2023-2024学年福建省厦门一中海沧校区高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

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这是一份2023-2024学年福建省厦门一中海沧校区高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x|−1A. (−1,2)B. (−1,2]C. [0,1)D. [0,1]
2.下列函数中最小值为4的是( )
A. y=x2+2x+4B. y=|sinx|+4|sinx|
C. y=2x+22−xD. y=lnx+4lnx
3.已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)，则“f(x)在(0,π3)存在最大值点”是“ω=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=xsinx2|x|−1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1,0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当φ=2rad时，点M与点O之间的距离为( )
A. 1cs1B. 2sin1C. 2D. 5
6.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)( )
A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减
C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减
7.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则( )
A. f(−12)=0B. f(−1)=0C. f(2)=0D. f(4)=0
8.设a=78,b=cs12,c=2sin12，则( )
A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，与函数y=x是同一函数的是( )
A. 3x3B. x2C. lg10xD. 10lgx
10.已知函数f(x)=sinωx+ 3csωx(ω>0)满足：f(π6)=2，f(2π3)=0，则( )
A. 曲线y=f(x)关于直线x=7π6对称B. 函数y=f(x−π3)是奇函数
C. 函数y=f(x)在(π6,7π6)单调递减D. 函数y=f(x)的值域为[−2,2]
11.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图).现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则为负数)，若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为t(单位：秒)，已知cs48°≈23，则( )
A. d=2−3cs(π30t+θ)，其中csθ=23，且θ∈(0,π2)
B. d=3sin(π30t+θ)+2，其中sinθ=−23，且θ∈(−π2,0)
C. 大约经过38秒，盛水筒P再次进入水中
D. 大约经过22秒，盛水筒P到达最高点
12.已知x>0，y>0，且x+2y=xy.则下列选项正确的是( )
A. x+y的最小值为3+2 2B. 4x2+1y2的最小值为12
C. lg2x+lg2(2y)≥5D. 2−2y+x>4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某地中学生积极参加体育锻炼，其中有70%的学生喜欢足球或游泳，50%的学生喜欢足球，60%的学生喜欢游泳，则该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是______ ．
14.已知函数f(x)=tan(ωx−φ)(ω>0)的最小正周期为π3，写出满足“将函数f(x)的图象向左平移π12个单位后为奇函数”的φ的一个值______ ．
15.若方程sin(2x−π3)=13在(0,π)的解为x1，x2(x116.椭圆曲线y2+ay=x3+bx2+cx+d是代数几何中一类重要的研究对象.已知椭圆曲线C：y2=x3−3x+1，则C与x轴的交点个数n= ______ ；若f(x)=x2−2，C与x轴交点的横坐标从小到大排列为x1，x2，…，xn，则 ni=1(f(xi)−xi+1) ______ .(这里xn+1=x1，若n≥1，则 ni=1ai=a1a2…an；若n=0，则 ni=1ai=0)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0,π]的单调递减区间．
18.(本小题12分)
已知定义域为R的函数f(x)，满足对∀x，y∈R，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0．
(1)求证：f(x)在(−∞,+∞)单调递增；
(2)求关于x的不等式f(x2)−2f(x)19.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
(1)如果tanα=34，B点的横坐标为513，求cs(α+β)的值；
(2)设α+β的终边与单位圆交于C，AP，BQ，CR均与x轴垂直，垂足分别为P，Q，R，求证：以AP，BQ，CR的长为三条边长能构成三角形．
20.(本小题12分)
中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
设茶水温度从100℃开始，经过xmin后的温度为y℃，现给出以下三种函数模型：
①y=kx+b(k<0,x≥0)；
②y=kax+b(k>0,0③y=lga(x+k)+b(a>1,k>0,x≥0)．
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min的数据求出相应的解析式；
(2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.01)．
(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477.)
21.(本小题12分)
记△ABC的内角为A，B，C，已知2sinC−sin2C≥2 3sin2(A+B)．
(1)求C的取值范围；
(2)若csA1+sinA=sin2B1+cs2B，请用角C表示角A和角B．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x−t2x+t,g(x)=sinx，满足f(x)是奇函数，且不存在实数m，n使得f(m)=g(n)．
(1)求f(x)；
(2)若方程lnx=af(lg2x)恰有两个实根x1，x2(x1aeax2．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了并集及其运算，解题的关键是掌握并集的定义，属于基础题．
利用并集的定义求解即可．
【解答】
解：因为A={x|−1所以A∪B={x|−1故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，以及二次函数的性质，属于基础题．
由二次函数的性质可得A错误；由基本不等式求最值，由正弦函数的性质可知不等式取不到等号，故B错误；由基本不等式求出最值，可知 C正确；由lnx可取负值，可知D错误．
【解答】
解：对于A：y=x2+2x+4=(x+1)2+3，
当x=−1时，取最小值3，故A错误；
对于B：y=|sinx|+4|sinx|⩾2 |sin⁡x|·4|sin⁡x|=4，
当且仅当|sinx|=2时等式成立，
∵|sinx|最大值为1，故取不到等号，故B错误；
对于C：∵2x>0，22−x>0，
∴y=2x+22−x⩾2 2x·22−x=2 2x+2−x=4，
当且仅当2x=22−x，即x=1时取等号，故C正确；
对于D：lnx可取负值，故错误，
故选C．
3.【答案】B
【解析】解：f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)，
0“f(x)在(0,π3)存在最大值点”，等价于“π3ω+π3>π2”，等价于“ω>12”，
所以“f(x)在(0,π3)存在最大值点”是“ω=1”的必要不充分条件．
故选：B．
根据三角函数的最值、充分和必要条件等知识求得正确答案．
本题考查三角函数的最值的求法，充要条件的应用，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)=xsinx2|x|−1，其定义域为R，
由f(−x)=−xsin(−x)2|−x|−1=xsinx2|x|−1=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，
函数图象关于y轴对称，故排除C，D；
当x∈(0,π)时，sinx>0，2|x|−1>0，则f(x)>0，排除B．
故选：A．
首先判断奇偶性，再由区间(0,π)上的函数值，利用排除法判断即可．
本题考查函数奇偶性的判断及图象的大致画法，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：展开过程中：BM=AB=φ⋅R=2，
BO=1，MO= BM2+BO2= 5．
故选：D．
根据扇形的弧长公式和展开过程中的长度关系即可求解．
本题考查弧长公式，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．
求出x的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数t=|2x+12x−1|的单调性，由复合函数的单调性得答案．
【解答】
解：由2x+1≠02x−1≠0，得x≠±12．
又f(−x)=ln|−2x+1|−ln|−2x−1|
=−(ln|2x+1|−ln|2x−1|)=−f(x)，
∴f(x)为奇函数；
由f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|
=ln|2x+1||2x−1|=ln|2x+12x−1|，
∵2x+12x−1=2x−1+22x−1=1+22x−1
=1+22(x−12)=1+1x−12．
可得内层函数t=|2x+12x−1|的图象如图，
在(−∞,−12)上单调递减，在(−12,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减．
又对数函数y=lnt是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f(x)在(−∞,−12)上单调递减．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，
可得f(x+3)=f(1−x)，
因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，
所以，f(1−x)=−f(x+1)，
即f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，
∴f(x)=f(x+4)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，
故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知．
故选：B．
推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论．
本题考查了函数的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：如图所示：
在单位圆中，设∠AOB=x∈(0,π2)，则AB=x，
|BC|=sinx，|AT|=tanx，
因为|BC|因为S扇形AOB=12AB×1所以AB<|AT|，即x所以当x∈(0,π2)时，0所以cb=2sin12cs12=2tan12>2×12=1，则c>b；
b−a=cs12−78=1−2sin214−78>18−2×(14)2=0，
则b>a，
所以c>b>a．
故选：D．
先证明x∈(0,2)时，sinx本题考查单位圆，以及作差法和作商法比较大小的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：y=3x3=x，故A正确；
y= x2=|x|，故B错误；
y=lg10x=x，故C正确；
y=10lgx=x(x>0)，故D错误．
故选：AC．
根据已知条件，结合同一函数的定义，即可求解．
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：f(x)=2sin(ωx+π3)，所以函数y=f(x)的值域为[−2,2]，故D正确；
因为f(2π3)=0，所以2π3ω+π3=k1π,k1∈Z，所以ω=3k1−12,k1∈Z，
因为f(π6)=2，所以π6ω+π3=π2+2k2π,k2∈Z，所以ω=12k2+1，k2∈Z，
所以3k1−12=12k2+1，即k1=8k2+1，
所以ω∈{1,13,25,37,⋅⋅⋅}，
因为f(7π6)=2sin((12k2+1)7π6+π3)=2sin(14k2π+3π2)=−2，
所以曲线y=f(x)关于直线x=7π6对称，故A正确；
因为f(x−π3)=2sin((12k2+1)(x−π3)+π3)=2sin((12k2+1)x−4k2π)=2sin((12k2+1)x)，
即f(x−π3)=−f(−x−π3)，
所以函数y=f(x−π3)是奇函数，故B正确；
取ω=13，则最小正周期T=2πω=2π13<7π6−π6=π，故C错误．
故选：ABD．
用辅助角公式化简f(x)，再利用f(π6)=2,f(2π3)=0，得出ω的取值集合，再结合三角函数性质逐项判断即可．
本题主要考查了正弦函数奇偶性，单调性，值域及对称性的综合应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由题意知，如图，若O为筒车的轴心的位置，AC为水面，
P为筒车经过t秒后的位置，筒车的角速度ω=2π60=π30，
令∠POB=θ，则cs∠POB=csθ=23，且θ∈(0,π2)，
∴cs∠POB=cs(πt30+θ)=OBOP，故OB=OPcs(πt30+θ)，而d=2−OB，
∴d=2−3cs(π30t+θ)，其中csθ=23，且θ∈(0,π2)，∴sinθ= 53，
又d=2−3cs(π30t+θ)=2−3csπ30tcsθ+3sinπ30tsinθ=2−2csπ30t+ 5sinπ30t，
若θ∈(−π2,0)，且sinθ=−23，所以csθ= 53，
此时d=3sin(π30t+θ)+2=3sinπ30tcsθ+3csπ30tsinθ+2= 5sinπ30t−2csπ30t+2，
故d=3sin(π30t+θ)+2，其中sinθ=−23，且θ∈(−π2,0)，故A、B正确；
当t≈38时，38π30=180°+48°，且sin48°≈ 53，csθ=23，
d=2+3cs(48°+θ)=2+3(cs48°csθ−sin48°sinθ)=53，
故盛水筒P没有进入水中，C错误；
当t≈22时，22π30=90°+42°，且sin42°=cs48°≈23，
d=2−2cs(90°+42°)+ 5sin(90°+42°)=2+2sin42°+ 5cs42°=5，
故盛水筒P到达最高点，D正确．
故选：ABD．
若O为筒车的轴心的位置，AC为水面，P为筒车经过t秒后的位置，由题设知筒车的角速度ω=π30，令∠POB=θ，可求d的解析式，判断A、B的正误，t≈38、t≈22代入函数解析式求d，即可判断C、D的正误．
本题考查三角函数的图象及其应用，考查应用数学的能力，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：依题意，x>0，y>0，x+2yxy=1y+2x=1．
A选项，x+y=(x+y)(1y+2x)=3+2yx+xy≥3+2 2yx⋅xy=3+2 2，当且仅当x= 2y，即x=2+ 2，y=1+ 2时等号成立，所以A选项正确．
B选项，x+2y=xy≥2 x⋅2y, xy≥2 2,xy≥8，当且仅当x=2y=4时等号成立．
则0<4xy≤12,12≤1−4xy<1，
由x+2y=xy两边平方得x2+4y2+4xy=x2y2，即x2+4y2=x2y2−4xy，
所以4x2+1y2=x2+4y2x2y2=x2y2−4xyx2y2=1−4xy≥12，所以B选项正确．
C选项，lg2x+lg2(2y)=lg2(2xy)≥lg216=4，当且仅当x=2y，即y=2，x=4时取等号，所以C选项错误．
D选项，x>0，y>0，且x+2y=xy，若y=1，则x+2=x无解，
所以y≠1，则x(y−1)=2y,x=2yy−1>0，解得y>1，
所以2−2y+x=2+2yy−1−2y=2+2×y2−y+1y(y−1)
=2+2×y2−y+1y2−y=2+2×[1+1y(y−1)]，
由于y>1，所以y(y−1)>0，所以2−2y+x>2+2×1=4，D选项正确．
故选：ABD．
根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】80%
【解析】解：既喜欢游泳，又喜欢足球的人数有50%+60%−70%=40%，
所以该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是40%50%=80%．
故答案为：80%．
由题意，先求得既喜欢游泳，又喜欢足球的人数，从而求得正确答案．
本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于基础题．
14.【答案】π4(答案不唯一)
【解析】解：∵函数f(x)=tan(ωx−φ)(ω>0)的最小正周期为πω=π3，∴ω=3，f(x)=tan(3x−φ)．
将函数f(x)的图象向左平移π12个单位后，可得y=tan(3x+π4−φ)的图象．
故满足“将函数f(x)的图象向左平移π12个单位后为奇函数”的φ的一个值为π4．
故答案为：π4(答案不唯一)．
由题意，利用正切函数的图象和性质，三角函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查正切函数的图象和性质，三角函数的图象变换规律，属于中档题．
15.【答案】−4 29
【解析】解：由于0由于sin(2x−π3)=13>0，所以0<2x−π3<π，
根据正弦函数的性质可知2x1−π3+2x2−π32=x1+x2−π3=π2,x1+x2=5π6，
且0<2x1−π3<π2,π2<2x2−π3<π，cs(2x1−π3)= 1−19=2 23，
所以sin(2x1−2x2)=2sin(x1−x2)cs(x1−x2)
=2sin(x1−(5π6−x1))cs(x1−−(5π6−x1))
=2sin(2x1−5π6)cs(2x1−5π6)=2sin(2x1−π3−π2)cs(2x1−π3−π2)
=−2cs(2x1−π3)sin(2x1−π3)=−2×2 23×13=−4 29．
故答案为：−4 29．
先求得cs(2x−π3)，然后根据x1，x2的关系式以及二倍角公式求得sin(2x1−2x2).
本题考查二倍角公式，考查三角函数的性质，属于中档题．
16.【答案】3 −9
【解析】解：对于第一空：
设g(x)=x3−3x+1，
则g(−2)=−1<0，g(−1)=3>0，g(0)=1>0，g(1)=−1<0，g(2)=3>0，
又因为三次方程至多3个根，
所以x3−3x+1=0有三个实根−2即n=3；
对于第二空：
不妨设t是x3−3x+1=0的一个根，即t3−3t+1=0，
则t2−2=1−1t,3t−1=t3，
则(t2−2)3−3(t2−2)+1=(t−1)3t3−3(1−1t)+1
=t3−3t2+3t−1t3−3(1−1t)+1=2t3−3t2t3−3(1−1t)+1=0，
所以t2−2也是x3−3x+1=0的一个根，
因为−2所以x12−2=1−1x1>1,x22−2=1−1x2<0,x32−2=1−1x3∈(0,1)，
所以x12−2=x3,x22−2=x1,x32−2=x2，
即f(xi)=xi+2，(其中xi+3=xi，i=1，2，3)，
因为x3−3x+1=0恰有三个实根x1所以g(x)=x3−3x+1=(x−x1)(x−x2)(x−x3)，
所以(f(x1)−x2)(f(x2)−x3)(f(x3)−x1)=(x3−x32+2)(x1−x12+2)(x2−x22+2)
=−(−1−x3)(2−x3)(−1−x1)(2−x1)(−1−x2)(2−x2)=−g(−1)g(2)=−9，
即 ni=1(f(xi)−xi+1)=−9．
故答案为：3；−9．
首先由零点存在定理以及三次多项式最多3个根即可得出第一问的答案；再得出若t是x3−3x+1=0的一个根，则t2−2也是x3−3x+1=0的一个根，进一步f(xi)=xi+2，(其中xi+3=xi，i=1，2，3)，从而即可得解．
本题主要考查了函数零点判定定理的应用，考查了函数与方程的思想，属于难题．
17.【答案】解：(1)由图可知T2=5π6−π3=π2,T=π=2πω,ω=2，
所以f(x)=2cs(2x+φ)，f(π3)=2cs(2π3+φ)=0，
−π2<φ<π2,π6<2π3+φ<7π6，所以2π3+φ=π2,φ=−π6，
所以f(x)=2cs(2x−π6)．
(2)由(1)得f(x)=2cs(2x−π6)，
由2kπ≤2x−π6≤2kπ+π解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，
令k=0可得函数f(x)在[0,π]的单调递减区间为[π12,7π12]．
【解析】(1)根据图象求得ω，φ，也即求得f(x)的解析式．
(2)根据三角函数单调区间的求法求得f(x)在[0,π]的单调递减区间．
本题考查三角函数性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：定义域为R的函数f(x)，满足对∀x，y∈R，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，
设x1因为当x>0时，f(x)>0，又x2−x1>0，
所以f(x2−x1)>0，即f(x2)−f(x1)>0，
所以f(x)在(−∞,+∞)单调递增．
(2)化f(x2)−2f(x)因为f(x+y)=f(x)+f(y)，则原式可化为：
f(x2)+f(2a)因为f(x)在(−∞,+∞)单调递增，
所以x2+2a(x−2)(x−a)<0，令(x−2)(x−a)=0，x1=2，x2=a，
当a<2时，不等式的解集为(a,2)；
当a=2时，不等式解集为⌀；
当a>2时，不等式的解集为(2,a)．
【解析】(1)用定义法判断函数的单调性；
(2)化f(x2)−2f(x)本题考查抽象函数及其应用，考查转化与化归思想、分类讨论思想及运算能力，属于中档题．
19.【答案】(1)解：已知α是锐角，根据三角函数的定义，
得sinα=35，csα=45，又csβ=513，且β是锐角，所以sinβ=1213，
所以cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=45×513−35×1213=−1665．
(2)证明：由三角函数的定义得，AP=sinα，BQ=sinβ，CR=sin(α+β)，

因为α，β∈(0,π2)，所以csα∈(0,1)，csβ∈(0,1)，
于是有sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ又因为α+β∈(0,π)，所以−1sinα=sin((α+β)−β)=sin(α+β)⋅csβ−cs(α+β)⋅sinβ同理，sinβ由①，②，③可得，以AP，BQ，CR的长为三边长能构成三角形．
【解析】(1)利用两角和差公式计算即可；
(2)由α，β，α+β范围，得csα∈(0,1)，csβ∈(0,1)，−1本题考查两角和差公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢，
故选②y=kax+b(k>0,0且100=ka0+b92=ka1+b84.80=ka2+b，k+b=100ka+b=92ka2+b=84.80，
解得a=910,k=80,b=20，
∴y=80×(910)x+20；
(2)由y=80×(910)x+20=60，得(910)x=12，
两边取以10为底的对数得：xlg910=lg12,x(lg9−1)=−lg2，
∴x=lg21−2lg3≈0.3011−2×0.477≈6.54min．
答：最佳饮用口感的放置时间为6.54min．
【解析】(1)根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式；
(2)根据已知条件列方程，化简求得正确答案．
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)依题意2sinC−sin2C≥2 3sin2(A+B)，
即2sinC−2sinCcsC≥2 3sin2C，
由于00，
所以1−csC≥ 3sinC，2sin(C+π6)≤1,sin(C+π6)≤12，
由于π6所以C的取值范围是[2π3,π)．
(2)csA1+sinA=sin2B1+cs2B=2sinBcsB2cs2B=sinBcsB，
csAcsB=sinB+sinAsinB，cs(A+B)=sinB，
所以−csC=sinB,sin(C−π2)=sinB，
由于π6≤C−π2<π2,0由于A+B+C=A+C−π2+C=A+2C−π2=π，
所以A=3π2−2C．
【解析】(1)根据三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得C的取值范围．
(2)根据三角恒等变换的知识可求得正确答案．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，考查三角恒等变换的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=2x−t2x+t，且f(x)是奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，即2−x−t2−x+t=−2x−t2x+t，所以1−t⋅2x1+t⋅2x=−2x−t2x+t，
所以(1−t⋅2x)(2x+t)=−(1+t⋅2x)(2x−t)，
所以2x+t−t⋅22x−t2⋅2x=−2x+t−t⋅22x+t2⋅2x，
所以2x−t2⋅2x=−2x+t2⋅2x，即2×2x=2t2⋅2x，所以1=t2，
解得t=±1，
当t=1时，f(x)=2x−12x+1，
因为g(x)=sinx，存在f(0)=g(0)=0，不满足题意，
当t=−1时，f(x)=2x+12x−1=2x−1+22x−1=1+22x−1，当x>0时，1+22x−1>1，
此时f(x)>g(x)，满足题意，所以t=−1．
(2)由(1)得，f(x)=2x+12x−1，所以f(lg2x)=x+1x−1，
所以方程lnx=af(lg2x)恰有两个实根转化为lnx=a⋅x+1x−1恰有两个实根，
转化为a=(x−1)lnxx+1，令p(x)=(x−1)lnxx+1，
所以p′(x)=(lnx+x−1x)(x+1)−(x−1)lnx(x+1)2=2lnx+x−1x(x+1)2，
令h(x)=2lnx+x−1x，
所以h′(x)=2x+1+1x2=(x+1)2x2>0，所以h(x)=2lnx+x−1x单调递增，
因为h(1)=0，所以当x∈(0,1)时，h(x)<0，即p′(x)<0，p(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，h(x)>0，即p′(x)>0，p(x)单调递增，
所以p(x)min=p(1)=0，
因为a=(x−1)lnxx+1有两个不等实数根，所以a>0．
证明：因为两个实根x1，x2(x1因为a=(x1−1)lnx1x1+1=(x2−1)lnx2x2+1，
所以(x1+1)(x2−1)lnx2=(x2+1)(x1−1)lnx1，
整理得：lnx2x1(1−x1x2)+(x1−x2)ln(x1x2)=0，
因为0要证lnx2x1g(x1)>aeax2成立，只需证lnx2x1sinx1>aeax2成立，即证lnx2>aeax1x2sinx1，
由x1x2=1得，即证ln1x1>aeasinx1⇒−lnx1>aeasinx1，
只需证lnx1sinx1<−aea⇒aea⋅sinx1+lnx1<0，
设函数q(x)=aea⋅sinx+lnx，x∈(0,1)，a=(x1−1)lnx1x1+1，
因为q(x)=aea⋅sinx+lnx为增函数，且当x=1时，a=0，
所以q(x)【解析】(1)利用奇函数性质f(−x)=−f(x)求解；
(2)先将方程lnx=af(lg2x)化简，分参，将函数零点转化为函数图象交点问题，再利用根和函数性质得到x1x2=1，消元证明不等式．
本题考查函数的性质与应用，考查逻辑推理能力及运算能力，属于难题．时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
100.00
92.00
84.80
78.37
72.53
67.27

2023-2024学年福建省厦门一中海沧校区高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

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