10数列新定义-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全国通用）

这是一份10数列新定义-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全国通用），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列，若数列的前项利为，且，则的值可能是（ ）
A．100B．201C．302D．399
2．若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题:
（1）数列是某个数列的“衍生数列”；
（2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）.
A．（1）（2）均为真命题
B．（1）（2）均为假命题
C．（1）为真命题，（2）为假命题
D．（1）为假命题，（2）为真命题
3．已知数列的通项，如果把数列的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为，再把数列的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为，则数列前10项的和为（ ）
A．1013B．1023C．2036D．2050
4．将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．设为无穷数列.若存在正整数，使得对任意正整数，均成立，则称为“-低调数列”.有以下两个命题：①是-低调数列当且仅当；②若存在，使得为2-低调数列，则.那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①､②都是真命题D．①､②都是假命题
6．已知数列、，，，其中为不大于x的最大整数.若，，，有且仅有4个不同的，使得，则m一共有（ ）个不同的取值.
A．120B．126C．210D．252
7．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（ ）
A．B．C．D．
8．记数列中不超过正整数n的项的个数为，设数列的前n项的和为，则等于（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．设正整数，其中，记．则（ ）
A．B．
C．D．
10．所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如如何表示成两个整数的比值呢？代表了等比数列的无限项求和，可通过计算该数列的前项的和，再令获得答案.此时，当时，，即可得.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为无限循环小数
C．为有限小数
D．数列的无限项求和是有限小数
11．如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（ ）
A．B．C．D．
12．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将1描述为“个，个，个”，则第五项为，，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列，下列说法正确的是（ ）
A．若，则从开始出现数字
B．若，则的最后一个数字均为
C．不可能为等差数列或等比数列
D．若，则均不包含数字
三、填空题
13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ，且这个数列的前21项和的值为 ．
14．在数列中， 下列说法正确的是 ．
①若，则一定是递增数列;
②若则一定是递增数列；
③若， 则对任意，都存在，使得
④若，且存在常数，使得对任意，都有则的最大值是 ．
15．给定数列A，定义A上的加密算法：当i为奇数时，将A中各奇数项的值均增加i，各偶数项的值均减去1；当i为偶数时，将A中各偶数项的值均增加，各奇数项的值均减去2，并记新得到的数列为．设数列：2，0，2，3，5，7，数列，则数列为 ；数列的所有项的和为 ．
16．项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足，其中.给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则满足条件的数列有4个；
③存在的数列；
④所有满足条件的数列中，首项相同.
其中所有正确结论的序号是 .
17．数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”．它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率．由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，……．若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推，已知，则 ； ．
18．二元数列中各项的值同时由，决定.已知二元数列满足，，.若，，则
19．已知数列满足：①仍为数列中的项；②当，且时，仍为数列中的项；③仍为数列中的项.则其通项公式可以为 .
20．设，记最接近的整数为，则 ； ．(用表示)
四、解答题
21．已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
22．已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
23．设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；
（2）若数列是数列，求；
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意求出的前若干项，找出规律，从而逐一检验各选项即可得解.
【详解】因为，，
所以，
所以数列的前若干项为：
，
则，
所以，，
，.
故选：C.
2．B
【分析】通过“衍生数列”的定义判断（1），通过举反例判断（2）.
【详解】对于（1）：由题意，若存在无穷数列满足要求，则数列包含三项，不妨令
，符合题意，但若只取出，这两项不是数列的连续两项，不合题意，
故数列不是某个数列的“衍生数列”，（1）为假命题；
对于（2）：当数列为时，满足各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，但是数列从某一项起不是常数列，（2）为假命题.
综上，（1）（2）均为假命题.
故选：B
【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
3．C
【分析】根据题意得到数列的第项为数列的第项，求得，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】根据题意，如此继续下去，……，则得到的数列的第一项分别为数列的第
即得到的数列的第项为数列的第项，
因为，可得，
所以.
故选：C.
4．B
【分析】根据逆序对的定义，分数列的第一个数为，数列的第二个数为，数列的第三个数为，数列的第四个数为，四种情况讨论即可.
【详解】若，则，
由构成的逆序对有，
若数列的第一个数为，则至少有个逆序对，
若数列的第二个数为，
则恰有2个逆序对的数列为，
若数列的第三个数为，
则恰有2个逆序对的数列为或，
若数列的第四个数为，
则恰有2个逆序对的数列为，
综上恰有2个逆序对的数列的个数为个.
故选：B.
5．C
【分析】根据“-低调数列”的定义验证即可.
【详解】对于数列，
若该数列为-低调数列，因均小于，故.
反之，当时，，
即该数列为-低调数列.故①是真命题.
对于数列，显然.
若存在使得该数列为2-低调数列，则对一切正整数恒成立.
若，则当时，（*）不成立；
若，取即可；
若，则，取即可.
综上，②是真命题.
故选：C.
6．C
【分析】将表示为，其中，且不全为0，，分析与的取值的关系，由此确定满足条件的的取值的个数.
【详解】设，其中，且不全为0，，
若，则，，
，，
若，则，，
，，
所以若则，，若，则，
若，，则，，
，，，，
若，，则，，
，，，，
若，，则，，
，，，，
若，，则，，
，，，，
所以时，，时，，
同理可以证明时，，，，
因为有且仅有4个不同的，使得，即中有且仅有4个变量取值为1，其余变量取值为0，又从中任选4个变量有种取法，
故满足条件的的个数为，即210个，
故选：C.
7．A
【分析】根据欧拉函数定义得出，然后由错位相减法求得和，从而可得．
【详解】因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，则，
于是①，
②，
由①-②得，
则.于是.
故选：A．
8．B
【分析】先由定义判断出当时，，再变形得到，
再按照错位相减法求和，即可求解
【详解】，
当时，，
所以
，
记，，
两式相减得，
化简得，
所以．
故选：B.
9．ACD
【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
10．AD
【分析】按照题中所给方法求解可判断A；取验证可判断BC；利用等比数列求和公式求和，然后可得的无限项求和，可判断D.
【详解】对于选项A，，代表了等比数列的无限项求和，该数列的前项的和为，，，所以，故选项A成立；
对于选项B：令与条件矛盾，故选项B不成立；
对于选项C：令与条件矛盾，故选项C不成立；
对于选项D：数列的前项和为时，，所以数列的无限项求和为，是有限小数，故选项D成立.
故选：AD
11．ABD
【分析】由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，则，同时第圈的最后一个点对应坐标为，设在第圈，则圈共有个数，可判断前圈共有个数，所在点的坐标为，向前推导，则可判断A，B选项；当时，所在点的坐标为，即可判断C选项；借助与图可知，即项之和，对应点的坐标为，，…，，即可求解判断D选项.
【详解】由题，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即 ，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，
设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A正确；
，故B正确；
所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故C错误；
，对应点的坐标为，，…，，所以
，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：观察图形，利用对称性求解问题，对D选项，考虑已知的前项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解.
12．BD
【分析】求出，可判断A选项；分、两种情况讨论，逐项递推可判断B选项；取可判断C选项；利用假设法可判断D选项.
【详解】对于A，，即“个”，，即“个，个”，，即“个，个”，故，A错；
对于B，若，即“个”，，即“个，个”，
，即“个，个”，，，
以此类推可知，的最后一个数字均为，
若，则，，，，以此类推可知，的最后一个数字均为.
综上所述，若，则的最后一个数字均为，B对；
对于C，取，则，此时数列既是等差数列，又是等比数列，C错；
对于D，，则，，，，
若数列中，中为第一次出现数字，则中必出现了个连续的相同数字，
如，则在的描述中必包含“个，个”，
即，显然的描述是不合乎要求的，
若或，同理可知均不合乎题意，
故不包含数字，D对.
故选：BD.
13． 3 52
【分析】由题意得对任意的恒成立，从而可求数列的通项公式，从而可求与.
【详解】根据“等和数列”的定义及公和为5，可得对任意的恒成立.
因为，所以.
所以.
所以.
故答案为:3;52.
14．②③
【分析】对于①，利用构造法得到为等比数列，假设，得到，得到此时为单调递减数列；对于②，得到，证明出，故得到②正确；对于③，推出，故为递增数列，③正确；对于④，当时，，由推出时，，故④错误.
【详解】对于①，，故，
所以为等比数列，公比为2，
若，则数列的首项为，故，，
由于在R上单调递减，此时为单调递减数列，①错误；
对于②，，
令，当时，恒成立，
当时，，故恒成立，
当时，，
故在单调递增，故，
综上，恒成立，故一定是递增数列，②正确；
对于③，，
因为，所以，，……，
以此类推，可得为递增数列，且时，，
故对任意，都存在，使得，③正确；
对于④，，当时，，
又，故，
此时为递增数列，且，
故不存在常数，使得对任意，都有④错误.
故答案为：②③
15． 1，3，1，6，4，10
【分析】由题意求出数列，即可求解数列；对于偶数项可得，为等差数列，写出第2，4，6项. 对于奇数项可得，为等差数列，写出第1，3，5项，相加即可求解.
【详解】由题意，
，1为奇数，所以，
，2为偶数，所以.
因为，为偶数，为奇数，
所以对于偶数项，，得，
则为等差数列，得数列B2n中：
第2项为：，
第4项为：，
第6项为：；
对于奇数项，，得，
则为等差数列，得数列B2n中：
第1项为：，
第3项为：，
第5项为：，
所以所有的项的和为
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解新定义“数列A”的算法，以学习过的数列相关的知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题.
16．①②④
【分析】根据有限数列的性质，，及满足，其中，利用不等式放缩，结合等比数列求和可得，即可确定的值，从而可判断①③④的正误，若，得，结合，求得的关系，根据不等式求得的范围，一一列举得数列，即可判断②.
【详解】由于有限数列的各项均不小于的整数，所以，，
又因为，
所以
所以，且，为整数，所以，故③不正确，④正确；
当时，得，所以，则，故①正确；
当时，得，因为，所以，则，
所以，为整数，则的可能取值为，对应的的取值为，
故数列可能为；；；，共4个，故②正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：项数为的有限数列的性质入手，
从各项，结合不等式放缩，确定的范围，从而得的值，逐项验证即可.
17． 6
【分析】根据题意不断计算即可解出．
【详解】因为为强率，由可得，，即为强率；
由可得，，即为强率；
由可得，，即为强率；
由可得，，即为强率，所以；
由可得，，即为弱率；
由可得，．
故答案为：6；．
18．答案征集
【详解】解析征集
19．(答案不唯一)
【分析】结合三个性质与等比数列的性质即可猜测该数列为一个等比数列，构造一个通项公式逐项验证即可得到一个答案．
【详解】结合三个性质与等比数列的性质，不妨设，
则仍为数列中的项；
当，且时，仍为数列中的项；
仍为数列中的项；
故满足题意．
故答案为：．
20．
【分析】先求出，观察特点得，，最接近的数字为253；
由得，，判断 为奇数或偶数从而得解.
【详解】，
若，则，
若，则，
故答案为：；.
【点睛】求出 ，关键在于处理，从而得出，将结论进行一般化，要注意n为奇数还是偶数.
21．(1)，，，
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）先求，根据题意分析求解；
（2）根据题意题意分析可得，利用反证可得，在结合等差数列运算求解；
（3）讨论的大小，根据题意结合反证法分析证明.
【详解】（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，且，则对任意恒成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（3）因为均为正整数，则均为递增数列，
（ⅰ）若，则可取，满足 使得；
（ⅱ）若，则，
构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，
满足，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
满足，使得；
（ⅲ）若，
定义，则，
构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，
即满足，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
满足，使得.
综上所述：存在使得．

22．(1)是连续可表数列；不是连续可表数列．
(2)证明见解析．
(3)证明见解析．
【分析】（1）直接利用定义验证即可；
（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；
（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可．
【详解】（1），，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．
（2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时,数列，满足，，，，，，，， ．
（3），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，
若，则至多可表个数，矛盾,
从而若,则，至多可表个数，
而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和，，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若不在两端,则形式，
若，则（有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故在一端，不妨为形式，
若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能，①或，②
这2种情形，
对①：，矛盾，
对②：，也矛盾，综上，
当时，数列满足题意，
．
【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从到中间的任意一个值．本题第二问时，通过和值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证时，数列中的几项如果符合必然是的一个排序，可验证这组数不合题．
23．（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；．
【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列；
(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值；
(3)构造数列，易知数列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.
【详解】(1)因 为 所以，
因 为所 以
所以数列，不可能是数列.
(2)性质①，
由性质③，因此或，或，
若，由性质②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因为或，所以或.
若，则，
不满足，舍去.
当，则前四项为:0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明：
当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，
当时：
若，则，利用性质③：
，此时可得：；
否则，若，取可得：，
而由性质②可得：，与矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因为，有
即当时命题成立，证毕.
综上可得：，.
(3)令，由性质③可知：
，
由于，
因此数列为数列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此时，，满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.