08平面解析几何-湖南2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版）

这是一份08平面解析几何-湖南2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·湖南常德·高三统考期末）已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·湖南常德·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交的弦长为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·湖南常德·高三统考期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上且位于第一象限内的一点，直线PO交双曲线C的左支于点A，直线交双曲线C的右支于另一点B，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
4．（2022上·湖南娄底·高三统考期末）已知双曲线的左焦点为，M为C右支上任意一点，D的坐标为，则的最大值为（ ）．
A．3B．1C．D．
5．（2020·湖南湘潭·高三统考期末）已知P为双曲线C：x2﹣＝1右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且线段A1A2，B1B2分别为C的实轴与虚轴，若|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，则|PF2|＝（ ）
A．4B．10C．5D．6
6．（2020上·湖南常德·高三统考期末）已知双曲线：的左、右焦点为、，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020上·湖南益阳·高三统考期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上一点，连接PF1与y轴交于点M，若|F1O|＝2|OM|（O为坐标原点），PF1⊥PF2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±3xB．C．y＝±2xD．
8．（2020上·湖南长沙·高三统考期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，点.已知动点在椭圆上，且点，，不共线，若的周长的最小值为，则椭圆的离心率为
A．B．
C．D．
9．（2020上·湖南常德·高三统考期末）双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
10．（2020上·湖南常德·高三统考期末）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，若点为曲线上一点，且，，则的离心率为 （ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023上·湖南益阳·高三统考期末）已知双曲线，则（ ）
A．C的离心率为
B．的渐近线方程为
C．直线与有2个公共点
D．过右焦点的直线与的交点分别为，当时，这样的直线有3条
12．（2023上·湖南怀化·高三统考期末）已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．线段的中点到抛物线准线的距离为
13．（2023上·湖南怀化·高三统考期末）若直线与圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列为等比数列
C．数列的前10项和为23D．圆不可能经过坐标原点
14．（2022上·湖南常德·高三统考期末）如图，已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线与平面平行，则三棱锥的体积为
B．若直线与平面平行，则直线上存在唯一的点，使得与始终垂直
C．若，则的最小值为
D．若，则的最大值为
15．（2022上·湖南常德·高三统考期末）已知抛物线，为坐标原点，点P为直线上一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则（ ）
A．抛物线的焦点坐标为（0，1）
B．抛物线的准线方程为
C．直线AB一定过抛物线的焦点
D．
16．（2022上·湖南常德·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线交抛物线于、两点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．线段的中点在直线上
C．若，则的面积为
D．以线段为直径的圆一定与轴相切
三、填空题
17．（2023上·湖南益阳·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.
①当时，有；
②当时，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有 .
18．（2023上·湖南益阳·高三统考期末）已知圆，圆的圆心在轴上，过点，若圆与圆外切，则圆的方程为 .
19．（2022上·湖南常德·高三统考期末）已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O：的一条直径，则 ．
20．（2022上·湖南娄底·高三统考期末）已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点到焦点的距离，则点M的坐标为 ．
四、解答题
21．（2023上·湖南娄底·高三校联考期末）已知椭圆 的上下左右四个顶点分别为 ，，，， 轴正半轴上的点 满足．
(1)求椭圆 的标准方程以及点 的坐标．
(2)过点 作直线 交椭圆于 ，，是否存在这样的直线 使得 和 的面积相等？若不存在，请说明理由．
(3)在（）的条件下，求当直线 的倾斜角为钝角时， 的面积．
22．（2023上·湖南益阳·高三统考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，条件①离心率为；②点在上运动，且；③点在上.从①②③任选两个条件作为已知，解决下列问题：
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，直线的斜率分别记为，试探讨是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
23．（2022上·湖南常德·高三统考期末）已知点为椭圆上的一点，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，过点P作直线l1、l2，分别交椭圆于另一点M、R，直线l1，l2交直线l：x=3于N，S，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=0，若面积是面积的2倍，求直线l1的方程.
24．（2022上·湖南常德·高三统考期末）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的左、右顶点分别为A、B，直线l：经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线BM，AN的斜率分别为，，若，求证：λ为定值．
25．（2022上·湖南娄底·高三统考期末）已知椭圆C的标准方程为，右焦点为F，离心率为，椭圆C上一点为．直线AB的方程为，交椭圆C于A，B两点，M为AB中点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F且与AB垂直的直线与直线OM交于P点，过O点作一条与AB平行的直线l，过F作与MO垂直的直线m，设，求证：直线轴．
26．（2020上·湖南长沙·高三统考期末）已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4.
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.
(2)过点A(-4，0)的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.
27．（2020·湖南岳阳·高三统考期末）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的动直线与相交于，两点．
(1)求椭圆的方程．
(2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】设，进而结合双曲线的定义得，，，，进而在，结合余弦定理求得，进而得，再求离心率即可.
【详解】解：如图，设，因为,
所以，
由双曲线的定义得：，
所以， ，，，，
所以，在中，，
在中，
因为，
所以，即，
所以
故选：B
2．A
【分析】将圆的方程化为标准方程，的圆心坐标及半径，由弦长，圆心到直线的距离，半径的关系建立方程，解出a.
【详解】圆C：，即，圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
直线与圆相交的弦长为，得.
故选：A.
3．B
【分析】根据双曲线的定义以及对称性可推得以及四边形时平行四边形，进而在 中利用余弦定理可得到a,c之间的关系式，求得答案.
【详解】由双曲线定义可知： ，而，
故，
由双曲线的对称性可知，而,
故四边形为平行四边形，故由得: ,
在 中，，
即，即 ，
则 ，
故选：B.
4．D
【分析】，计算即可求得结果.
【详解】双曲线的实半轴长为，右焦点为，
所以，
当且仅当M，，D三点共线时取等号．
故选：D.
5．D
【分析】首先根据|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，求，再根据双曲线的定义，求的值.
【详解】∵|A1A2|＝2a＝2，|B1B2|＝2b＝4，|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列,可得|PF1|＝8，再由双曲线的定义可得：|PF2|＝8﹣2a＝6．
故选：D．
6．A
【分析】根据题意，画出双曲线及几何关系.由几何关系可得的三条边，结合余弦定理求得，即可得.进而求得，即可得双曲线的渐近线方程.
【详解】根据双曲线：的左、右焦点为，，为原点，以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，如下图所示:
则，，
所以在中，由余弦定理可得.
所以，则，所以，则渐近线方程为.
故选：A.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，余弦定理在解三角形中的应用，双曲线中渐近线方程的求法，属于中档题.
7．C
【解析】画出图形，利用已知条件转化求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
【详解】由题意双曲线的图形如图，
设PF1＝m，PF2＝n，点P是C的右支上一点，
连接PF1与y轴交于点M，若|F1O|＝2|OM|（O为坐标原点），PF1⊥PF2，
可得：，所以m＝2n，n＝2a，所以m＝4a，
可得16a2+4a2＝4c2＝4a2+4b2，
解得＝2，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x．故选：C．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合的应用，是中档题．
8．D
【解析】当，，共线时，此时的周长的最小，即可得到，再根据离心率公式计算即可．
【详解】解：的周长为，
当，，共线时，此时周长最小，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，
9．A
【解析】根据双曲线的几何性质求解即可．
【详解】解：由题意可得，
解得，
∴双曲线的标准方程是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程及其几何性质，属于基础题．
10．C
【解析】以为邻边作平行四边形,根据向量数量积定义可得.作,由结合三角函数定义可表示出的坐标,代入椭圆方程化简即可求得的离心率.
【详解】根据题意, 椭圆的左顶点为,右焦点为,若点为曲线上一点,可得几何关系如下图所示:
以为邻边作平行四边形,作
则
因为,
即,由平面向量数量积的定义可知
所以四边形为菱形
则
又因为,
则
在和中,由三角函数定义可得

则,所以
同理,
所以M点的坐标为
将M点的坐标代入椭圆方程可得
而
代入化简可得
即
故选:C
【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合应用,平面向量数量积运算,三角函数定义及椭圆离心率的求法,计算量较大,综合性强,属于难题.
11．ABD
【分析】根据双曲线方程确定双曲线的即可得双曲线的离心率、渐近线方程，从而可判断直线与双曲线的位置关系，过焦点的弦长与通经、实轴长的关系.
【详解】解：由双曲线可知，，所以，，所以，所以A正确；
双曲线的渐近线方程为，所以B正确；
因为直线与渐近线平行，且过，所以与只有一个公共点，所以C错误；
因为由，当时，双曲线的通经长为，过右焦点的直线与的交点分别为，当时，点均在双曲线的右支上有两条直线使得，
又因为双曲线的实轴长，所以点分别在双曲线的左､右顶点时，也满足有1条，
综合可知当时，这样的直线有3条，所以D正确.
故选：ABD.
12．ACD
【分析】联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，结合弦长、垂直、三角形的面积，准线等知识确定正确答案.
【详解】联立得，，设，
则，，
∴，.
, A选项正确.
，∴不成立，B选项错误；
到直线的距离为，
的面积，C选项正确；
∵，准线方程为∴，
线段AB的中点到抛物线准线的距离为4，D选项正确.
故选：ACD
13．AC
【分析】先求得圆心和半径，根据点到直线的距离公式、等差等比数列、圆等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
由直线与圆相切得，，
∴，，
∴是首项为，公差为的等差数列，
前10项和为；
令，解得，此时圆C经过坐标原点.
综上所述，AC选项正确，BD选项错误.
故选：AC
14．ABC
【分析】取棱的中点，连接，进而证明平面平面得的轨迹即为线段，再讨论AB选项即可得判断；当时，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在平面内的圆弧，再分别讨论CD选项即可.
【详解】解：取棱的中点，连接，
因为棱的中点，分别是棱的中点，
所以，，
因为，所以，
所以，四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
因为平面，
所以平面平面，
所以，直线与平面平行， 的轨迹即为线段，
故对于A选项， ，三棱锥的体积为，故A正确；
对于B选项，要使得与始终垂直，则面，故如图建立空间直角坐标系，则，
所以，，
所以且，解得，即，
所以，直线上存在唯一的点（中点），使得与始终垂直，故B正确；
当时，所以，解得，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在平面内的圆弧，
对于C选项，由于，故的最小值为，故C正确；
对于D选项，，当且仅当时等号成立，
所以，的最大值为，故D错误.
故选：ABC
15．BD
【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可.
【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A不正确，选项B正确；
设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，
与抛物线方程联立，得，
因为是该抛物线的切线，
所以，
且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，
设直线存在斜率且不为零，设为，
同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，
显然、是方程的两个不等实根，所以
因为，
所以，因此选项D正确；
由上可知：的斜率为，
直线的方程为： ，
，
所以有，
所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项C不正确，
故选：BD
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程的根与系数关系、判别式是解题的关键.
16．BCD
【分析】根据抛物线的标准方程与准线方程的关系可判断A选项的正误；利用点差法可判断B选项的正误；利用弦长公式以及三角形的面积公式可判断C选项的正误；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，A错；
对于B选项，设点、，设线段的中点为，
则，两式作差得，可得，
所以，，故，B对；
对于C选项，设直线的方程为，联立，可得，
，解得，由韦达定理可得，，
，解得，
点到直线的距离为，故，C对；
对于D选项，设线段的中点为，则，
由抛物线的定义可得，即等于点到轴距离的两倍，
所以，以线段为直径的圆一定与轴相切，D对.
故选：BCD.
17．①②
【分析】联立方程求得，结合可得，当时，点三点共线，求得，即可求得，判断①；当时，由，求得的值，判断②；分情况讨论为等腰直角三角形情况，判断③.
【详解】由圆与，联立方程，解得或（舍），当时，，
所以，
从而，
即，因为点在直线上运动，所以，
则，
①当时，点三点共线，由于，
所以，所以，
由题意知，所以，故①正确；
②当时，即，所以，
即，
解得，又，得，所以②正确；
③若是等腰直角三角形，
则或或为直角，
因为，
当时，则，得，
此时，不是等腰直角三角形，
由对称性可知当时，也不是等腰直角三角形，；
当时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点在轴上，
此时，，,
,即，故不是等腰直角三角形，
综上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③错误，
故答案为：①②.
【点睛】方法点睛：题目中涉及到向量的运算即，因此要利用向量的坐标运算，表示出，则①②即可判断；判断是否为等腰直角三角形，要讨论直角顶点可能的位置，即分类讨论，结合抛物线的对称性进行解答.
18．
【分析】根据两个圆相外切，和过点，列关于的方程组解决.
【详解】依题可设圆的方程为：，且，因为圆与圆外切，且过点，所以解得，，
所以所求圆的方程为.
故答案为：.
19．3
【分析】设出，则可得，根据数量积的坐标运算可得到的表达式，结合可得答案.
【详解】设 ，则,且，
则，
故答案为：3
20．
【分析】由抛物线的定义求出p，进而求出点的坐标.
【详解】点F的坐标为，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得，所以．所以抛物线方程为，将代入方程，可得（负值舍去），所以点M坐标为．
故答案为：.
21．(1)， 点坐标为
(2)存在， 或
(3)
【分析】（1）由及椭圆的定义即可求得标准方程及点点坐标.
（2）由 与 的面积相等知点到直线 的距离相等，再由点到直线的距离公式即可求得直线方程.
（3）由（2）求得的直线方程，联立椭圆，再由面积公式即可求得三角形的面积.
【详解】（1）设点 的坐标为 ，易知 ，，
，，
因此椭圆的标准方程为 ，点坐标为 ．
（2）设直线 ，
由 与 的面积相等知点到直线 的距离相等，
所以解得 或 ，
所以直线 的方程为 或．
（3）若直线 的倾斜角为钝角，则 ，
此时直线 的方程为，
由 消去 得 ，
设 ， 坐标分别为 ，，
则有所以 的面积
故所求 的面积为 ．
22．(1)条件选择见解析，
(2)是定值，定值为零
【分析】（1）根据椭圆的定义，椭圆的离心率和即可求解；（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理和斜率定义即可求解.
【详解】（1）选择①②，
因为，
联立方程组
所以椭圆的方程为：.
选择②③，
因为，
联立方程组
所以椭圆的方程为：.
选择①③，
所以椭圆的方程为：.
（2）由（1）知椭圆的方程为：，所以，
当直线的斜率为0时，易知，所以，
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
，联立方程组，
整理得，
，
所以，
所以
，
综上可知为定值0.
23．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得关于的方程组，从而可求出，进而可求出椭圆C的方程；
（2）记，设，，直线l1：；直线l2：，将直线方程与椭圆方程联立，化简再利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出，则可表示出，同理可表示出，然后由面积是面积的2倍，可得，从而可求出的值，进而可求出直线方程.
【详解】（1）由题可知
解得：，
椭圆C的方程为；
（2）记，设，，
则直线l1：；直线l2：，
联立消y得：，
则，即，
，
又，
同理
，，
；即，
，解得，
直线l1的方程为：即.
24．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得，，即求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理法即求.
【详解】（1）由题意知右焦点F(1，0)，，又，
则，，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）设，，
由可得，
则，，
又，B（2，0），，
法一：，由得，
∴
即λ为定值．
法二：
即λ为定值．
25．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率为，椭圆C上一点为这两个条件即可求椭圆的标准方程；
（2）根据平行或垂直关系求出相关直线，再根据直线的联立分别求出点的横坐标即可证明.
【详解】（1）依题意得，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）联立椭圆C的方程，与直线AB的方程，消去y得，
，设，，
得，，
设，所以，，
所以直线MO的斜率为，MO的方程为，
F的坐标为，
过F且与AB垂直的直线方程为，
由与联立消去y得，P点的横坐标为4，
直线m的方程为，直线l的方程为，
由与联立消去y得，Q点的横坐标也为4，所以直线轴．
26．(1)椭圆C1的方程为=1，抛物线C2的方程为y2=8x；
(2)直线EN恒过一定点Q(-1，0)，证明见解析.
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合抛物线的焦点坐标进行求解即可；
（2）设出直线l的方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合椭圆的对称性、直线斜率公式进行求解即可.
【详解】（1）设椭圆C1的半焦距为c.依题意，可得a=，则C2:y2=4ax，
代入x=c，得y2=4ac，即y=±2，所以4=4，
则有，所以a=2，b=，
所以椭圆C1的方程为=1，抛物线C2的方程为y2=8x.
（2）依题意，当直线l的斜率不为0时，设其方程为x=ty-4，
由，得(3t2+4)y2-24ty+36=0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则E(x1，-y1).由Δ>0，得t2，
且y1+y2=，y1y2=.
根据椭圆的对称性可知，若直线EN过定点，此定点必在x轴上，设此定点为Q(m，0).
因为kNQ=kEQ，所以，(x1-m)y2+(x2-m)y1=0，
即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0，2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0，
即2t·-(m+4)·=0，得(3-m-4)t=(-m-1)t=0，
由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1，所以直线EN过定点Q(-1，0).
当直线l的斜率为0时，直线EN的方程为y=0，也经过点Q(-1，0)，
所以当直线l绕点A旋转时，直线EN恒过一定点Q(-1，0).
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系和椭圆的性质是解题的关键.
27．(1)；
(2)存在；或.
【分析】（1）设，由，，，求得的值即可得椭圆的方程；
（2）设，，直线的方程为与椭圆方程联立可得，，进而可得弦长，求出点到直线的距离，解方程，求得的值即可求解.
【详解】（1）设，因为直线的斜率为，，
所以，可得，
又因为，所以，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）假设存在直线，使得的面积为，
当轴时，不合题意，
设，，直线的方程为，
联立 消去得：，
由可得或，
，，
所以
，
点到直线的距离，
所以，
整理可得：即，
所以或，所以或，
所以存在直线：或使得的面积为.