15数列求和-错位相减法求和-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全国通用）

这是一份15数列求和-错位相减法求和-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全国通用），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（ ）．
A．B．
C．D．
2．设表示不超过的最大整数（例如：，），则（ ）
A．B．C．D．
3．复数的虚部为( ).
A．B．C．1011D．2022
4．已知数列的首项为，，则数列的前2023项和为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数第1根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线交于点（，）和（，），则( )
参考数据：取.
A．814B．900C．914D．1000
6．Sn＝＋＋＋…＋等于（ ）
A．B．C．D．
7．数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行3项以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）（提示：，，，）
4，
4，，
4，，，
4，，，，
A．22B．21C．20D．19
8．已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，那么下列选项正确的是（ ）
①是等差数列 ②是等比数列 ③ ④是等比数列
A．①③B．②③C．①④D．②④
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，，B为坐标原点，点P在圆上，若对于，存在数列，，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．为公差为2的等差数列B．为公比为的等比数列
C．D．前n项和
10．已知定义在上且不恒为的函数，若对任意的，都有，则（ ）
A．函数是奇函数
B．对，有
C．若，则
D．若，则
11．若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互素，欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k，且与k互素的正整数的个数，例如：，，，．下列说法正确的是（ ）
A．B．数列为递增数列
C．D．数列的前n项和为，则
12．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等差数列B．数列为等比数列
C．D．数列的前n项和为
三、填空题
13．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：第一次1件货物，下一层比上一层多1件货物．已知最底下一层货物单价1万元，上面一层货物的单价比下面一层货物的单价多．若一共堆放层，则第层的货物的价格为 万元，这堆货物总价为 万元．
14．欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理．如著名的欧拉函数：对于正整数n，表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，如，．那么，数列的前n项和为 ．
15．已知数列满足，则 .
16．现取长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆．所得半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，所得半圆的面积之和为，以此类推，则 ．
17．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为，在图①中取的中点，以为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则 ； .
18．将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为 .

四、解答题
19．设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
20．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
21．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和．
参考答案：
1．D
【分析】由条件确定每年的存款的本息和，再利用错位相减法求六年的本息和即可.
【详解】设第年的存款到取出时的本息和为（千元），，
则，，，，
，，
所以小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数为：
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：D.
2．B
【分析】当时，，即，共有个.又，故，令，利用错位相减法即可求解.
【详解】当时，，
即，共有个.
因为，
故
，
设，①
则，②
①-②,得
，
所以.
所以.
故选:B.
3．A
【分析】利用错位相减法求和，结合复数的除法运算求出复数z，即可求得答案.
【详解】由题意得，
所以，
所以
，
所以
，
所以复数z的虚部为1012，
故选：A
4．A
【分析】先分类讨论为奇数和偶数，求出的通项公式，再由错位相减法求解即可.
【详解】当为奇数时，，，，，
当为偶数时，，，，，
∴，，
当，时，
，，
∴，，即为奇数时，数列是常数列，，
∴当为奇数时，；
又∵当为偶数时，为奇数，，∴，
综上所述，数列的通项公式为.
∴数列的通项公式为，其前项和为，
，①
①，得
，②
①②，得
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【点睛】本题解题的关键，是通过分类讨论，分别求出为奇数和为偶数时的通项公式，再结合的通项公式进行求解.
5．C
【分析】求出 ，用错位相减法求和即可.
【详解】由条件可得①，
所以②，
－②得：
，
，
所以.
故选：C.
6．B
【分析】利用错位相减法求解即可.
【详解】由Sn＝＋＋＋…＋，①
得Sn＝＋＋…＋＋，②
①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－，
所以Sn＝－，
∴Sn＝.
故选：B.
7．C
【分析】先求出大于零的最小值，然后再算第行的哪些项与和大于的最小值.
【详解】前行一共有项，
则有个，个，个，个，
个；
所以
即 ①
则②
②减①得：
即
所以
设
又因为
所以数列是单调递增的数列.
又因为时，
又因为时，
第行的第个数记为
则
即
又因为是单调递增的数列，
当时
当时
所以的最小正整数的值为
故选：C
8．B
【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，由数列的裂项相消求和可得.
【详解】由即为，可化为，
由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，即，
故②③正确，①错误；
又，可得
则，即，不为等比数列，故 ④错误；
故选：B
9．CD
【分析】由圆的方程写出P的参数坐标，由两点距离公式判断，由等比中项性质判断为等比数列，即可依次求得的通项公式，即可逐个判断，其中由错位相减法求和.
【详解】对AB，由点P在圆上，则由参数方程得，
则，∴.
对于，存在数列，，使得，即①，②，
②①得，
令，则，则是以为首项，
公比为的等比数列.
则，AB错；
对C，，C对；
对D，，
，
两式相减得，
.
∴，D对.
故选：CD.
10．AD
【分析】令，求得，令，求得，令，求得，可判定A正确；化简得到，可判定B错误；令，求得，结合等比数列的求和公式，可判定C错误；令，求得，令，得到，结合等比数列的求和公式，求得的值，可判定D正确．
【详解】因为对任意的，都有，
令，可得，所以，
令，可得，所以，
令，可得，所以，
所以函数为奇函数，所以A正确；
由
，所以B错误；
若，令，可得，
则，
可得，
两式相减得：
，所以C错误；
令，可得，解得，
令，则，
所以
，所以D正确．
故选：AD
【点晴】方法策略：对于抽象函数问题的求解方法：
（1）已知抽象函数的关系式或条件，该类问题一把采用赋值法，通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，寻找规律解答，赋值法时解答此类问题的常用技巧；
（2）利用数列的方法研究抽象函数的相关问题时，应准确构造相应的数列，注意函数与数列中相关限制条件的合理转化.
11．ACD
【分析】根据欧拉函数的定义可判断ABC，求出可判断D.
【详解】与互素的正整数有，所以，故A正确；
因为，所以数列不为递增数列，故B错误；
与互素的正整数有，共有个，所以，
因为，
所以，
所以，
两式相减得
，
所以，故D正确，
故选：ACD
12．BD
【分析】与公共项从小到大排列出，可知为等比数列，求出通项公式再利用错位相减求的前n项和，即可知正确选项.
【详解】数列中的项为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，
34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，
数列中的项为2，4，8，16，32，64，128，…，
∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，
∴；
∴，记数列的前n项和为，
则，
，
两式相减：
，
∴.
故选：BD
13．
【分析】利用错位相减法求和即可.
【详解】由题意可得第层货物的单价为万元，
故第层的货物的价格为万元，
则这堆货物总价为①,
则②,
由②－①可得:
，
.
故答案为：；
14．
【分析】利用错位相减法求和.
【详解】在中，与不互质的数有，共有个，
所以，
所以，
设数列的前项和为，
所以，
，
两式相减可得,
所以,
即,
故答案为：.
15．
【分析】先求出数列的通项公式，再用错位相减法求出的值.
【详解】由可得当时，，
所以，满足，故，.
令，
则，
两式相减得：，
所以.
故答案为：
16．
【分析】先求得，然后利用错位相减求和法求得正确答案.
【详解】依题意，，
，
，
以此类推可知，数列是首项为，公比是的等比数列，
所以.
令，
则，
，
两式相减得

所以.
所以.
故答案为：
17． ； ．
【分析】依题可知，各等边三角形的面积成等比数列，公比为，首项为，即可求出以及，再根据分组求和法以及错位相减法求出．
【详解】依题可知，各等边三角形的面积形成等比数列，公比为，首项为，所以，即；
，而，设
，
，作差得：
，所以，所以
．
故答案为：；．
18．
【分析】写出数阵中所有数据的和，利用错位相减法求解即可.
【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为，
则①，
②，
由①-②得：
，
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据、寻找它们之间的相互联系，利用常见数列的通项公式和求和知识求解.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用数列的前项和，即可求数列的通项公式；
（2）首先根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用错位相减法求和.
【详解】（1）当时，，
由已知，，①
当，，②
①②，得，
得，
当时，，成立，
综上可知，；
（2）由（1）可知，，
则，
，
，
两式相减得，
即，
所以
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用作差法即可得解；
（2）利用错位相减法即可得解.
【详解】（1）因为，
当时，得，
当时，，
两式相减得：，则，
检验：满足上式，故；
（2）由（1）知，
则，
故，
两式相减可得：
，
故．