02函数及其性质-山东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新版）

这是一份02函数及其性质-山东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新版），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·山东潍坊·高三统考期末）已知定义在上的函数满足，对，，有，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·山东潍坊·高三统考期末）已知函数则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·山东烟台·高三统考期末）已知定义在上的函数满足：为偶函数，且；函数，则当时，函数的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·山东烟台·高三统考期末）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022上·山东菏泽·高三统考期末）函数是定义在上的偶函数，且，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
6．（2022上·山东济宁·高三统考期末）定义在上的函数满足，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（2022上·山东青岛·高三统考期末）已知定义域为的“类康托尔函数”满足：①，；②；③.则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·山东滨州·高三校联考期末）函数（其中e为自然对数的底数）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022上·山东菏泽·高三统考期末）已知函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022上·山东德州·高三统考期末）已知函数，则函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022上·山东烟台·高三统考期末）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022上·山东济南·高三统考期末）已知函数若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
13．（2023上·山东聊城·高三校联考期末）定义域为，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于（1，0）对称B．的图象关于对称
C．4为的周期D．
14．（2023上·山东德州·高三统考期末）已知定义在上的奇函数图象连续不断，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的周期T＝2B．
C．在上有4个零点D．是函数图象的一个对称中心
15．（2023上·山东菏泽·高三统考期末）若 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023上·山东潍坊·高三统考期末）已知函数，其中为实数，则（ ）
A．的图象关于对称
B．若在区间上单调递增，则
C．若，则的极大值为1
D．若，则的最小值为
17．（2023上·山东枣庄·高三统考期末）设定义在R上的函数与的导函数分别为和，且，，且为奇函数，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．
D．
18．（2023上·山东济南·高三统考期末）已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．
C．D．的图象关于点中心对称
19．（2022上·山东菏泽·高三校考期末）给出以下四个结论，其中正确的有（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域是；
B．函数（其中，且）的图象过定点；
C．当时，幂函数的图象是一条直线；
D．若，则的取值范围是.
20．（2022上·山东泰安·高三统考期末）已知是定义域为的奇函数，函数，当时，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增B．有两个零点
C．D．不等式的解集为
21．（2022上·山东淄博·高三统考期末）已知函数，则（ ）
A．
B．
C．若函数恰有个零点，则
D．当时，
22．（2022上·山东德州·高三统考期末）定义在区间上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
23．（2023上·山东泰安·高三统考期末）已知定义在上的函数满足：对任意实数a，b都有，且当时，．若，则不等式的解集为 ．
24．（2023上·山东泰安·高三统考期末）已知函数则 ．
25．（2023上·山东菏泽·高三统考期末）已知函数及其导函数的定义域均为R，若和均为奇函数，则 ．
26．（2023上·山东菏泽·高三统考期末）写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前n项积当且仅当时取最大值，则 ．（写出一个即可）
27．（2023上·山东潍坊·高三统考期末）写出一个同时满足下列三个性质的函数 .
①是奇函数；②在单调递增；③有且仅有3个零点.
28．（2023上·山东滨州·高三统考期末）已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是 ．
29．（2023上·山东济南·高三统考期末）已知函数，所有满足的点中，有且只有一个在圆上，则圆的标准方程可以是 .（写出一个满足条件的圆的标准方程即可）
四、解答题
30．（2023上·山东德州·高三统考期末）由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率；A公司生产t万件防护服还需投入成本（48＋7x＋50t）（万元）．
(1)将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；
(2)对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？
31．（2023上·山东枣庄·高三统考期末）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，求证在上存在极值点，且.
参考答案：
1．A
【分析】由已知可推得，令，得出.设，则，由，可得.又，代入求和即可得出结果.
【详解】令，由已知可得.
令，由已知可得，
设，则，整理可得.
又，所以，所以.
则，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，常用赋值法：赋确定值求解函数值，赋确定值及可变值可得函数关系式.
2．B
【分析】根据再利用分段函数定义即可求得的值.
【详解】由题意可知，，满足
所以.
故选：B
3．A
【分析】由题意画出的图象，由图知，均关于对称，有14个交点，即可求出函数的所有零点之和.
【详解】因为为偶函数，所以关于对称，
所以当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
……
函数为的图象向左平移个单位，
的图象如下图所示，
均关于对称，有14个交点，
所以函数的所有零点之和为：.
故选：A.
4．D
【分析】分别求出集合，求出交集即可.
【详解】，
，
故，
.
故选：D.
5．B
【分析】求出的一个周期为2，从而得到.
【详解】因为，所以，
又是定义在上的偶函数，所以，
故，所以的一个周期为2，
.
故选：B
6．C
【分析】利用给定函数可得，结合解析式及对数运算求函数值即可.
【详解】由题设，当时，，即当时，函数的值每隔3个单位重复出现，
则.
故选：C
7．C
【分析】根据函数的定义分别赋值得到，然后再利用得到，再次赋值，利用，即可求解.
【详解】因为，，令可得：，
又因为，令可得：，令可得：，
由可得：，
令，则有，所以，
令，，则有，所以，
因为，所以，
也即，所以，
故选：.
8．A
【分析】函数见式识图，该题型不是要求画函数图像，而是识别判断图像，因此只需要分辨即可.
【详解】从表达式可以判断出，所以函数是偶函数，所以选项D不对；利用幂函数与指数函数的增长得快慢，即指数函数有爆炸函数之称，可以得到分母增长速度更快，所以当自变量趋于正无穷时，因变量趋于0，所以选项C不正确；对于选项AB在自变量1处的单调性不同，所以可以选择特值来判断，，所以B不对.
故选:A.
9．C
【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由函数值的变化情况判断
【详解】的定义域为，
因为，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除AD，
当且时， ，
当时，，所以，所以排除B，
故选：C
10．D
【分析】得到函数的定义域，然后计算，然后根据，可得结果.
【详解】由题可知：函数定义域为，
，
所以，故该函数为奇函数，排除A,C
又，所以排除B,
故选：D
11．C
【分析】根据题意，得到函数的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且，
则在上单调递减，且，，
因为，
当时，即，此时满足不等式；
当时，即，可得，且满足，
则，解得；
当时，即，可得，且满足，
则，解得，
综上可得，不等式的解集为.
故选：C.
12．B
【分析】首先判断函数在定义域上的单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】解：因为，即，当时函数单调递增且，当时函数单调递增且，所以在定义上单调递增，所以等价于，即，解得或，即.
故选：B
13．ABC
【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项.
【详解】因为为偶函数，则，可知函数关于对称，
，把换成可得，
两式相加可得，关于对称，
又关于轴对称，则可得，，
可知4为的周期，所以ABC都正确．
令，，，，
，D选项错误.
故选:ABC．
14．ABD
【分析】首先判断函数的周期，再根据函数的周期和奇函数的性质，计算特殊值，并结合中心对称的性质，判断选项.
【详解】A.因为函数满足，所以函数是周期函数，周期，故A正确；
B.因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，又函数是周期为2的函数，所以，所以，，，所以，故B正确；
C.根据周期可知，且，所以函数在区间上至少有5个零点，
故C错误；
D.因为函数周期为2的奇函数，所以，且，所以，所以函数关于点对称，故D正确.
故选：ABD
15．AC
【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性可判断A;举反例可判断；根据的特征，构造函数，利用其单调性可得，可判断，判断C.
【详解】由于，故为R上单调增函数，
所以，而是上的增函数，故，
所以，A正确；
取满足，但，B错误；
设，则，
由于，故，即是上的增函数，
故，
由于，则，故，C正确；
取，满足，而，故D错误，
故选：
16．ACD
【分析】根据题意可得函数定义域为，由可得A正确；将函数整理变形，构造函数求导可得其单调性，再利用函数单调性即可判断B错误；当，由的单调性可知在处取得极大值为1，即C正确；若，同理可得的最小值为，所以D正确；即可得出正确选项.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
则，所以
可得对于，所以的图象关于对称，即A正确；
由可得
令，，
令，得，当时，，函数为单调递增；
当时，，函数为单调递减；
根据函数单调性可知，若在区间上单调递增，则，故B错误；
当，则，
所以在处取得极大值，
即的极大值为1，故C正确；
若，根据函数单调性可知在区间上单调递减，上单调递增；
所以在处取得极小值，也是最小值，
由得，，
所以，则的最小值为，即D正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过观察函数特征，将函数改写成，再通过构造函数，结合参数的正负利用导数研究函数的单调性和极值即可.
17．ABD
【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，，判断C，D．
【详解】解：因为为奇函数，所以，取可得，
因为，所以；
所以，又，，
故，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
因为，所以，所以，为常数，
因为，所以，
所以，取可得，所以，
故关于对称，故A正确；
又，所以，所以，
所以，故函数为周期为的周期函数，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
由已知无法确定的值，故的值不一定为，故C错误．
因为，所以，，
所以，故函数为周期为的函数，
所以，所以函数为周期为4的函数，
又，，，，
所以，，
所以
，故D正确；
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：
若，则函数关于对称；
若，则函数关于中心对称；
若，则是的一个周期.
18．BCD
【分析】根据函数由有两个极值点可得导函数有2个不同的零点即可判断A,B，根据导函数讨论函数的单调性可判断C,根据奇函数与的关系判断D.
【详解】由题可得有两个不相等的实数根，
所以，所以，A错误；
根据题意为的两个根，所以，B正确；
因为，且为的两个根，
所以由得或，
由得，
所以函数在单调递增，单调递减，单调递增，
所以成立，C正确；
因为为奇函数，所以关于对称，
所以关于对称，D正确，
故选:BCD.
19．ABD
【分析】对A选项：借助抽象函数定义域的求法即可得；
对B选项：令，计算即可得；
对C选项：由中即可得；
对D选项：分类讨论与即可得.
【详解】对A选项：函数的定义域为，即，
∴，∴，
即定义域是，A正确；
对B选项：令，∴，，
即图象过定点，B正确；
对C选项：中，它的图象是直线上去掉点，不是直线，C错误；
对D选项：时，，不合题意，
时，，，
∴，D正确.
故选：ABD.
20．BC
【分析】根据给定条件探求函数的性质，然后逐一分析各个选项判断作答.
【详解】因函数是上的奇函数，则，也是上的奇函数，
当时，，
依题意，，有成立，因此，在上单调递减，A不正确；
因，则，而在上单调递减，即在上有唯一零点1，
由奇函数的性质知，在上有唯一零点-1，即有两个零点，B正确；
因，即，C正确；
由得：或，而在上单调递减，有在上单调递减，
因此有：或，不等式的解集为，D不正确.
故选：BC
21．BCD
【分析】直接计算、的值，可判断A选项；利用函数在上的单调性可判断B选项；数形结合求出的取值范围，可判断C选项；求出不等式在时的解，数形结合可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，，，故，A错；
对于B选项，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
因为，，，
且，，
，
因为，所以，，
即，所以，，
且，，，
所以，，
即，B对；
对于C选项，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象至多有两个交点，不合乎题意，
当时，直线与函数的图象有无数个交点，不合乎题意，
由题意可知，直线与函数的图象有个交点，
则，解得，C对；
对于D选项，当时，由可得，解得，
当时，，结合图象可知当时，，D对.
故选：BCD.
22．AC
【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可.
【详解】设等比数列的公比为.
对于A，则 ，故A是“保等比数列函数”；
对于B，则常数，故B不是“保等比数列函数”；
对于C，则，故C是“保等比数列函数”；
对于D，则 常数，故D不是“保等比数列函数”.
故选：AC.
23．
【分析】根据抽象函数的条件，结合函数单调性的定义证明函数的单调性，结合函数单调性将不等式进行转化求解即可．
【详解】解：对任意实数a，b都有，且当时，．
设，则，．
所以，
即，
所以是增函数．
因为，即，所以.
所以原不等式化为等价为，
则，即，则，得，
故不等式的解集是.
故答案为：
24．
【分析】根据题意，直接代入计算即可得到结果.
【详解】因为，
则.
故答案为:
25．
【分析】由原函数的奇偶性，对称性推导函数的周期性，构造新函数求解即可.
【详解】因为为奇函数，则关于点中心对称，
所以关于直线对称，
所以，
令，
则，，
所以，
所以关于直线对称，
又因为为奇函数，
所以，
所以，
所以关于点中心对称，
令，则，
由，所以，
所以，
所以，
所以周期为，
当时，，
当时，，
所以，
所以.
故答案为：.
26．（答案不唯一）
【分析】根据等差数列的前项和公式，指数函数及二次函数的性质求解即得.
【详解】对于，其前项积为，
令，，由二次函数的性质可知，当且仅当时取到最小值，
又函数单调递减，所以当且仅当时取到最大值，
所以满足题意.
故答案为： （答案不唯一）
27．（答案不唯一）
【分析】根据奇函数图像关于原点对称，若函数有且仅有3个零点则原点两侧各有一个，再保证单调递增即可写出解析式.
【详解】由是奇函数，不妨取，且函数图象关于原点对称；
又有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，
若保证在单调递增，显然满足.
故答案为：（答案不唯一）
28．
【分析】设，由题可得当时，有两个零点，进而可得有两个正数解，令，考查直线与曲线相切时的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】令，可得，
所以函数为偶函数，
因为，则，所以，当时，函数有两个零点，
且当时，，可得，
令，可得，
令，其中，则，故函数在上为增函数，
下面考查直线与函数的图象相切的情形：
设直线与函数的图象相切于点，其中，
函数的图象在处的切线斜率为，
故曲线在点的切线的方程为，
即，
由题意可得，解得，，
结合图形可知，当时，直线与曲线在上的图象有两个交点，
即此时函数在上有两个零点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
29．．（注：圆心到直线的距离为半径即可）
【分析】根据题意结合函数的单调性和对称性得，进而可得直线与圆相切，即可写出答案.
【详解】由函数得，
所以在定义域上单调递增，
又因为，
所以关于对称，
则，即，
因为，所以，即，
所有满足的点中，有且只有一个在圆上，
则直线与圆相切，假设圆心，
所以，所以圆可以是，
故答案为: ．（注：圆心到直线的距离为半径即可）
30．(1)，
(2)0.6
【分析】（1）根据已知条件求得关于的关系式.
（2）根据已知条件列不等式并分离常数，结合函数的单调性求得的最小值.
【详解】（1）由题意可得，
所以A公司生产防护服的利润（万元）与补贴（万元）的函数关系为：
，；
（2）由题意可知，问题可转化为对所有的恒成立，
即在但成立，
即，
令，则，
此时，
令
任取，
，其中.
当时，，；
当时，，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
且．所以的最大值为，则．
所以复工率k达到0.6时，对任意的，A公司才能不产生亏损．
31．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，先证明在上递增，注意到，然后利用单调性解不等式；
（2）先根据零点存在定理，说明存在正数解，然后利用，用表示后，构造函数，证明即可.
【详解】（1）时，，，令，则，于是时，，递增，时，，递减，
故在处取得最小值，即，于是，故在上递增，注意到，
故，结合单调性，于是，即，解得，不等式的解集为.
（2），则，令，，由可知，时，，递增，时，，递减，在处取得最小值，
而，又记，，
故在上单调递减，故，于是，即；
，令，，记，则，则在单增，，
故在上递增，，取，则；
记，，于是时，，递减，时，，递增，故在处取得最大值，
故，取得等号，于是. 于是，
由和零点存在定理可知，，使得，且，，，，所以是极小值点；
由可得，，令，代入，整理，，
于是时，，递减，时，，递增，故在处取得最大值，故，取，故，原命题得证.
【点睛】本题第二问的关键有两步，第一，使用零点存在定理时，这两个点的寻找；第二证明存在极值点后，设而不求，用隐零点的方式处理.