02函数及其性质-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版）

这是一份02函数及其性质-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·天津·高三统考期末）函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·天津河西·高三校考期末）已知函数，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·天津南开·高三崇化中学校考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2020上·天津·高三校联考期末）设函数在上可导，，有且；对，有恒成立，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022上·天津河西·高三天津市海河中学校考期末）已知函数，若关于的方程有四个不等实根．则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知奇函数，且在上是增函数．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）函数在上的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考期末）已知函数，若方程的图像恰有5个不同实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022上·天津南开·高三统考期末）函数的所有零点之和为（ ）.
A．10B．11C．12D．13
二、填空题
11．（2022上·天津静海·高三静海一中校考期末）在等腰梯形中，已知，动点和分别在线段和上，且，则的最大值为 ．
12．（2019上·天津红桥·高三统考期末）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则 .
13．（2020上·天津红桥·高三统考期末）已知函数，如果互不相等的实数，满足，则实数的取值范围 .
14．（2020上·天津·高三校联考期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数，在上有四个零点，则实数的取值范围为 .
15．（2019上·天津和平·高三校联考期末）已知函数且函数在定义域内恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .
16．（2019上·天津静海·高三统考期末）已知函数，若方程有八个不等的实数根，则实数的取值范围是 ．
17．（2019上·天津河西·高三统考期末）设函数f（x）在R上存在导数f'（x），∀x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上，f'（x）＜x，若f（6-m）-f（m）-18+6m≥0，则实数m的取值范围是 ．
18．（2018上·天津和平·高三统考期末）已知函数，若，则的值为 ．
19．（2018上·天津和平·高三统考期末）已知函数，若，则的值为
三、解答题
20．（2022上·天津·高一静海一中校联考期中）已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明；
(2)当时，
①用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值；
②设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】利用函数的奇偶性，排除两个选项，再利用得解.
【详解】，令
，
则是偶函数，选项A，B是不正确的；
又因为，所以C不正确.
故选：D
2．B
【分析】由题可知与图象有三个交点，利用数形结合即得.
【详解】因为有且只有三个不相等的实数根，
所以与图象有三个交点，
设，
画出与的大致图象，
当与相切时，
由，可得，，
所以或(舍去)，
当过时，，
由图象可知，时，两图象有三个交点，
所以若方程有且只有三个不相等的实数解，
则实数的取值范围是.
故选：B.
3．A
【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，即可得解．
【详解】∵ ， ，
，
则是奇函数，其图像关于原点对称，排除选项B、D；
对 故可排除选项C．
故选：A．
4．C
【解析】构造函数，由，可得函数为奇函数．利用导数可得函数在和上是增函数，结合函数的单调性解不等式即可．
【详解】解：解：令，
，
函数为奇函数．
时，，
故函数在上是增函数，故函数在上也是增函数，
可得在和上是增函数，
要解即，即
，
，
或时
故时
故选：
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，构造函数利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．属于中档题．
5．C
【分析】画出函数的图象，利用换元法，并构造函数，通过讨论的取值范围即可求解.
【详解】当，
令解得，
令解得，
所以函数在单调递增，单调递减，
，当时，，
作出函数的图象如下，
关于的方程有四个不等实根，
令，，则有两个不相等的实数根，
（i），，此时各有2个根，满足题意，
所以解得
（ii），
由，
则函数的一个根在，另一个根在，
所以解得，
综上，.
故选:C.
6．C
【分析】由题知有4个实数根，进而令，则函数图像与图像有4个交点，进而作出函数图像，数形结合求解即可.
【详解】解：因为函数恰有4个零点，
所以恰有4个实数根，即有4个实数根，
令，则函数图像与图像有4个交点，
因为，，所以
所以，，
因为当时，，
所以，
作出函数图像如图所示，
所以，当时，函数图像与图像有4个交点，
所以，的取值范围是
故选：C
7．B
【分析】根据给定条件，判断函数的奇偶性，再利用指数函数、对数函数单调性，结合单调性比较大小作答.
【详解】因为函数是奇函数，则，即函数是偶函数，
，而，，，
即有，又函数在上是增函数，则，
所以.
故选：B
8．C
【分析】根据给定的函数，利用其奇偶性，结合的值的情况判断作答.
【详解】函数定义域为R，，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除B；
而，排除D，又，排除A，选项C符合题意.
故选：C
9．D
【分析】利用导数分段画出函数的大致图像，
方程有5个不同的根，
然后采用换元法将问题变为讨论在给定区间上有解的问题.
【详解】当 时， ，，
当时，，当时，，
故时， ；
当时， ，当时,, 当时，
当时，有极大值，当时，，
作出的大致图像如图：
方程有5个不同的根，
令 ，根据其图像，讨论有解情况如下：
令,
(1)当 在和上各有一个解时，合题意
即 ，解得 ，
（2）当在和上各有一个解时，
，解得，
（3）当有一个根为6时，解得，此时另一个根为 ，不合题意；
（4）当有一个根为1时，解得，此时另一个根也为1，不合题意，
综上可知：，
故选：.
10．C
【分析】函数的零点可以转化为图像的交点来解决，在同一坐标系下画出，的图像，看它们交点的个数.
【详解】记，，而
，
，于是这两个函数都关于对称，在同一坐标系下画出它们图像如下，可知它们有8个交点，这8个交点可以分成4组，每一组的两个点都关于对称，这样的两个点横坐标之和是3，于是这些交点的横坐标之和为.
故选：C.
11．
【分析】运用数量积的定义求得，，，，确定的取值范围，再由向量的三角形法则和基本不等式及函数单调性，即可得到所求最大值．
【详解】解：由题可得图形如下：
由于，，
，，
因为，所以，
则
，，
当且仅当，即时取等号，即取最小值，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
所以的最大值为.
故答案为：．
12．
【分析】根据奇函数和，可知是周期函数，然后根据周期将转化为，进而可以求解.
【详解】解:是上的奇函数，
又，
，所以是周期函数，且周期为4
.
故答案为：2
13．
【分析】画出函数图象，数形结合得到，，从而求出的取值范围.
【详解】，画出函数图象，如图所示：不妨设，其中，故，且，所以的取值范围是.
故答案为：
14．
【解析】依题意可得函数是以为周期的周期函数，由时的函数解析式，画出函数图象，将函数零点转化为函数与的交点问题，数形结合即可得解.
【详解】解：定义在上的函数满足，，函数的周期为4，
且时，，画出函数的图象如图
函数在上有四个零点，等价于函数与在有四个交点，
由图（1）可知当时，即解得
图（1）
由图（2）可知当时，即解得
又当时，，，
，
临界条件为与相切与同一点，设切点坐标为，则即①
由切点处斜率相同得②
由①②消去得即
方程在有解，用二分法可得
又由则
所以
图（2）
综上可得，或，即
故答案为：
【点睛】本题考查函数的零点求参数的取值范围，函数方程思想，数形结合思想，属于中档题.
15．
【分析】先作出函数图象，再根据函数图象确定满足条件的位置，进而得参数的取值范围.
【详解】若与相切，设切点为，
，则有，解得，不满足；
若与相切，
设切点为，
，则有，解得，
，则切点为，
将切点代入，得，
若与相切，
设切点为，
，则有，解得，
，则切点为，
将切点代入，得
作出函数图象，如图，所以要使得函数有三个不同零点，
当函数的图象与函数的图象相切于点时，
两函数图象有且仅有2个交点，此时，
而当时，两函数图象有且仅有1个交点，
因此，
而当函数的图象与函数的图象相切于点时，
两函数图象有且仅有2个交点，此时，
所以要使两函数的图象有3个不同的交点，需满足，

故答案为: .
【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
16．
【分析】利用导数求出函数的单调性，然后作出的简图，由图象可得当时，有四个不同的与对应．再结合题中“方程有8个不同实数解“，可以分解为形如关于的方程在内有两个不等的实数根，然后再根据二次函数根的分布即可求出结果．
【详解】当时令，得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以；
当时，可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以；由此作出函数的草图，如下图：
有图像可知当时，有四个不同的x与f（x）对应，令，又方程有八个不等的实数根，所以在内有两个不等的实数根，令，可得，
得.
故答案为
【点睛】本题考查函数的单调性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分布是解题的关键，属于中档题．
17．
【分析】令g（x）＝f（x）x2，求出函数的单调性和奇偶性得到关于m的不等式，解出即可．
【详解】令g（x）＝f（x）x2，
∵g（x）+g（﹣x）＝f（x）x2+f（﹣x）x2=x2x2=0，
∴函数g（x）是奇函数，
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，
函数g（x）在x∈（0，+∞）递减，
又由题意得：f（0）＝0，g（0）＝0，
故函数g（x）在R递减，
故f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m
＝g（6﹣m）（6﹣m）2﹣g（m）m2≥0，
即g（6﹣m）﹣g（m）≥0，
∴g（6﹣m）≥g（m），
∴6﹣m≤m，解得：m≥3，
故答案为[3，+∞）．
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查构造函数及转化思想，属于中档题．
18．4
【分析】求出函数的定义域，并化简函数解析式，然后判断函数的奇偶性，根据奇偶性即可得出结果.
【详解】依题意，解得：，
即函数的定义域为，关于原点对称，此时恒成立，
则，
∵，
∴函数为奇函数，
∴．
故答案为：4．
19．-1
【详解】函数有意义，则必须满足：，此时，则：，
据此整理函数的解析式：，
据此可得，结合可得：.
点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
20．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）利用奇偶性的定义即可证明.
（2）①定义法判断单调性即可求得最小值. ②先求值域结合已知即可求得k的取值范围.
【详解】（1）由已知，
，

故为奇函数.
（2）①当时，，，且

又因为，所以 ，，所以
即 ，故函数在为单调递增，
函数在上的最小值为
②由①知，，所以，
当时，，成立，符合题意.
当时，在为单调递增，
对任意的，总存在，使得
故，即，解得
当时，在为单调递减，
同理：，即，解得
综上可知：k的取值范围为.