11平面解析几何-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版）

这是一份11平面解析几何-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考期末）己知直线：被圆截得的弦长为，则点与圆上点的距离最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
2．（2023上·天津·高三统考期末）已知双曲线的实轴长为，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·天津河北·高三统考期末）设双曲线的焦距为，若成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023上·天津河西·高三校考期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，为的左顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021上·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023下·天津红桥·高三统考期末）若直线被圆截得的弦长为4，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·天津静海·高三静海一中校考期末）已知直线与直线相互垂直，则实数的值是（ ）
A．或1B．1C．D．或6
8．（2022上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2023上·天津·高三统考期末）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
10．（2023上·天津蓟州·高三天津市蓟州区第一中学校考期末）如图,某市一学校位于该市火车站北偏东方向,且,已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路,及圆弧都是学校道路,其中,以学校为圆心,半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济,其中分别在公路上,且与圆弧相切,设,的面积为.
（1）求关于的函数解析式： .
（2）当= 时,面积为最小,政府投资最低?
11．（2023上·天津南开·高三南开大学附属中学校考期末）已知为等腰直角三角形，，圆M为的外接圆，，则 ；若P为圆M上的动点，则的取值范围为 ．
12．（2023上·天津河西·高三校考期末）若过点的直线和圆交于两点，若弦长，则直线的方程为 .
13．（2023上·天津滨海新·高三校考期末）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为 ．
14．（2022上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为 ；若点为圆上一点，则的最小值为 ．
15．（2022上·天津河西·高三校考期末）已知直线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线平行，若过抛物线的焦点，则的值为 ．
三、解答题
16．（2023上·天津·高三统考期末）已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，且．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知以椭圆的离心率为斜率的直线经过点A，且与椭圆相交于点P（点P异于点A），若，求椭圆的方程．
17．（2023上·天津南开·高三校考期末）已知椭圆C：的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若A、B两点在椭圆C上，坐标原点为O，且满足，
（i）求的取值范围；
（ii）求的面积.
18．（2023上·天津河西·高三校考期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.椭圆的左顶点为A，直线与椭圆的另一个交点为，点关于原点的对称点为点，直线，与轴分别交于，两点.
(1)求椭圆的方程.
(2)是否存在定点，使得，若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
19．（2023上·天津河西·高三北京师范大学天津附属中学校考期末）已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．
20．（2022上·北京东城·高二统考期末）已知椭圆点，且离心率，F为椭圆C的左焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点，过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，，连接OT与PQ交于点H.
①若，求；
②求的值.
参考答案：
1．A
【分析】利用直线被圆截得的弦长公式以及点与圆的位置关系求解.
【详解】由题可得，圆的半径，
圆心到直线的距离为，
直线被圆截得的弦长为，
解得或（舍去），
则点的坐标为，该点到圆心的距离为，
所以点到圆上点的距离最大值为，
故选:A.
2．B
【分析】求出抛物线焦点坐标，得到，由实轴长求出，进而求出，得到双曲线方程.
【详解】的焦点坐标为，故，
由题意得：，所以，
故双曲线方程为.
故选：B
3．A
【分析】根据等差数列定义和双曲线关系可求得，由此可得渐近线方程.
【详解】成等差数列，，又，
，即，，
双曲线的渐近线方程为：.
故选：A.
4．C
【分析】根据双曲线的性质在，中结合余弦定理运算求，再在根据余弦定理得到齐次式求离心率.
【详解】如图，由题意可得：，
不妨设渐近线，即直线l的斜率，则，故，
在中，，即，
在中，，即，
在中，，即，
整理可得：，即，解得或（舍去），
故双曲线的离心率为.
故选：C.
5．D
【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点F的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答.
【详解】双曲线的渐近线，右焦点，
依题意，，解得，因此抛物线的焦点为，方程为，其准线为，
由消去x并整理得：，，即直线与抛物线相离，
过点F作于点P，交抛物线于点M，过M作于点Q，交直线于点N，
则有，
在抛物线上任取点，过作于点，作于点，交准线于点，连，如图，
显然，当且仅当点与点重合时取等号，
所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为.
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可.
6．A
【分析】根据圆中弦心距、半径、半弦长的关系列出方程求解即可.
【详解】由可得，
即圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
所以，即，解得，
故选：A
7．D
【分析】根据给定条件，利用两直线互相垂直的条件列式，再求解作答.
【详解】因为直线与直线相互垂直，
则有，即，解得或，
所以实数的值是或6.
故选：D
8．C
【分析】根据条件转化为关于的方程组，即可求解.
【详解】圆，整理为，圆心，半径，双曲线的渐近线方程，
由题意可知，，解得：，
所以双曲线的方程为.
故选：C
9．
【分析】根据双曲线方程，写出渐近线方程，整理圆的标准方程，明确圆心与半径，结合直线与圆相切，建立方程，可得答案.
【详解】由双曲线方程，则其渐近线方程，
由圆方程，整理可得，其圆心为，半径，
由两个渐近线关于对称，则不妨只探究渐近线，整理可得，
由题意，可得，解得.
故答案为：.
10．
【分析】（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,,进而表示直线的方程,由直线与圆相切构建关系化简整理得,即可表示OA,OB,最后由三角形面积公式表示面积即可;
（2）令,则,由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围,进而对原面积的函数用含t的表达式换元,再令进行换元,并构建新的函数,由二次函数性质即可求得最小值.
【详解】解：（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,.
所以直线的方程为,即.
因为直线与圆相切,
所以.
因为点在直线的上方,
所以,
所以式可化为,解得.
所以,.
所以面积为.
（2）令,则,
且,
所以,.
令,,所以在上单调递减.
所以,当,即时,取得最大值,取最小值.
所以当时,面积为最小,政府投资最低.
【点睛】本题考查三角函数的实际应用,应优先结合实际建立合适的数学模型,再按模型求最值,属于难题.
11． 0
【分析】根据给定条件，利用垂直的向量求解即可；再建立平面直角坐标系，利利用向量的坐标表示列出函数式，并求出函数值域作答.
【详解】在等腰直角中，，由得，点E是弦的中点，
在圆M中，，因此；
依题意，以圆M的圆心M为原点，直线CB为x轴，点A在y轴正半轴上，建立平面直角坐标系，如图，
则有，圆M的方程为，因为P为圆M上的动点，
设，，
于是得，
而，因此当时，，当时，，
所以的取值范围为.
故答案为：0；
12．或
【分析】根据题意结合垂径定理求得，再利用点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线的斜率是否存在.
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，
若弦长，则，可得，
当直线的斜率不存在时，即直线为，故圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设为，则直线为，即，
故圆心到直线的距离为，解得
此时直线为；
综上所述：直线为或.
故答案为：或.
13．
【分析】由弦长公式以及距离公式得出m的值.
【详解】设圆心到直线的距离为，圆的圆心，半径.
因为，所以，即，故，解得.
故答案为：
14． 4
【分析】根据圆与圆外切得，得圆：，，又，即可求得直线被圆所截的弦长；再根据即可解决.
【详解】由题知，圆：与圆：，
所以，，
因为圆与圆外切，
所以，解得，
所以圆：，，
因为直线为：，
所以，
所以直线被圆所截的弦长为，
因为点为圆上一点，，
所以
所以的最小值为4
故答案为：；4
15．
【分析】先求出双曲线的左焦点，然后求出直线的方程，再根据线过抛物线的焦点即可求解.
【详解】双曲线的左焦点为：，因为双曲线的一条渐近线方程为，所以直线的方程为，
因为直线过抛物线的焦点，所以，则，
故答案为：.
16．(1)
(2)
【分析】（1）表达出，列出方程，得到，得到离心率；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出，得到，得到方程，求出，得到椭圆方程.
【详解】（1）由题意可得，，
因为，所以，可得，
又，所以，
所以椭圆离心率为；
（2）由（1）知，，直线为，
设，联立，
化简得，解得：或
其中点P异于点，而，
故，即，
又，所以，，，，
则
，
故，解得：，故，
故椭圆方程为.
17．(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）利用菱形的面积和椭圆的性质列方程组即可得出；
（2）（i）设直线的方程为，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公式、数量积运算即可得出；
（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可得出.
【详解】（1）由已知可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）设直线的方程为，设，
联立，得，
，即，
，.
，.
,
，即，
，
，，
，
又直线的斜率不存在时,
的取值范围是.
（ii）设原点到直线的距离为，
则
，
由化简可得.
的面积为.
18．(1)
(2)存在，T为或
【分析】（1）先根据抛物线的方程求焦点为，再根据椭圆性质列式求解即可；（2）根据椭圆方程先证，利用表示点，，根据向量垂直的坐标表示整理可得，根据恒成立分析运算即可结果.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
由题意可得：，解得，
故椭圆方程为.
（2）存在定点，使得，理由如下：
由（1）可得：，
设，则，
故直线的斜率，直线的斜率，
则，
∵点在椭圆上，则，即，
∴，即，
直线的方程为，
令，则，即，
同理可得：，
设，则，
故，
若，则对任意恒成立，
可得，解得，
故存在定点T为或，使得.
【点睛】思路定睛：存在性问题求解的思路及策略：
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在.
(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况.
19．(1)
(2)直线恒过定点，证明见解析
【分析】（1）根据椭圆定义、离心率和椭圆关系可直接求得椭圆方程；
（2）当斜率存在时，设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据垂直关系可得，代入韦达定理的结论可整理求得或，验证可知不合题意；当时，由直线过定点求法可知恒过；当斜率不存在时，若，可求得恒成立；综合两种情况可得结论.
【详解】（1）由椭圆定义知：，解得：，
又离心率，，，
椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）知：；
当直线斜率存在时，设，，，
由得：，
则，解得：，
，，
，，
即，
，
即，
整理可得：，或；
当时，直线恒过点，不合题意；
当时，直线，恒过定点；
当直线斜率不存在且恒过时，即，
由得：，，满足题意；
综上所述：直线恒过定点.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
20．(1)
(2)①；②1
【分析】（1）根据题意列式求，即可得椭圆方程；（2）①求直线的方程，联立方程结合弦长公式运算求解；②求直线的方程，联立方程运算韦达定理说明点H为线段的中点，注意分类讨论和.
【详解】（1）由题意可得，解得,
椭圆C的方程为.
（2）①当时，即，直线的斜率为，
∴直线的斜率为，则直线的方程，
联立方程，消去得：，解得，
∴.
②∵，则直线的斜率为，
当时，则直线l与x轴垂直，点H即为点F，则；
当时，则直线的斜率为，则直线的方程，
联立方程，消去得：，显然，
设，则，
∴线段的中点的横坐标为，
∵直线的方程为，联立方程，解得，
即点H为线段的中点，则；
综上所述：.