【详解】法一、根据三角形全等的条件可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三角形；
法二、对于A项，由余弦定理可知，可求得，即A正确；
对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；
对于C项，由正弦定理可知，即C正确；
对于D项，同上由正弦定理得，即D正确；
故选：ACD.
10．BCD
【分析】利用余弦定理求得所求距离的表达式，结合二次函数、三角函数的知识求得距离的取值范围，从而确定正确选项.
【详解】设改变方向的地点为，终点为，
由于，所以，，
，，
由余弦定理得
.
当时，米.
当时，，
结合二次函数的性质可知当时，
取得最小值，
，，.
结合二次函数的性质可知当或时，
取得最大值.
综上所述，，
所以BCD选项符合.，A选项不符合.
故选：BCD
11．ABC
【分析】由A，C在河的同一侧，故可以测量，与，由此即可得答案
【详解】因为A，C在河的同一侧，所以可以测量，与，
故选：ABC
12．AC
【分析】在中，根据给的边角可求出，；在中，根据正弦定理可求出；在中，根据余弦定理可求出；在中，根据正弦定理可求出的长度，从而可得出正确的选项．
【详解】解：，，
在中，，，，
，，
在中，，，，，
根据正弦定理得：，解得，
，，
，
在中，，根据余弦定理得：，，
在中，，，，且，
根据正弦定理得：，解得．
故选：．
13．CD
【分析】由已知利用三角形的内角和定理可求的值，由正弦定理可求得的值．
在中可求，可得，在中，由余弦定理即可计算得解的值．
【详解】解：在中，，
由正弦定理得．
在中，
，
，
，
在中，由余弦定理得： ．
．
故选：CD
14．
【分析】利用四点共圆及正余弦定理计算即可.
【详解】由于四点共圆，
所以，
由正弦定理可知，
在中，，
解之得，
显然不合题意.
故答案为：.
15．
【分析】先求的，利用余弦定理求得，利用正弦定理求得，再由余弦定理求得.
【详解】在三角形中，，
所以，所以，
在三角形中，
，
由正弦定理得
，
在三角形中，，
所以
（海里）.
故答案为：

16．
【分析】利用正弦定理求的长度即可.
【详解】由题设，n mile，且，
由正弦定理有，则，可得n mile.
故答案为：.
17．
【分析】依题意画出图形，设，得到，然后在中利用锐角三角函数求出，即可求出速度.
【详解】如图所示：
设船的初始位置为，半小时后行驶到，两个灯塔分别位于和，
所以，，则，，
所以，
设（海里），则（海里），在中，，
则，解得，
所以船速为（海里/小时）.
故答案为：
18．
【分析】求出，应用正弦定理，即可求解.
【详解】由题意，，
由正弦定理得，
故两点间的距离为米.
故答案为：
19．
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】依题意可得，，，
在中由正弦定理，即，
解得，
故升旗台到九栋宿舍处距离应为.

故答案为：
20．救援船到达D点需要1小时．
【详解】
海里
又海里
中，由余弦定理得,
海里，则需要的时间
答：救援船到达D点需要1小时
21．见解析
【详解】
要求长度，需要测量的数据有：点到，点的俯角，最后通过正弦定理得到最终结果.
①需要测量的数据有：点到，点的俯角；
点到，的俯角；，的距离 ……….
②第一步：计算. 由正弦定理 ；
第二步：计算. 由正弦定理 ；
第三步：计算. 由余弦定理
22．
【分析】利用条件得出，再在和中，利用正弦定理，求出，从而求出结果.
【详解】由题意知，．
在中，由正弦定理得，，即，
所以．
在中，因为 ，
由正弦定理得，即，
所以，
所以，即隧道DE的长为．