04平面向量-湖南2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版）

这是一份04平面向量-湖南2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·湖南益阳·高三统考期末）如图所示的矩形中，满足，为的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
2．（2023上·湖南株洲·高三校联考期末）已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
3．（2023上·浙江湖州·高三期末）已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·湖南常德·高三统考期末）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022上·湖南娄底·高三统考期末）已知，，若向量，共线，且，则实数的取值为（ ）．
A．1B．C．3D．
6．（2020上·湖南常德·高三统考期末）如图，梯形中，，，为中点，则 （ ）
A．B．C．D．
7．（2020上·湖南常德·高三统考期末）已知向量，，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2020上·湖南益阳·高三统考期末）已知向量，，，若，则b在c上的投影为
A．B．C．D．
9．（2020·湖南湘潭·高三统考期末）在平行四边形ABCD中，，E为线段CD的中点，若，则（ ）
A．-4B．-6C．-8D．-9
10．（2020·湖南岳阳·高三统考期末）已知平面向量满足，且，则向量的夹角为
A．B．C．D．
11．（2020·湖南岳阳·高三统考期末）在中，,，则=（ ）
A．B．C．D．
12．（2020上·湖南怀化·高三统考期末）已知等差数列的前项和为，若，且三点共线(该直线不过原点)，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2020上·湖南怀化·高三统考期末）若向量，，函数，则的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．B．C．D．
14．（2019上·湖南益阳·高三校联考期末）在△ABC中，M为AC中点，，则x+y＝（ ）
A．1B．C．D．
15．（2019上·湖南娄底·高三统考期末）已知平行四边形的对角线相交于点，为平面内一点，且，若（，），则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
16．（2023上·湖南益阳·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.
①当时，有；
②当时，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有 .
17．（2022上·湖南常德·高三统考期末）已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O：的一条直径，则 ．
18．（2020上·湖南邵阳·高三统考期末）非零向量、满足，，则 .
19．（2020上·湖南邵阳·高三统考期末）非零向量、满足，，则 .
20．（2020上·湖南·高三统考期末）已知向量，的夹角为，则 .
参考答案：
1．A
【分析】将作为基底，根据平面向量基本定理结合已知条件把用表示，从而可求出的值.
【详解】连接，
由题可知，
又因为为的中点，所以，
所以，
所以，所以.
故选：A.
2．B
【分析】利用向量数量积的定义得，再根据抛物线的定义可得，进而可求解.
【详解】，
当即点为坐标原点时，取最小值，
故选:B.
3．A
【分析】作出图形，结合向量的线性运算和数量积运算化简，求的范围可得 的取值范围.
【详解】当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心，
因为正方形的边长为2，所以圆的半径为，
如下图所示：
则，，
所以，.
因为点为正方形四条边上的动点，所以，
又，所以，
故选：A.
4．D
【分析】根据投影向量的概念直接求解即可.
【详解】解：因为满足，且，
所以，向量在向量上的投影向量为
故选：D
5．B
【分析】由向量，共线，即可求出实数的值.
【详解】因为向量，共线，所以，
所以或，
因为，所以实数的取值为．
故选：B.
6．C
【分析】设为的中点，连接，则四边形为平行四边形，则，再根据平面向量的线性运算即可得出答案．
【详解】解：设为的中点，连接，
∵，，
∴，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
7．D
【解析】根据向量数量积的坐标运算,先求得的值.由向量加法的坐标运算求得,即可求得.
【详解】向量,,若
则由平面向量数量积的坐标运算可得
可解得
则,
所以
则
故选:D
【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,向量模的求法,属于基础题.
8．A
【解析】根据已知条件求出关系，再由投影公式，即可求解.
【详解】由，，得，
所以由，得，
所以b在c上的投影为
.
故选:A.
【点睛】本题考查向量坐标表示，涉及到向量垂直关系、向量的投影公式，属于中档题.
9．C
【解析】设，则，根据求出的值，再用表示计算可得.
【详解】解：设，则.
则，解得，
从而.
故选：C.
【点睛】本题考查向量的数量积的计算，以及向量的线性运算，属于基础题.
10．C
【解析】利用数量积的运算法则由已知等式求出，再由向量夹角公式求出角．
【详解】，
∴，∴，，．
故选：C．
【点睛】本题考查求向量的夹角，考查向量数量积的定义与运算律，属于基础题．
11．B
【解析】先用基底向量表示出，再结合向量数量积的运算求解.
【详解】由得,，
所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，向量运算可以利用坐标运算或者基底运算进行，侧重考查数学运算的核心素养.
12．A
【解析】根据三点共线的充要条件得出，运用等差数列的前项和公式，以及等差数列序号和相等性质，即可求解.
【详解】，且三点共线(该直线不过原点)，
，.
故选:A
【点睛】本题以三点共线为背景，考查数列的前项和以及等差数列的性质，属于基础题.
13．B
【解析】根据向量数列积公式，求出，运用三角恒等变换公式，化简，结合正弦函数的对称轴即特征可求解.
【详解】
，
一条对称轴为.
故选:B
【点睛】本题考查三角恒等变换，涉及到二倍角公式、降幂公式，考查三角函数的对称性，属于基础题.
14．B
【分析】由向量的加减运算可得，可得答案.
【详解】解：，
故，.
故选.
【点睛】本题主要考查向量的线性运算性质及几何意义，相对简单.
15．C
【分析】画出图像，确定位置，再根据向量的三角形法则计算得到答案.
【详解】由知，为中点.
，
故，，，
故答案选.
【点睛】本题考查了向量的加减，确定位置是解题的关键.
16．①②
【分析】联立方程求得，结合可得，当时，点三点共线，求得，即可求得，判断①；当时，由，求得的值，判断②；分情况讨论为等腰直角三角形情况，判断③.
【详解】由圆与，联立方程，解得或（舍），当时，，
所以，
从而，
即，因为点在直线上运动，所以，
则，
①当时，点三点共线，由于，
所以，所以，
由题意知，所以，故①正确；
②当时，即，所以，
即，
解得，又，得，所以②正确；
③若是等腰直角三角形，
则或或为直角，
因为，
当时，则，得，
此时，不是等腰直角三角形，
由对称性可知当时，也不是等腰直角三角形，；
当时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点在轴上，
此时，，,
,即，故不是等腰直角三角形，
综上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③错误，
故答案为：①②.
【点睛】方法点睛：题目中涉及到向量的运算即，因此要利用向量的坐标运算，表示出，则①②即可判断；判断是否为等腰直角三角形，要讨论直角顶点可能的位置，即分类讨论，结合抛物线的对称性进行解答.
17．3
【分析】设出，则可得，根据数量积的坐标运算可得到的表达式，结合可得答案.
【详解】设 ，则,且，
则，
故答案为：3
18．
【分析】根据数量积的运算律得到，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】解：因为，所以，即，
所以，
所以.
故答案为：
19．
【分析】依题意可得，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】解：因为，所以，又，
所以.
故答案为：
20．
【解析】利用两个向量夹角计算公式，求得的值，再根据同角三角函数的基本关系式求得的值.
【详解】依题意，所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.