06三角函数与解三角形-山东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新版）

这是一份06三角函数与解三角形-山东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新版），共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·山东聊城·高三校联考期末）已知为第一象限角，，则（ ）
A．-3B．C．或-3D．或3
2．（2023上·山东泰安·高三统考期末）已知函数在处取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·山东德州·高三统考期末）已知函数f（x）＝sinx的图象与直线恰好有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，，则的值为（ ）
A．－2B．－1C．0D．1
4．（2023上·山东菏泽·高三统考期末）已知函数在区间恰有3个零点，4个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·山东潍坊·高三统考期末）已知正三棱锥的侧棱长为，点，分别在线段，（不包括端点）上，且，，若点为三棱锥的外接球的球面上任意一点，则点到平面距离的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
6．（2023上·山东滨州·高三统考期末）某钟表的秒针端点到表盘中心的距离为，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与表盘上标“12”处的点重合．在秒针正常旋转过程中，，两点的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023上·山东烟台·高三统考期末）已知定义在上的函数满足：为偶函数，且；函数，则当时，函数的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·山东枣庄·高三统考期末）已知，则的值不可以为（ ）
A．B．1C．0D．
9．（2023上·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·山东济南·高三统考期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
11．（2023上·山东聊城·高三校联考期末）函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于对称B．函数图象关于对称
C．在单调递减D．最小正周期为
12．（2023上·山东滨州·高三统考期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的结论中，正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的单调递增区间为
C．当时，的最大值为1
D．在区间上有且仅有7个零点
13．（2023上·山东烟台·高三统考期末）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．若，且在上无零点，则的最小值为
14．（2023上·山东枣庄·高三统考期末）已知的最小正周期为，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．在上有四个零点
15．（2023上·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上的最大值为6
B．函数在上的最小值为-2
C．函数在上单调递增
D．函数在上单调递减
16．（2023上·山东济南·高三统考期末）已知椭圆上一点位于第一象限，左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，的角平分线与轴交于点，与轴交于点，则（ ）
A．四边形的周长为
B．直线的斜率之积为
C．
D．四边形的面积为2
三、填空题
17．（2023上·山东德州·高三统考期末）已知函数的部分图象如图所示，若在锐角中，，则 ．
18．（2023上·山东潍坊·高三统考期末）如图所示，，，，是正弦函数图象上四个点，且在，两点函数值最大，在，两点函数值最小，则 .
19．（2023上·山东潍坊·高三统考期末）已知函数，且对任意恒成立，若角的终边经过点，则 .
20．（2023上·山东烟台·高三统考期末）已知向量，，若，则的值为 .
21．（2023上·山东枣庄·高三统考期末）已知椭圆，，是其左、右焦点，点在椭圆上且满足.若到直线的距离为，则的最小值为 .
22．（2023上·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知函数，为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点．若，则的解析式为 ．
23．（2022上·山东烟台·高三统考期末）已知，，则的值为 ．
四、解答题
24．（2023上·山东泰安·高三统考期末）如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角的正切值为（即），已知两座高塔的高AD为30m，BC为60m，塔底A，B在同一水平面上，且，．
(1)求两座高塔底部A，B之间的距离；
(2)为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果?
25．（2023上·山东泰安·高三统考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求B；
(2)若，D为边AC的中点，且，求的面积．
26．（2023上·山东烟台·高三统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)，BD=3，求面积的最大值.
27．（2023上·山东德州·高三统考期末）设函数．
(1)求函数的单调增区间；
(2)在中，内角的对边分别为，若为锐角，且，，，求的面积．
28．（2023上·山东滨州·高三统考期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，的平分线交于点，且．求的面积．
29．（2023上·山东菏泽·高三统考期末）在①；②；③．
三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S．且满足______．
(1)求A的大小；
(2)设的面积为6，点D为边BC的中点，求的最小值．
30．（2023上·山东潍坊·高三统考期末）在锐角三角形中，内角的对边分别为，，，已知.
(1)求的最小值；
(2)若，，求.
31．（2023上·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．
已知中，内角所对的边分别为，且________．
(1)求的值;
(2)若，求的周长与面积．
32．（2023上·山东烟台·高三统考期末）如图，是以为斜边的等腰直角三角形，是等边三角形，，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案：
1．B
【分析】根据为第一象限角求出为第一或第三象限角，故，结合正切二倍角公式求出答案.
【详解】为第一象限角，则，
故，所以为第一或第三象限角，故，
因为，，
解得，或（舍去）．
故选：B．
2．A
【分析】根据题意，由辅助角公式即可得到的值，然后由诱导公式化简即可得到结果.
【详解】因为，
其中，
当时，取得最大值，
即，所以，
所以
故选：A
3．A
【分析】注意到过定点，该点为f（x）＝sinx的对称中心，则，.又恰好有3个交点，则直线为f（x）＝sinx在处切线，则，据此可得答案.
【详解】，得直线过定点，
该点为f（x）＝sinx的对称中心，则，.
得，.
又恰好有3个交点，则直线为f（x）＝sinx在处切线，则.
又，
则.
故选：A
4．A
【分析】先求出的范围，然后结合函数图象、零点个数和极值点个数可，进而求出可得答案.
【详解】因为，所以，
因为在区间内恰好有3个零点，4个极值点，
结合函数图象可得：，
解得，的取值范围是.
故选：A.
5．C
【分析】画出图形，结合图形辅助线，利用已知条件说明线面垂直，找出球心，建立直角三角形中相应的关系，建立等量关系，解出三棱锥外接球的半径，根据图形分析最大值即可.
【详解】取的中点，连接，如图所示：
在正三棱锥中，，
所以，
下底面为等边，
所以，
由，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，，
所以，
所以，
由，
所以平面，
又平面，
所以，所以，
所以，
设三棱锥的外接球球心为，外接圆的圆心为，
连接，则在正三棱锥中，底面为正三角形，
所以一定在上，且一定在上，
同时平面，
在中由正弦定理得：
，
在中，，
在中，，
设球体的半径为，
所以，
所以，
所以三棱锥的外接球的球面上任意一点到平面距离的最大值为：
，
故选：C.
6．C
【分析】由条件分析函数的性质，由此判断正确选项.
【详解】由已知函数的定义域为，周期为，且时，，
对于选项A，函数周期为，A错误；
对于选项B，函数周期为，B错误；
对于选项D，当时，，D错误；
对于选项C，
，
所以函数，
故选：C.
7．A
【分析】由题意画出的图象，由图知，均关于对称，有14个交点，即可求出函数的所有零点之和.
【详解】因为为偶函数，所以关于对称，
所以当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
……
函数为的图象向左平移个单位，
的图象如下图所示，
均关于对称，有14个交点，
所以函数的所有零点之和为：.
故选：A.
8．B
【分析】利用二倍角公式得到，即可得到或，再分类讨论分别计算可得.
【详解】解：因为，
所以，
即，即，
所以或，
当时，
当时，
当时，当时.
故选：B
9．A
【分析】由于，然后利用诱导公式即可求解
【详解】因为，
所以．
故选：A
10．C
【分析】根据图象的平移变换方法求解即可.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后
得到函数，
故选:C.
11．BC
【分析】A选项，根据关于对称求出，得到函数的解析式，进而得到，求出对称轴方程；B选项，在A选项基础上，求解对称中心；C选项，整体法求解单调递减区间；D选项，根据求出最小正周期.
【详解】A选项，关于对称，则，，
解得，，
又，故当时，，满足要求，其他均不合要求，
故，
将的图象向左平移个单位长度得到．
令，则对称轴为，
显然不满足，故A错误；
B选项，令，则，
所以对称中心为，
显然时，，故B正确；
C选项，令，整理得，
所以单调递减区间为，
显然，时，单调递减区间为，C正确；
D选项，最小正周期，故D不正确．
故选：BC．
12．BC
【分析】根据图像求出函数的解析式，从而可得三角函数的解析式，根据三角函数的性质对各个选项逐一验证即可.
【详解】由题可知，，，
，即，
，，故，
，，的最小正周期为，故A错误；
，即，故B正确；
，当时， ，故C正确；
，当时， ，故C正确；
令，，零点可取值为：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；故在区间上有且仅有8个零点，故D错误；
故选：BC.
13．ACD
【分析】由解得，求出，由可判断A；求出的范围，根据正弦函数的单调性可判断B；计算可判断C；，可得或，可得 的最小值为可判断D.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，即，解得，
，
且，
对于A，，故A正确；
对于B，，所以，因为在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，若，则，
可得或者，，
或，，
且的半周期为，在上无零点，则的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
14．AD
【分析】通过辅助角公式先将化简，再通过的最小正周期为，得出的值，即可利用三角函数性质对选项一一验证即可得出答案.
【详解】，
则，
的最小正周期为，且，
，即，
，
对于选项A：
，
故选项A正确；
对于选项B：
的对称轴为，，
即，，
令，解得：，
故选项B错误；
对于选项C：
的单调递增区间为，，
即，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故选项C错误；
对于选项D：
的零点为，，
即，，
则在上有四个零点，
分别是，，，，
故选项D正确.
故选：AD.
15．BCD
【分析】将函数化为关于的二次函数，根据余弦函数的值域求出函数的最值即可判断选项；然后利用余弦函数的单调性和二次函数的单调性即可判断选项.
【详解】因为，
当时，，最大值为，
最小值为．
因为函数在上单调递增，在上单调递减，而二次函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，函数在上单调递减．
故选：.
16．ABD
【分析】由已知可得，，，以及顶点和焦点的坐标.根据椭圆的定义以及两点间的距离公式即可得出A项；设，得出，进而根据在椭圆上，代入整理即可判断B项；由已知可得.设，，，根据余弦定理，整理可得，在中，可推出，根据倍角公式，可得，整理求解可得，即可判断C项；根据题意结合余弦定理可得出，根据三角形面积公式得出的面积，进而得到四边形的面积.
【详解】由已知可得，，，，点，，，.
对于A项，，又由椭圆的定义可得，
所以四边形的周长为，故A项正确；
对于B项，设，则，，，
所以.又，
所以，所以，故B项正确；
对于C项，由角平分线的性质可得，且，.
设，，则，且.
设，，
由，在和中，由余弦定理可得，整理可得，
因为，所以，即，整理可得，则，
在中，由余弦定理可得，又，
所以，整理可得，解得或（舍去），
所以，，即，，所以，故C项错误；
对于D项，由C知，，
在中，由余弦定理可得，，则，
所以的面积为.又，
所以四边形的面积为，故D项正确.
故选：ABD.
17．/
【分析】由图象可求得函数的解析式，由的取值范围以及可求得角的值.
【详解】由图可知，函数的最小正周期为，则，
因为，且，则，
所以，，可得，故，
因为为锐角，则，则，，
所以，，故.
故答案为：.
18．
【分析】由图象得出各点的坐标，进而表示出向量，根据向量以及数量积的坐标运算即可得出答案.
【详解】由图象结合正弦函数可得，，，，，
所以，，，，
所以，，
所以.
故答案为：.
19．3
【分析】由辅助角公式得表达式，后可得答案.
【详解】，其中，.
则，
则，则.
故答案为：3
20．
【分析】根据题目条件可得，代入化简即可.
【详解】已知向量，，若，则有，
∴.
故答案为：
21．
【分析】由正弦定理可得，则，令，则问题转化为求的最小值，即右焦点到直线的距离，即可得解.
【详解】解：在中由正弦定理，又，
所以，
所以，
令，要求的最小值，即求的最小值，
则，当且仅当垂直直线且在与之间时取等号，
所以.
故答案为：
22．
【分析】根据三角函数的图象，结合周期性、对称性分析运算.
【详解】因为B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，，所以由勾股定理可得．
又因为，则，解得或（舍去），
所以．
因为为函数图象的对称中心，则，，
所以，．
又因为，所以．
故.
故答案为：.
23．
【分析】根据给定条件结合同角公式求出，再用差角的余弦公式计算作答.
【详解】因，即，又，则，
所以.
故答案为：
24．(1)60m
(2)在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果
【分析】（1）由二倍角的正切公式与三角比的定义求解；
（2）由两角和的正切公式表达为关于的函数后求解最值.
【详解】（1）由题知，，，，，
如图，作，垂足为E，则四边形ABED为矩形，所以．
所以，所以，
设，则，
解得或（舍去），
所以，
所以两座高塔底部A，B之间的距离为60m．
（2）设，则．
所以，，
所以
．
设，则，
所以
，
当且仅当即时，等号成立．
又因为在锐角范围内，越大，越大，
所以当时，取得最大值，此时．
所以在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．
25．(1)
(2)
【分析】（1）将条件中的角向边进行转化，然后由余弦定理可得答案；
（2）由可得，然后可得的值，然后可得答案.
【详解】（1）因为，所以，所以，
所以，即，
所以，
又，所以．
（2）因为，D为边AC的中点，所以，且，
在中，，
同理，在中，，
因为，所以，所以，
在中，，即，所以，
所以的面积．
26．(1)
(2)
【分析】（1）由，利用正弦定理结合两角和的正弦公式，得到求解.
（2）利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：由正弦定理可得，
因为，
所以，
即，
整理得：，
因为，所以，
所以，
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得：，
即.
整理得，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，
所以，
所以ABC面积的最大值为.
27．(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简可得，根据正弦型函数单调区间的求法可求得结果；
（2）根据可求得，利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】（1），
令，解得：，
的单调增区间为.
（2），，
，，则，解得：，
由余弦定理得：，解得：，，
的面积.
28．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；
（2）依题意得，由，可得，再由余弦定理得到，即可求出，最后根据面积公式计算可得.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，
即，
即，
所以，
又，所以，
所以，则，
又，所以.
（2）解：由题意，得，
又，
所以，
即，
由余弦定理得，
即，于是，解得或（舍），
所以．
29．(1)
(2)．
【分析】（1）分别选取三个条件，运用正余弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换结合条件即得；
（2）由题可得，然后根据向量的运算及基本不等式即得.
【详解】（1）选①，由，
化简得：，
所以，即，
在中，，，
因为，所以；
选②，，
所以，
因为，所以；
选③，，
由正弦定理和切化弦得，
在中，，
所以，
在中，，因为，
所以，得；
（2）由，得，
由，有，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
30．(1)
(2)或
【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开整理可得，再利用三角形内角关系化简得，由锐角三角形可知，利用两角和的正切公式和基本不等式即可求得的最小值；（2）根据可求得或，即可求出角的正弦值，再由利用正弦定理即可求得.
【详解】（1）由已知得，
整理得，
因为，所以，
又因为，
所以，
可得，
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
（2）由（1）知，所以，
又因为，所以或，8分
当时，，由正弦定理得，
当时，，由正弦定理得.
综上，或.
31．(1)
(2)周长为11，面积为
【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角及诱导公式求出，再求出，由正切的二倍角公式即可求出的值；若选②，由诱导公式化简，再结合三角函数的平方和，可求出，，再由正切的二倍角公式可求出的值；若选③，由余弦的二倍角公式代入化简求出，再求出，由正切的二倍角公式可求出的值；
（2）由，求出，由正弦定理求出，最后根据三角形的面积公式和周长即可得出答案.
【详解】（1）若选①:由正弦定理得，
故，
而在中，，
故，又，
所以，则，
则，
故．
若选②:由，化简得，代入中，整理得，
即，
因为，所以，所以，
则，
故．
若选③:因为，
所以，即，则．
因为，所以，
则，
故．
（2）因为，且，
所以．
由（1）得，则
，
由正弦定理得，则．
故的周长为，
的面积为．
32．(1)证明见解析;
(2).
【分析】（1）取中点，在与中分别得到，，根据线面垂直的判定定理及性质定理即可证明；
（2）在中，利用余弦定理可得，以，及过点垂直于平面的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量即可求解.
【详解】（1）取中点，连接，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以.
因为是等边三角形，所以.
，平面，平面，
所以平面.
因为平面，故.
（2）在中，，，，由余弦定理可得，
，故.
如图，以，及过点垂直于平面的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
可得，所以，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，可得.
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，可得.
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.