16数列求和-倒叙相加法求和-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全国通用）

这是一份16数列求和-倒叙相加法求和-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全国通用），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（ ）
A．B．C．D．
2．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）
A．98B．99C．100D．101
3．已知函数，数列满足，则（ ）
A．2022B．2023C．4044D．4046
4．已知函数，则的值为（ ）
A．1B．2C．2020D．2021
5．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ）
A．96B．97C．98D．99
7．已知函数, 则的值等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（ ）
A．230B．115C．110D．100
二、多选题
9．设，若，，，下列说法正确的是（ ）
A．B．无极值点C．的对称中心是D．
10．已知正项数列，的前项和分别为，，且满足，，则（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．当时，D．当时，
三、填空题
11．已知函数，正项等比数列满足，则
12．“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 .
13．已知函数，则 ；设数列满足，则此数列的前2023项的和为 .
14．已知等差数列满足（，），则 ．
15．设函数，，．则数列的前n项和 ．
16．已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．
17．已知函数，等差数列满足，则 ．
18．已知函数，若公比为等比数列满足，，则 .
四、解答题
19．已知函数.
(1)求证：图象关于点中心对称；
(2)定义，其中且，求；
(3)对于（2）中的，求证：对于任意都有.
20．已知数列满足,且对任意,都有
成立.
（1）求的值;
（2）证明:数列是等差数列.
参考答案：
1．D
【分析】分离常数后可得，再利用倒序相加法，即可求解．
【详解】当时，，
，
，
，
，
，即.
故选：D．
2．C
【分析】观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.
【详解】由已知，数列通项，所以，
所以，
所以.
故选：C.
3．A
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
4．C
【分析】设，得到，再利用倒序相加求和得解.
【详解】解：函数，设，则有，
所以，
所以当时，，
令，
所以，
故．
故选：C
【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
5．B
【分析】根据，利用倒序相加法求解.
【详解】解：因为，
且，
令,
又
，
两式相加得：，
解得，
故选：B
6．C
【分析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.
【详解】令，
，
两式相加得：
，
∴，
故选:C．
7．D
【分析】由题意，化简函数，再利用倒序相加法，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，函数
设，
则，
所以，
所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的化简求值，以及利用倒序相加求和，其中解答中化简函数，再利用倒序相加法求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8．B
【分析】利用倒序相加法即可求得前20项的和.
【详解】，①
，②
两式相加，又因为
故，所以
所以的前20项的和为
故选：B
9．BCD
【分析】根据题意，建立三元方程组，结合函数解析式，利用代入法，求导研究单调性、函数对称性判断、倒序相加法，可得答案.
【详解】由题意可得，解得，
则，
对于A，，故A错误；
对于B，，则函数在上单调递增，故B正确；
对于C，由，故C正确；
对于D，由，
则与关于对称，
所以，
设，
，两式相加可得：
，解得，故D正确.
故选：BCD.
10．ACD
【分析】由，得到，化简得到，结合，可判定A正确；由，得到，化简得到，可判定B不正确；由，得到，证得，得到是递增数列，同理得到是递减数列，进而判定C正确；由，得到，由，得到，结合，得到，，可判定D正确．
【详解】对于A中，由，则当时，，
两式相减得，，
即，化简得，
又由，所以，所以数列是等比数列，所以A正确；
对于B中，由，则当时，，
两式相减得，
等式两边同乘，可得，
等式两边同时加，得，可得不是等比数列，
所以B不正确．
对于C中，由数列为正项数列，，得，
所以，所以，所以，所以是递增数列，
同理可证是递减数列，当时，，故，所以C正确；
对于D中，由，可得，故，
所以，所以，
因为，所以，
由，可得，可得，
又由，可得，
因为，
可得
，
所以，，
因为，所以，所以，
所以，所以D正确．
故选：ACD
11．
【分析】利用倒序相加法，结合函数的对称性以及等比数列的性质即可求得正确答案.
【详解】函数，可看成向左平移1个单位，向上平移1个单位得到,
因为的对称中心为，所以的对称中心为，
所以，
因为正项等比数列满足，所以，
所以，
所以，
①，
②，
则①②相加得：
即，
所以.
故答案为：.
12．46
【分析】先证，由倒序相加法可得通项，然后可解.
【详解】因为函数的定义域为，
设是函数图象上的两点，其中，且，则有，
从而当时，有：，当时，，
，
相加得
所以，又，
所以对一切正整数，有；
故有.
故答案为：46.
13．
【分析】由题意可知，即可根据此关系求出，因为，则，利用倒序相加法求和即可，
【详解】解：已知，
则，
，
所以，
则，
已知数列，
，，
数列的前2023项的和，
且，
两式相加，得，
故答案为：；
14．
【分析】根据等差数列的性质，结合已知条件即可求得结果.
【详解】因为数列是等差数列，故，解得；
令，
则，
故
解得.
故答案为：.
15．
【分析】由题设，讨论n的奇偶性求的通项公式，再求.
【详解】由题设，，
所以，
即且n ≥ 2，
当时，，
当时，，
所以，
故答案为：.
16．/
【分析】根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值．
【详解】∵①，
∴当时，②，
①－②得，∴；
当时，，∴，此时仍然成立，
∴．
∴当n=1时，；
当时，，
当n=1时，上式也成立，故．
由于，
设
则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题关键是熟练掌握利用前n项和与通项公式的关系求得，观察猜测并发现为定值，从而利用倒序相加法即可求和．
17．/
【分析】利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】.
依题意是等差数列，
令，
，
结合等差数列的性质，两式相加得.
故答案为：.
18．1010
【分析】求得为定值2，再根据，用倒序相加法即可求得结果.
【详解】，
∵，
设
即
故，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的性质，涉及倒序相加法求数列的前项和，属综合基础题.
19．(1)证明见解析
(2)且
(3)证明见解析
【分析】（1）证明：，即可证明图象关于点中心对称；
（2）利用倒序相加法，求；
（3）等价于，构造函数，利用函数的单调性即可证明.
【详解】（1）证明：
所以图象关于点中心对称.
（2）由（1）知
则
∵…①
∴…②
①+②，得，∴且.
（3）证明：当时，由（2）知
于是等价于
令，则
∴当时，，即函数在上单调递增，又
于是，当时，恒有，即恒成立
故当时，有成立
取，则有成立
所以，对于任意都有.
20．（1）（2）答案见解析
【解析】（1）根据,令时,即可求出;
（2）假设是公差为的等差数列,则,利用数学归纳法证明,即可求得答案.
【详解】（1）
令,则
由,则
解得:
（2）若是等差数列,则公差为,即
①当时,由（1）知,此时结论成立．
②假设当时,结论成立,即是等差数列,则公差为.
由
对该式倒序相加,得
,即
当时,结论成立．
根据①②,可知数列是等差数列．
【点睛】本题考查了求数列中的项和证明数列是等差数列,解题关键是掌握数学归纳法的证明方法和等差数列的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.