10空间向量与立体几何-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版）

这是一份10空间向量与立体几何-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·天津·高三统考期末）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·天津河北·高三统考期末）已知球为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为，且球的表面积为，则这个正三棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·天津河西·高三校考期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，其中有如下记载:将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.现有直径长为2的胶泥球胚，某数学兴趣小组的同学需在此胶泥球胚中切割出底面为正方形，且垂直于底面的侧棱与底面正方形边长相等的阳马模型的几何体，若要使该阳马体积最大，则应削去的胶泥体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·天津河西·高三天津市新华中学校考期末）三棱锥的四个顶点都在球的球面上，已知、、两两垂直，，，当三棱锥的体积最大时，球的体积为( )
A．B．C．D．
5．（2022上·天津·高三天津市武清区杨村第一中学校联考期末）在四面体中，平面，为正三角形，且边长为，，则该四面体的外接球的表面积是（ ）
A．B．
C．D．32π
6．（2022上·天津·高三统考期末）若棱长分别为，2，3的长方体的顶点都在同-球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·天津河北·高三统考期末）三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·天津南开·高三统考期末）设P，A，B，C为球O表面上的四个点，，，两两垂直，且，，三棱锥的体积为18，则球O的体积为（ ）.
A．B．C．D．
9．（2021上·天津滨海新·高三校联考期末）在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（2023上·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考期末）在三棱锥中，平面，，且，，则三棱锥外接球的体积等于 ．
11．（2023下·天津红桥·高三统考期末）在中，，以边所在直线为轴，将旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为 .
12．（2022上·天津河西·高三统考期末）如图所示，某工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的体积是 .
13．（2022上·天津红桥·高三统考期末）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为 .
14．（2021上·天津·高三统考期末）如图，在圆锥中，，圆锥的侧面积为，是圆锥底面圆的内接正三角形，为上一点，且，则圆锥的体积为 ，三棱锥的外接球的表面积为 ．
15．（2020上·天津西青·高三期末）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2ACAB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为 ．
三、解答题
16．（2023上·天津·高三统考期末）如图，直三棱柱的体积为，等边三角形的面积为．D为中点，E为中点，F为中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
17．（2023上·天津河西·高三天津实验中学校考期末）如图，平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.
(1)求证：平面CPM；
(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；
(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离.
18．（2023上·天津河北·高三统考期末）如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小；
(3)求点到平面的距离.
19．（2023下·天津红桥·高三统考期末）如图，在四棱锥中，平面，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求线段的长度.
20．（2023上·天津河西·高三天津市第四中学校考期末）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.
(1)则直线AC1与平面所成角的正弦值为______.
(2)则二面角的正弦值为______.
21．（2023上·天津河西·高三校考期末）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
22．（2023上·天津南开·高三天津市第九中学校考期末）如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，，.
(1)求证：平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值；
(3)若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
23．（2022上·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
参考答案：
1．A
【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故选：A.
2．B
【分析】利用球的表面积公式可求得，根据正棱柱的外接球半径满足可构造方程求得正棱柱的高，代入棱柱体积公式可求得结果.
【详解】设正三棱柱的高为，球的半径为，
球的表面积，解得：，
正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，
的外接圆半径，
，解得：，
.
故选：B.
3．A
【分析】根据阳马的定义，可借助截出阳马的正方体来求解体积，要使阳马体积最大，则原正方体的体积应该最大，即球的内接正方体，然后根据球及锥体的体积公式即得.
【详解】如图正方体中，四棱锥即为阳马，
设正方体边长为，体积为，显然，
所以，当该正方体体积最大时，该阳马体积最大，
在球的内部，任意构造一个正方体，显然球的内接正方体体积最大，应有正方体的对角线等于球的直径，即，
又，所以，即，
则，
所以，又球的体积为，
所以应削去的胶泥的体积为.
故选：A.
4．C
【分析】根据基本不等式求出△PBC面积最大值即此时PB和PC的取值，根据已知条件，在长方体内部构造该三棱锥，长方体的外接球即为三棱锥的外接球，据此即可求解.
【详解】由题意，，
当且仅当时，三棱锥的体积最大，
如图所示，将视为长方体的一部分，
则长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为R，
则，解得，
故球的体积是：
故选：C.
5．D
【分析】在底面正三角形的外心作直线l⊥底面ABC，过SA的中点D作DO⊥SA交直线l于O，判断出O为球心，分别求出,可以求出半径R和表面积.
【详解】如图示，
在底面正三角形的外心作直线l⊥底面ABC，则球心O必在直线l上.
过SA的中点D作DO⊥SA交直线l于O.
因为为正三角形，且边长为，所以.
因为平面，⊥面ABC，所以∥.
因为DO⊥SA，平面，平面，所以平面.
又面面=,所以.
所以四边形为平行四边形，所以.
所以外接球的半径.
所以外接球的表面积为.
故选：D.
6．B
【分析】算出长方体的体对角线的长后可得球的半径，从而可求球的表面积.
【详解】长方体的体对角线的长度为，
因为长方体的顶点都在同一球面上，故该球为长方体的外接球，故其直径为，
故表面积为.
故选：B.
7．B
【分析】直接利用锥体的体积公式即可求解.
【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，
所以这个三棱锥的体积为.
故选：B
8．D
【分析】依题意可知球的直径等于以，，长为棱长的长方体的对角线长，根据三棱锥的体积求出，从而取出球的半径，最后利用球的体积公式计算可得；
【详解】解：，，，是球表面上的四个点，，，两两垂直，
则球的直径等于以，，长为棱长的长方体的对角线长，
因为，，三棱锥的体积为18，
所以，即，所以，所以，所以，故球的体积，
故选：D
9．B
【解析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．
【详解】解：设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，
所以
所以
所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的体积为
故选：．
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
10．
【分析】依题意可将三棱锥放入一个边长为2的正方体中，求出正方体的体对角线即为长方体外接球的直径，再利用球的体积公式求解即可．
【详解】因为在三棱锥中，平面，，且，，
不妨将三棱锥放入一个边长为2的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，
因为正方体的体对角线即为其外接球的直径，
因为，，
所以三棱外接球的半径为，
所以三棱锥外接球的体积为．
故答案为：．

11．
【分析】根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果.
【详解】因为在中，，所以，
若以边所在的直线为轴，将旋转一周，所得的几何体是以为高，以为底面圆半径的圆锥，因为，，
因此，其体积为：.
故答案为：.
12．
【分析】求出球心到截面圆所在平面的距离以及截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，利用球的体积公式可求得结果.
【详解】由题意可知，球心到截面圆所在平面的距离为，
设截面圆的半径为，球的半径为，则，可得，所以，，
因此，该球的体积为.
故答案为：.
13．
【分析】设球的半径为，则由题意可表示出圆柱的底面半径和高，从而可表示两几何体的体积，进而可得答案
【详解】设球的半径为，则由题意可得圆柱的底面半径为和高为，
所以球与圆柱的体积之比为
.
故答案为：
14．
【分析】设圆锥的底面半径为，利用圆锥的侧面积公式可得出关于的等式，可求得的值，利用锥体的体积公式可求得该圆锥的体积，推导出三棱锥为正三棱锥，可得出三棱锥的外接球球心在上，计算出，可列出关于三棱锥的外接球半径的等式，求出的值，利用球体的表面积公式可求得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为，则圆锥的母线长为，
该圆锥的侧面积为，整理可得，
，解得，
所以，圆锥的体积为.
由于正是圆内接正三角形，则，
连接、、，
平面，、平面，，，
，，所以，，则，
同理可证，所以，，所以，三棱锥为正三棱锥，
，，是等腰直角三角形，且，
，
设三棱锥的外接球球心为，则，
设三棱锥的外接球半径为，则，即，
即，解得，
因此，三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
15．
【解析】根据四面体是球的内接四面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算.
【详解】设该球的半径为R，则AB＝2R，2ACAB2R，
∴ACR，
由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2＝AB2﹣AC2＝R2，
所以Rt△ABC面积SBC×ACR2，
又PO⊥平面ABC，且PO＝R，四面体P﹣ABC的体积为，
∴VP﹣ABCRR2，即R3＝9，R3＝3，
所以：球的体积V πR3π×34π．
故答案为：.
【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态，从而解决问题.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)．
【分析】（1）以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面法向量，由，即可证明；
（2）求直线的方向向量与平面法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案；
（3）求平面与平面法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案；
【详解】（1）在直三棱柱中，，
解得，
由等边三角形的面积为，可得，
在直三棱柱中，取中点，
以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系．
则

则，平面的法向量为
所以，又因为平面
所以.
（2），，，
设平面的法向量为，则
，
令，则，，∴．
记直线与平面所成角为，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值
（3）由（2）得：平面的法向量为，
易得，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，∴．
记平面与平面的夹角为，
∴，
∴平面与平面的夹角的余弦值．
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接EM，证得，利用线面平行判定定理即可证明平面MPC；
（2）根据条件建立空间直角坐标系，求得平面PMQ和平面MPC法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
（3）设，则，从而，由（2）知平面PMQ的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，求出，进而得到，利用点到平面距离公式求出答案.
【详解】（1）证明：连接EM，因为，，
所以，
又因为，所以四边形PABQ为平行四边形，
因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以且，
因为，，F为CD的中点，所以且，
可得且，即四边形EFCM为平行四边形，
所以，又平面MPC，平面MPC，
所以平面MPC.
（2）因为平面ABCD，，故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，，，，
，，，，
设为平面PQM的法向量，
则，不妨设，可得，
设为平面PMC的法向量，
则，不妨设，可得.
所以，
设平面PQM与平面PMC夹角为，
所以，
即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为.
（3）设，即，
则.
从而.
由（2）知平面PMQ的法向量为，
而直线DN与平面PMQ所成的角为，
所以，
即，
整理得，解得或，
因为，
所以，所以，，
由（2）知：为平面的法向量，
故点N到平面CPM的距离为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定定理可得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果；
（3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果.
【详解】（1）设，连接，
四边形为矩形，为中点，又为中点，，
又平面，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，；
轴平面，平面的一个法向量，
，则平面与平面的夹角为.
（3）由（2）知：，，，
由平面的法向量，
点到平面的距离.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，再由线面垂直的判定定理求证；
（2）利用向量法求出线面角，根据线面角相等求出即可.
【详解】（1）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴
建立空间直角坐标系，设，.
则各点坐标为：
所以.
因为，
所以，而是平面内的两条相交直线，
所以平面；
（2）由题设和（1）知，分别是平面，平面的法向量，而与
平面所成的角和与平面所成的角相等，所以
即
由（1）知，，由，
故.，解得.
所以.
20．(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量和直线方向向量之间的关系即可求得正弦值；
（2）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，根据面面角的向量求解方法可求得答案.
【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为为棱的中点，为棱的中点，所以，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
设直线与平面所成的角为，
则．
（2）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值为.
21．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先利用平面几何的知识与线面垂直的性质证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，由此证得线面平行；
（2）结合（1）中结论，求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦的坐标表示求解即可；
（3）先利用线面角结合向量法求得的坐标，再利用空间向量点面距离公式求解即可.
【详解】（1）记的中点为，连结，
因为，，所以四边形是平行四边形，则，
因为，所以平行四边形是矩形，则，
因为平面，平面，所以，则两两垂直，
故以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
因为为的中点，所以，则，
设平面的一个法向量为，而，，
则，令，则，
所以，则，
又平面，所以平面．
.
（2）设平面的一个法向量为，而，，
所以，令，则，
设平面的一个法向量为，而，，
所以，令，则，
记平面与平面夹角为，则，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）依题意，不妨设，则，，
又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为，
所以，解得（负值舍去），
所以，则，
而由（2）得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
22．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可证明；
（2）根据题意求得平面的法向量，结合线面角的公式即可得到结果；
（3）根据题意求得平面的法向量，结合二面角的公式即可得到结果.
【详解】（1）
证明：因为底面为正方形，平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设，则，
故，设平面的法向量为
则，取，则
故，而平面，故平面.
（2）因为，故，即，而，
设平面的法向量为，
故，取，则，故
设与平面所成角为，则
（3）由（1）可得，而，
设平面的法向量为，
则，取，则，故，
因为平面，故，
故存在非零实数，使得，
即，
故，解得，
故，由（2）可得
故与平面夹角的余弦值为
23．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）使用空间向量证明：只需证明与平面的法向量垂直即可；
（2）分别求出两个平面的法向量，使用空间向量求两面夹角的余弦值；
（3） 设，根据直线与平面所成角的正弦值使用空间向量求出值.
【详解】（1）证明：四边形为矩形，，
又平面平面，平面平面，面
平面．
取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，
设平面的法向量，
，，
由，取，得，
又，，则，
又平面，平面；
（2）设平面的法向量，
，，
由，取，可得，
，
即平面与平面夹角的余弦值为；
（3）点在线段上，设，，，
，0，，2，，，，
又平面的法向量，设直线与平面所成角为，
，
，即，
，，．
，，，则，
的长为．