2023-2024学年广东省湛江二十一中高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省湛江二十一中高一（上）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={−2,−1,0,1}，B={−1,0,1,2}，则A∩B=( )
A. {−2,−1,0,1}B. {−1,0,1,2}C. {0,1,2}D. {−1,0,1}
2.命题“∃x∈R，使得x2+3x+2<0”的否定是( )
A. ∀x∈R，均有x2+3x+2≤0B. ∀x∈R，均有x2+3x+2≥0
C. ∃x∈R，有x2+3x+2≥0D. ∃x∈R，有x2+3x+2≤0
3.已知函数f(x)=x−5,x>0x2,x≤0，则f(f(−3))=( )
A. −8B. 9C. 81D. 4
4.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=−2x2+x，则f(−2)=( )
A. −6B. 6C. −10D. 10
5.已知偶函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增，设a=f(−32)，b=f(−1)，c=f(2)，则a，b，c的大小关系为( )
A. b6.函数y=|x|+1的图象是( )
A. B.
C. D.
7.已知定义在R上的偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数，且f(−1)=0，则使f(x)>0的x的取值范围是( )
A. (−1,0)B. (0,1)
C. (−1,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)
8.若函数f(x)=(2−3a)x+1,x≤1ax,x>1满足对任意的实数x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，则实数a的取值范围为( )
A. [23,+∞)B. (23,34]C. (23,1)D. [34,1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图表示赵红的体重与年龄的关系，下列说法正确的是( )
A. 赵红出生时的体重为4kgB. 赵红的体重随年龄的增长而增加
C. 赵红25岁之后，体重不变D. 赵红体重增加最快的时期是0～15岁
10.下列各组函数是同一函数的有( )
A. f(x)=x3x与g(x)=x2
B. f(x)=|x|与g(x)= x2
C. f(x)=x0与g(x)=1
D. f(x)= 1+x× 1−x与g(x)= 1−x2
11.下列条件中，−2A. −2≤x≤2B. −212.已知正实数a，b满足ab=9a+b，则下列结论中正确的是( )
A. 9a+1b=1B. ab的最小值为36
C. a2+b2>72D. a+b的最小值为16
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)= x−1+1x−2的定义域用区间表示是______．
14.函数y=2x2−4x+3在区间[0,3]上的最小值为______ ．
15.如果函数f(x)=x2−2ax+2在区间[3,+∞)上是增函数，则a的取值范围为______ ．
16.若关于x的不等式x2−(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知U=R且A={x|x2−5x−6<0}，B={x|−4≤x≤4}，求：
(1)A∪B；
(2)(∁UA)∩(∁UB)．
18.(本小题12分)
(1)已知f(x+1)=x2+4x+1，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)+3f(−x)=x2−2x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)−f(x)=2x+9．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象(如图所示)，请根据图象解答下列问题．
(1)作出x>0时，函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的增区间：
(2)求函数f(x)(x∈R)的解析式.(写出求解过程)
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在R上的奇函数，且f(1)=12．
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(1,+∞)上单调递减．
21.(本小题12分)
某车间生产一种仪器的固定成本是10000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：H(x)=400x−x2,0≤x≤20040000,x>200，其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益=总成本+利润)
22.(本小题12分)
设函数y=f(x)是定义域在R，并且满足f(x+y)=f(x)+f(y)，f(13)=1，且当x>0时，f(x)>0．
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)如果f(x)+f(2+x)<2，求x的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={−2,−1,0,1}，B={−1,0,1,2}，
则A∩B={−1,0,1}，
故选：D．
直接利用集合的交集运算求出即可．
考查集合的交集运算，基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知，命题“∃x∈R使得x2+3x+2<0”是存在量词命题，
所以其否定是∀x∈R，均有x2+3x+2≥0，
故选：B．
利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
本题考查命题的否定，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵函数f(x)=x−5,x>0x2,x≤0，
∴f(−3)=(−3)2=9，
f(f(−3))=f(9)=9−5=4．
故选：D．
求出f(−3)=(−3)2=9，从而f(f(−3))=f(9)，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
4.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)是奇函数，所以f(−2)=−f(2)=−(−2×22+2)=6．
故选：B．
利用奇函数的定义运算求解．
本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
由偶函数和增函数的定义，可得所求大小关系．
【解答】
解：因为函数y=f(x)为偶函数，所以a=f(−32)=f(32)，b=f(−1)=f(1)，
又函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增，由1<32<2，可得f(1)所以b故选：A．
6.【答案】A
【解析】解：∵y=|x|+1=x+1,x≥0−x+1,x<0，
∴A选项的图象符合．
故选：A．
分段去绝对值得出函数解析式即可得出图象．
本题主要考查函数图象的判断，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(−∞,0]上单调递增，且f(−1)=0，
∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，且f(1)=f(−1)=0，
∴当x∈(−∞,0]时，f(x)>0⇔0=f(−1)当x∈(0,+∞)时，f(x)>0⇔f(x)>f(1)=0⇔0综上所述，x的取值范围是(−1,1)．
故选：C．
使用函数的奇偶性和单调性进行求解即可．
本题考查函数的奇偶性，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：∵f(x1)−f(x2)x1−x2<0，
∴f(x)为减函数，
∴2−3a<0a>0(2−3a)×1+1≥a
∴23故选：B．
由f(x1)−f(x2)x1−x2<0确定单调性，再根据分段函数列不等式组即可得结果．
本题主要考查函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：A由图可知，0岁时体重为4kg，即赵红出生时的体重为4kg，A正确；
在25−50岁之间，赵红的体重没有变化，B错误；
50岁之后，体重有下降趋势，C错误；
0～15岁，体重平均每年增加45−415=4115kg，15～25岁，体重平均每年增加60−4525−15=32kg，D正确．
故选：AD．
根据年龄与体重的关系，结合选项分别判断即可．
本题主要考查了考生识别图形的能力，体现了数形结合思想的应用．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，f(x)=x3x的定义域为{x|x≠0}，g(x)=x2的定义域为R，故错误；
对于B，f(x)=|x|的定义域为R，g(x)= x2=|x|的定义域为R，故正确；
对于C，f(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，g(x)=1的定义域为R，故错误；
对于D，f(x)= 1+x× 1−x= 1−x2定义域为[−1,1]，
g(x)= 1−x2定义域为[−1,1]，故正确．
故选：BD．
利用函数的定义判断．
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于选项A，由−2≤x≤2不能推出−2所以−2≤x≤2是−2对于选项B，由−2所以−2对于选项C，由0所以0对于选项D，由1所以1故选：AB．
根据题意，利用必要不充分条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质等知识，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：由ab=9a+b，9b+1a=1，选项A错误；
ab=9a+b≥2 9ab，即ab≥6 ab，
当且仅当9a=b，a=2，b=18时取得等号，
所以ab≥36，选项B正确；
由ab=9a+b，得b=9aa−1，又b>0，得a>1，
且a2+b2≥2ab当且仅当a=b时取得等号，
所以a2+b2≥2ab≥2×36，
又因为上述过程可得ab≥36，当且仅当9a=b，时取得等号，
取等条件不一致，所以a2+b2>72，C正确；
a+b=(a+b)(9b+1a)=10+9ab+ba≥10+2 9ab⋅ba=16，
当且仅当9ab=ba，即b=3a也即a=4，b=12时取得等号，D正确．
故选：BCD．
利用基本不等式以及基本不等式“1”的妙用求解即可．
本题考查基本不等式的应用，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
13.【答案】[1,2)∪(2,+∞)
【解析】【分析】
本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题．
根据二次根式的被开方数非负以及分母不为零得到关于x的不等式组，解出即可．
【解答】
解：要使函数f(x)有意义，
则x−1≥0x−2≠0,
解得：{x|x≥1且x≠2}，
故答案为[1,2)∪(2,+∞)．
14.【答案】1
【解析】解：函数y=2x2−4x+3，二次函数的开口向上，对称轴为x=1，
且x∈[0,3]，
所以函数在[0,1]单调递减，在(1,3]上单调递增，
所以ymin=2−4+3=1．
故答案为：1．
根据二次函数的图像与性质即可求解．
本题考查二次函数的性质的应用，属于基础题．
15.【答案】(−∞,3]
【解析】解：∵函数f(x)=x2−2ax+2=(x−a)2+2−a2在区间[3,+∞)上是增函数，
∴a≤3．
故a的取值范围是(−∞,3]．
故答案为(−∞,3]．
利用二次函数的单调性即可得出．
熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．
16.【答案】[−1,0)∪(6,7]
【解析】解：由题意，x2−(m+3)x+3m=(x−3)(x−m)<0，
①若m>3，则不等式的解为：3因为不等式x2−(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个整数，
所以6②若m=3，则不等式无解，不满足题意；
③若m<3，则不等式的解为：m因为不等式x2−(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个整数，
所以−1≤m<0．
综上所述，实数m的取值范围为[−1,0)∪(6,7]．
故答案为：[−1,0)∪(6,7]．
结合已知条件，对参数进行分类讨论即可求解．
本题考查不等式的解法及其运用，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为A={x|x2−5x−6<0}=(−1,6)，且B={x|−4≤x≤4}=[−4,4]，
所以A⋃B=[−4,6)．
(2)由(1)知，A=(−1,6)，B=[−4,4]，
所以∁UA=(−∞,−1]⋃[6,+∞)，
∁UB=(−∞,−4)⋃(4,+∞)，
所以(∁UA)∩(∁UB)=(−∞,−4)⋃[6，+∞)．
【解析】(1)将集合A化简，结合并集的运算，即可得到结果；
(2)根据题意，由交集以及补集的运算，即可得到结果．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)令t=x+1，则x=t−1，
可得f(t)=(t−1)2+4(t−1)+1=t2+2t−2，
所以f(x)=x2+2x−2；
(2)因为f(x)+3f(−x)=x2−2x，可得f(−x)+3f(x)=(−x)2+2x，
即f(x)+3f(−x)=x2−2xf(−x)+3f(x)=x2+2x，消去f(−x)可得f(x)=14x2+x；
(3)设f(x)=kx+b，
因为3f(x+1)−f(x)=2x+9，即3k(x+1)+3b−kx−b=2x+9，
整理得2kx+3k+2b=2x+9，
所以2k=23k+2b=9，解得k=1b=3，
所以f(x)=x+3．
【解析】(1)根据题意利用换元法分析运算求解；
(2)根据题意利用构建方程组法运算求解；
(3)根据题意利用待定系数法运算求解．
本题考查求函数解析式，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，
作出x>0时，函数f(x)的图象如图所示：

由图可知，f(x)的增区间是(−1,0)，(1,+∞)．
(2)因为f(x)是偶函数，则f(−x)=f(x)，
由题意，当x≤0时，f(x)=x2+2x，
则当x>0时，−x<0，f(−x)=(−x)2−2x=f(x)，即f(x)=x2−2x，
所以f(x)=x2+2x,x≤0x2−2x,x>0．
【解析】(1)根据偶函数图象的对称性，作出x>0时函数f(x)的图象，再由图象写出f(x)的增区间；
(2)利用偶函数的定义求解析式即可．
本题主要考查函数的奇偶性和函数的图像，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=ax+b1+x2是定义在R上的奇函数，且f(1)=12，
由奇函数性质可得f(0)=b=0，f(1)=12a=12，
所以b=0，a=1，f(x)=x1+x2，经检验符合题意；
(2)证明：设10，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(1,+∞)上单调递减．
【解析】(1)结合已知f(1)=12及奇函数性质f(0)=0代入可求a，b，进而可求函数解析式；
(2)先设1本题主要考查了奇函数性质的应用，还考查了函数单调性定义的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)设月产量为x台，则总成本为t=10000+100x，
总收益满足函数：H(x)=400x−x2,0≤x≤20040000,x>200，
∵f(x)=H(x)−t，
∴利润f(x)=−x2+300x−10000,0≤x≤200−100x+30000,x>200．
(2)当0≤x≤200时，f(x)=−(x−150)2+12500，
∴f(x)max=f(150)=12500．
当x>200时，f(x)=−100x+30000在(200,+∞)上是减函数，
∴f(x)max∴当月产量为150台时，该车间所获利润最大，最大利润是12500元．
【解析】(1)设月产量为x台，则总成本为t=10000+100x，由f(x)=H(x)−t，能求出利润f(x)．
(2)当0≤x≤200时，f(x)=−(x−150)2+12500，f(x)max=f(150)=12500.当x>200时，f(x)=−100x+30000在(200,+∞)上是减函数，由此即可判断出结论
本题考查函数在生产生活中的具体运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
22.【答案】解：(1)令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0
(2)令y=−x，得 f(0)=f(x)+f(−x)=0，∴f(−x)=−f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数
(3)f(x)是R上的减函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x10
∴f(x2)−f(x1)=f(x2−x1+x1)−f(x1)=f(x2−x1)+f(x1)−f(x1)=f(x2−x1)>0
∴f(x1)故f(x)是R上的增函数，
令x=y=13，
∴f(23)=f(13)+f(13)=2，
∵f(x)+f(2+x)<2，
∴f(2+2x)∴2+2x<23，
解得x<−23，
故x的取值范围为(−∞,−23)
【解析】(1)赋值令x=y=0，则可求f(0)的值；
(2)令y=−x，结合f(0)的值，可得结论；
(3)利用单调性的定义，结合足f(x+y)=f(x)+f(y)，可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．
本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，考查赋值法的运用，确定函数的单调性是关键．