第1章解直角三角形-经典基础题（浙教版中考真题精选）-浙江省2023-2024学年九年级下册数学期

这是一份第1章解直角三角形-经典基础题（浙教版中考真题精选）-浙江省2023-2024学年九年级下册数学期，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·浙江杭州·统考中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（ ）

A．5B．4C．3D．2
2．（2022·浙江金华·统考中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·浙江金华·统考中考真题）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米B．米C．米D．米
4．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinBB．b＝csinBC．a＝btanBD．b＝ctanB
5．（2020·浙江温州·统考模拟预测）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）
A．(1.5＋150tan)米B．(1.5＋)米
C．(1.5＋150sin)米D．(1.5＋)米
6．（2019·浙江台州·统考中考真题）如图，有两张矩形纸片和，，．把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角最小时，等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2019·浙江温州·统考中考真题）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ）
A．米B．米C．米D．米
8．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（，点A、B、C、D、O在同一平面内），已知，，.则点A到OC的距离等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2023·浙江湖州·统考中考真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米．

10．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 ；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 ．
11．（2022·浙江丽水·统考中考真题）一副三角板按图1放置，O是边的中点，．如图2，将绕点O顺时针旋转，与相交于点G，则的长是 ．
12．（2021·浙江·统考中考真题）如图，已知在中，，则的值是 ．
13．（2019·浙江杭州·中考真题）在直角三角形ABC中，若，则 .
14．（2019·浙江宁波·统考中考真题）如图，某海防哨所发现在它的西北方向，距离哨所400米的处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时这般船与哨所的距离约为 米．（精确到1米，参考数据：，）
三、解答题
15．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．

(1)求的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
16．（2023·浙江台州·统考中考真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）

17．（2023·浙江金华·统考中考真题）计算：．
18．（2023·浙江·统考中考真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道，已知，，求管道的总长．

19．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
20．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．
(1)求证：CE=CM．
(2)若AB=4，求线段FC的长．
21．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
22．（2022·浙江宁波·统考中考真题）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3）
23．（2022·浙江金华·统考中考真题）计算：．
24．（2021·浙江衢州·统考中考真题）计算：．
25．（2021·浙江金华·统考中考真题）计算：．
26．（2021·浙江绍兴·统考中考真题）（1）计算：．
（2）解不等式：．
参考答案：
1．C
【分析】设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可．
【详解】设，，
∵，，
∴，即，
∴，整理得，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为，
∵正方形的面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为，
∴，
∴解得．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．B
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴m，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．
3．A
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】过点A作，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
5．A
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则BE可由仰角的正切值求得，再加上AD的长即为BC的长．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
可知AE=DC=150，EC=AD=1.5，
∵塔顶的仰角为，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
6．D
【分析】根据题意可证得四边形是菱形，故，设，则，根据勾股定理求出，再根据即可求解.
【详解】如图，
∵，
∴，且，，
∴，
∴，且四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴.
∴.
故选D．
【点睛】此题主要考查正切的求解，解题的关键是熟知菱形的性质与勾股定理进行求解.
7．B
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．
【详解】解：作AD⊥BC于点D，
则BD＝＋0.3＝，
∵csα＝，
∴csα＝，
解得，AB＝米，
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．C
【分析】根据矩形的性质可得BC＝AD＝b，∠ABC＝90°，再根据三角函数可得答案.
【详解】过点A作AE⊥OB于点E，
因为四边形ABCD是矩形，且AB＝a，AD＝b
所以BC＝AD＝b，∠ABC＝90°
所以∠BAE＝∠CBO＝x
因为，
所以，
所以点A到OC的距离
故选C.
【点睛】本题考查矩形的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和三角函数.
9．4.1
【分析】过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可．
【详解】过点作水平线交于点，交于点，如图，

∵是水平线，都是铅垂线．
∴米，米，米，
∴（米），
又根据题意，得，
∴，
，即 ，
解得：米，
∴(米)．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
10．
【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.
【详解】解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，
∴AE=EB=AB=3，
在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，
tan60°=，
∴EF=3；
当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，
由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，
∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，
过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形，
∴FM=DG，
在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，
∴DG=DCsin60°=3，
∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，
故答案为：3；6-3．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11．
【分析】BC交EF于点N，由题意得，，，，，BC=DF=12，根据锐角三角函数即可得DE，FE，根据旋转的性质得是直角三角形，根据直角三角形的性质得，即，根据角之间的关系得是等腰直角三角形，即cm，根据，得，即，解得，即可得．
【详解】解：如图所示，BC交EF于点N，
由题意得，，，，，BC=DF=12，
在中，，
，
∵△ABC绕点O顺时针旋转60°，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴（cm），
∴（cm），
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴cm，
∵，，
∴，
即，
，
，
∴（cm），
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
12．
【分析】在直角三角形中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．
【详解】解： ，

故答案为：
【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．
13．或.
【分析】对AC分两种情况讨论，根据三角函数即可得到答案.
【详解】如图所示，分两种情况讨论，AC可以是直角边，也可以是斜边

①当AC是斜边，设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理可得：
BC＝x，则
②当AC是直角边，设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理可得：
BC＝x，则
综上所述，或.
【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是对AC分情况讨论.
14．566
【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．
【详解】设与正北方向线相交于点，
根据题意，所以，
在中，因为，
所以，
中，因为，
所以（米）．
故答案为566.
【点睛】考查了解直角三角形的应用-方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
15．(1)
(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．
如图，延长交于点，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
16．的长约为
【分析】在中，由，再代入数据进行计算即可．
【详解】解：在中，，，，
∴
．
∴的长约为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用锐角的正切求解直角三角形的边长是解本题的关键．
17．
【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可．
【详解】解：原式，
，
．
【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义．本题的关键是注意各部分的运算法则，细心计算．
18．18m
【分析】如图：过点作于点，由题意易得，进而求得，再通过解直角三角形可得，然后求出即可解答．
【详解】解：如图：过点作于点，
由题意，得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．即管道的总长为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解题意求得是解答本题的关键．
19．梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
【分析】根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，
∴BC=AB⋅sin75°
≈3×0.97=2.91
≈2.9(m)．
答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；
（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，
∴MC=MA=MB，
∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，
∵∠A=50°，
∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，
∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，
∵∠ACE=30°，
∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，
∴∠MEC=∠EMC，
∴CE=CM；
（2）解：∵AB=4，
∴CE=CM=AB=2，
∵EF⊥AC，∠ACE=30°，
∴FC=CE•cs30°=．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
21．AC=4，sinA=
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴．
．
【点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦的定义是解题的关键．
22．(1)15m
(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
【详解】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB==15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= （m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．4
【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；
【详解】解：原式
；
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
24．2．
【分析】由特殊的三角函数值得到，由零指数幂公式算出，化简，最后算出结果即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算，关键注意零指数幂的运算和特殊的三角函数值．
25．1
【分析】利用乘方的意义,二次根式的化简,特殊角的函数值,绝对值的化简,化简后合并计算即可
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简,特殊角的三角函数值,绝对值的化简等知识，熟练运用各自的运算法则化简是解题的关键．
26．（1）1；（2）
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂进行计算即可；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2），
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和实数的混合运算，涉及到特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．