07平面向量-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版）

这是一份07平面向量-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·天津河西·高三统考期末）已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020上·天津红桥·高三统考期末）如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021上·天津河西·高三统考期末）在梯形中，，，，，若点在线段上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2019上·天津和平·高三校联考期末）如图，在梯形中，，，为边上一点，则的最小值为
A．10B．12
C．15D．16
5．（2019上·天津静海·高三统考期末）边长为的菱形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与相交于点.若，则
A．B．C．D．
6．（2018上·天津·高三统考期末）如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，，则的值为（ ）.
A．17B．13C．5D．1
7．（2018上·天津和平·高三统考期末）如图，正方形的边长为，为的中点，，且与相交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2019上·天津红桥·高三统考期末）在中，若，则角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2020上·天津南开·高三统考期末）四边形ABCD中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
10．（2020上·天津·高三校联考期末）在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2023上·天津·高三统考期末）已知三角形的外接圆半径为1，外接圆圆心为O，且O点满足，则 ， ．
12．（2023上·天津南开·高三南开大学附属中学校考期末）已知为等腰直角三角形，，圆M为的外接圆，，则 ；若P为圆M上的动点，则的取值范围为 ．
13．（2023上·天津河西·高三校考期末）在四边形中，，，，且，，则实数的值为 ，若是线段上的动点，是线段上的动点，且满足，则的最小值为 .
14．（2023上·天津南开·高三天津市第九中学校考期末）如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，且，则 ，若是线段的中点，且，则 .
15．（2022上·天津河北·高三统考期末）P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，且，则的值为 .
16．（2022上·天津·高三天津市武清区杨村第一中学校联考期末）如图，在四边形中，，，，若，，则 .若点是线段上的动点，则的最小值为 .
17．（2022上·天津河西·高三统考期末）如图所示，在梯形中，，，，，点为的中点，若向量在向量上的投影向量的模为， ；设为线段上的动点，则的最小值为 .
18．（2022上·天津·高三统考期末）如图，在四边形中，，，，，，则 ；设，则 .
19．（2022上·天津南开·高三统考期末）在四边形中，，，，则 ；若E，F分别是边，上的点，且满足，则当时，的取值范围是 .
20．（2022上·天津和平·高三统考期末）已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量为 ．
三、解答题
21．（2022上·天津河西·高三统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，，原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设斜率不为0的直线过点，与椭圆交于，两点，若椭圆上一点满足，求直线的方程.
参考答案：
1．D
【分析】利用平面向量运算法则计算出与的数量积，接着求出两个向量的模长，从而求解出夹角的余弦值，求出夹角.
【详解】，
，故，，故，所以，所以向量与的夹角为.
故选：D
2．B
【分析】根据基底表示再根据向量数量积化简，即得结果.
【详解】
故选B
3．B
【分析】根据，，，，建立空间直角坐标系，
设，得到，再求得的坐标，利用数量积的坐标运算求解.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：

因为，，，，
所以，
设
所以，
所以，，
所以，
当时，的最小值为，
故选：B.
4．C
【分析】先取CD中点N，化简，再根据N到直线AB距离最小值得结果.
【详解】取CD中点N，则,在AB上取AE=2，连接CE，则四边形AECD为平行四边形，则CE=AD=5,因为BE=3,BC=4,所以,即,,选C.
【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线位置关系，是解决这类问题的一般方法.
5．B
【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，将向量用表示，利用数量积公式计算即可得到结果．
【详解】由题意可知，做出菱形ABCD的草图，如下图：
由题意易知，，可得，
所以，又，所以
，故选B.
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，向量数量积的定义及性质，考查了学生的归纳分析能力，和运算能力，属于中档题．
6．D
【分析】根据题目提供的边长信息得到∠BCE=60°，然后利用余弦定理求出EB的长度，再用余弦定理和二倍角公式求出cs∠BED，最后求数量积即可.
【详解】由题意可知CE=3，∠BCE=60°，
∴EB==，
∴cs∠BEC==．
∴cs∠BED=2cs2∠BEC﹣1=．
∴==1．
故选：D．
7．A
【分析】建立坐标系，求出相关的坐标，利用向量的数量积的运算法则求解即可．
【详解】解：以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则，，，，
∵为的中点，，
∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，即，
∴，，
∴.
故选：A
8．C
【分析】根据数量积定义可得.
【详解】因为
所以，即
又因为角为的内角，
所以.
故选：C
9．C
【解析】数形结合分析数量积的取值范围即可.
【详解】画出图象,因为,故四点共圆.又,
易得.
.
易得当在时取最小值,
当在时取最大值.故的取值范围是.

故选：C
【点睛】本题主要考查了向量数量积的综合运用,需要数形结合分析的轨迹再分析数量积的取值范围,属于中等题型.
10．A
【解析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，
，，，
因为点在线段的延长线上，设，
解得
，
所在直线的方程为
因为点在边所在直线上，故设
当时
故选：
【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
11． /0.875
【分析】得到，平方后求出，从而得到，先求出，由二倍角公式得到，求出答案.
【详解】因为，所以，
两边平方得：，
因为三角形的外接圆半径为1，所以，
故，解得：，
所以，
因为，而，
所以，
因为，
故.
故答案为：
12． 0
【分析】根据给定条件，利用垂直的向量求解即可；再建立平面直角坐标系，利利用向量的坐标表示列出函数式，并求出函数值域作答.
【详解】在等腰直角中，，由得，点E是弦的中点，
在圆M中，，因此；
依题意，以圆M的圆心M为原点，直线CB为x轴，点A在y轴正半轴上，建立平面直角坐标系，如图，
则有，圆M的方程为，因为P为圆M上的动点，
设，，
于是得，
而，因此当时，，当时，，
所以的取值范围为.
故答案为：0；
13．
【分析】根据和向量的数量积定义式计算；建立平面直角坐标系，设，用表示出，根据二次函数性质即得．
【详解】在四边形中，，
，，
，又，，
，
；
如图以为原点建立平面直角坐标系，设，，
则，
所以，
所以，
所以，
所以当时，取得最小值．
故答案为：；．
【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法
一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解；
二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积.
14．
【分析】由向量的数量积计算可得，平面向量的线性运算可得，由平面向量的基本定理可得的值，进而可得结论.
【详解】由，，所以，
所以；
由是的中点，所以,
所以
又，
所以，
化简可得，
又，所以，
所以
故答案为:
15．
【分析】用表示出，直接计算可得.
【详解】因为P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，.
所以，所以
所以
=.
故答案为：.
16． 1 .
【分析】空一：利用平面向量数量积的定义进行求解即可；
空二：建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】空一：因为，，所以，
由；
空二：建立如图所示的直角坐标系：
，
设，所以有，
，
化简得：，
当时，的最小值为，
故答案为：1；
17．
【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，由与可构造方程求得点坐标，由向量数量积坐标运算可得；设，可得，则可将表示为关于的函数，利用二次函数最值求法可得结果.
【详解】以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，设，
，，
向量在向量上的投影向量的模为，，
，
又，，解得：，；
，；
设，，
又，，，解得：，
，，，
，
，当时，取得最小值.
【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：
（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；
（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.
18． 0 6
【分析】根据题意和余弦定理求得，利用平面向量的数量积求出，进而可得，即；以A为原点，以AB为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求出的坐标，根据列出方程组，解之即可求出.
【详解】因为，
所以，
所以，又，
所以，
得，故，
所以，
则，即；
以A为原点，以AB为x轴，y轴建立如图平面直角坐标系，
则，
所以，，
又，
所以，解得，所以.
故答案为：0；.
19．
【分析】依题意可得四边形为底角为的等腰梯形，求出的值，结合平面向量的运算法则及，得到不等式，求得取值范围，即可得解．
【详解】解：依题意等腰梯形中，，，
可得，，，
所以，，．
所以，，
所以
，分别是边，上的点，且满足，所以，
，，
则，，
．
即，
，解得，又．所以，即；
故答案为：；；
20．
【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量.
【详解】由题意，向量在方向上的投影为：，，则与同向的单位向量为，所以向量在方向上的投影向量为：.
故答案为：.
21．(1)
(2)或
【分析】（1）根据及原点到直线的距离可求，从而可求椭圆的方程.
（2）设直线的方程为，，，可用所设两点的坐标表示，联立直线方程和椭圆方程 ，消元后利用韦达定理结合在椭圆上可求直线的方程.
【详解】（1）由题意得，，
因为，所以，
由原点到直线：的距离为，
可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）因为直线的斜率不为0，且过点，
所以设直线的方程为，
设点，，
联立方程，得，
则，，
因为，所以，
将点的坐标代入椭圆方程得，
而，整理得到，
即，
解得，所以直线的方程为或.