2023-2024学年安徽省阜阳三中高二（上）第二次调研数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省阜阳三中高二（上）第二次调研数学试卷（12月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.与椭圆C：x225+y216=1共焦点且过点P(2, 2)的双曲线的标准方程为( )
A. x216−y27=1B. x26−y23=1C. x23−y26=1D. x29−y216=1
2.设数列{an}是公比为q的等比数列，|q|>1.若数列{an}的连续四项构成集合{−3,−48,12,192}，则公比q为( )
A. 16B. 4C. −4D. −16
3.已知直线l1：2x+(m+1)y−2=0与直线l2：mx+3y+3=0平行，则m的值为( )
A. 2B. 3C. 2或−3D. −2或3
4.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M为A1C1的中点，若AB=a，BC=b，AA1=c，则BM可表示为( )
A. −12a+12b+c
B. 12a+12b+c
C. −12a−12b+c
D. 12a−12b+c
5.已知P为抛物线y=14x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|+|PM|的最小值是( )
A. 2B. 5C. 5−1D. 3−1
6.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0)，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y=32 2与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则△ABF的面积是( )
A. 3( 2+1)2B. 94( 2+1)C. 2+1D. 92( 2+1)
7.已知数列{an}通项公式为an=3n2−2tn+2,n≤84n+94,n>8，若对任意n∈N*，都有an+1>an则实数t的取值范围是( )
A. t∈[3,+∞)B. t∈(4,92)C. t∈(174,92)D. t∈(174,+∞)
8.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼⋅闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的曼哈顿距离为：d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|.已知点M在圆O：x2+y2=1上，点N在直线l：3x+y−9=0上，则d(M,N)的最小值为( )
A. 9 1010B. 9 1010−1C. 18−2 105D. 3− 103
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中不正确的是( )
A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大
B. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)
C. 过点(1,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为x−y+1=0
D. 若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα
10.在三棱锥A−BCD中，∠BAC=∠DBC=90°，A−BC−D是直二面角，DC=2BD，AB=AC，如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. BD⋅AC=0
B. 平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直
C. 异面直线BC与AD所成的角为60°
D. 直线DC与平面ABC所成的角为30°
11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线Γ：y2=x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(4116,1)射入，经过Γ上的点A(x1,y1)反射后，再经Γ上另一点B(x2,y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则( )
A. y1y2=−1
B. |AB|=2516
C. PB平分∠ABQ
D. 延长AO交直线x=−14于点C，则C，B，Q三点共线
12.设数列A：a1，a2，⋯，an(n≥2)，如果0A. 数列2，6，14，22是E数列
B. 若数列A是E数列，且an=2023，则n的最小值为3
C. 若数列A是E数列，且an=2024，则a1为奇数
D. 若数列A是E数列，且a1=2，则存在n，使an=2023
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.圆x2+y2−8=0与圆x2+y2−3x+4y−18=0的公共弦的长为______ ．
14.在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA′的长为3，且∠A′AB=∠A′AD=60°，则AC′⋅AB为______ ．
15.已知数列{an}满足an=2n，在an和an+1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，⋯，则数列{bn}的前20项的和为______ ．
16.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，圆O：x2+y2=94(a2+b2)，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点.若四边形AMBN的面积为9b2，则C的离心率为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知首项为1的正项等比数列{an}，且3a1，a3，5a2成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Sn+an>1012，求n的最小值．
18.(本小题12分)
某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为1米，在其南面有一条东西走向的观景直道(图中用实线表示)，建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道(图中用虚线表示)，观景直道与辅道距离52米.在建筑物底面中心O的北偏东45°方向5 2米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：
(1)在西辅道上与建筑物底面中心O距离2米处的游客，是否在摄像头监控范围内？
(2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度．
19.(本小题12分)
如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=2，正四棱锥P−ABCD的体积为83，点M为PC的中点，点N为BD的中点．
(1)求证：MN/​/平面PAD；
(2)求二面角P−BM−N的余弦值．
20.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=2，且a1a2a3…an=n+l(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=nan2n，且数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn+λn+1≥3恒成立，求实数λ的取值范围．
21.(本小题12分)
双曲线C经过A(4, 3),B( 5,−12)两点.过点D(3,0)的直线l1与双曲线C交于P，Q，过点D(3,0)的直线l2与直线x=1相交于点S且l1⊥l2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若|PQ|=2 63|SD|，求直线l1的斜率．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，且右焦点F到直线l：x=−a2c的距离为6 3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆C上的任一点M(x0,y0)，从原点O向圆M：(x−x0)2+(y−y0)2=8引两条切线，设两条切线的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，
(i)求证：k1k2为定值；
(ii)当两条切线分别交椭圆于P，Q时，求证：|OP|2+|OQ|2为定值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为椭圆C的焦点坐标为(± 25−16,0)，即(±3,0)，所以c=3，
记F1(−3,0)，F2(3,0)，所以||PF1|−|PF2||=| 25+2− 1+2|=2 3=2a，
所以a= 3，所以b= c2−a2= 6，
所以双曲线的标准方程为x23−y26=1．
故选：C．
根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出2a的值，结合c2=a2+b2可求b的值，则双曲线方程可求．
本题主要考查双曲线的标准方程，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意等比数列{an}的连续四项构成集合{−3,−48,12,192}，
则可知等比数列的项一定为正负相间，公比为负，由于|q|>1，
故后一项绝对值大于前一项的绝对值，
故集合{−3,−48,12,192}中的这四个数在数列中排列为−3，12，−48，192，
则q=12−3=−4．
故选：C．
根据等比数列的知识求得题目所给4项的排列顺序，从而求得公比q．
本题考查等比数列性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，由两直线平行可得m(m+1)−2×3=0，即m2+m−6=0，解得m=2或m=−3；
经检验m=−3时，两直线重合，不合题意；
所以m=2．
故选：A．
由两直线平行的条件求解．
本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：根据三棱柱，BM=BB1+B1M==AA1+12B1A1+12B1C1=c−12a+12b．
故选：A．
直接利用三棱柱的性质特点和向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：三棱柱的性质，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设抛物线x2=4y的焦点为F(0,1)，
则|PM|=|PF|−1，
∴|PA|+|PM|=|PA|+|PF|−1≥|AF|−1= 22+12−1= 5−1，当且仅当三点A，P，F共线时取等号，
∴|PA|+|PM|的最小值是 5−1．
故选：C．
利用抛物线的定义可得|PM|=|PF|−1，根据三角形三边大小关系可得|PA|+|PM|=|PA|+|PF|−1≥|AF|−1，即可得出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及定义、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0)，可得半圆的方程为x2+y2=9(x≤0)，
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0,x≥0)，则b=c=3，所以a2=b2+c2=18，
故椭圆方程为x218+y29=1(x≥0)，直线y=32 2与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，
设A(x1,32 2)，则x12+(32 2)2=9，所以x1=−32 2，设B(x2,32 2)，则x2218+(32 2)29=1，所以x2=3，
故|AB|=3+32 2,S△ABF=12⋅|AB|⋅32 2=94( 2+1)．
故选：B．
求解圆的方程，求解椭圆方程，然后求解A、B坐标，即可求解三角形的面积．
本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，数列{an}通项公式为an=3n2−2tn+2,n≤84n+94,n>8，
当1≤n≤7时，an=3n2−2tn+2，
若对任意n∈N*，都有an+1>an，an+1−an=3(n+1)2−2t(n+1)+2−3n2+2tn−2>0，
变形可得：2t<6n+3，
又由n≥1且n∈Z，则有2t<9，即t<92，
当n=8时，an+1−an=a9−a8=130−(194−16t)=16t−64>0，解可得t>4，
当n>8时，an=4n+94，有an+1−an=4，满足an+1>an，
综合可得：4故选：B．
根据题意，结合数列的通项公式，分1≤n≤7、n=8、n>8三种情况求出满足an+1>an的t的取值范围，综合可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性和通项公式，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点M作平行于x轴的直线MB交直线l于点B，
过点N作NA⊥MB于点A，d(M,N)表示MA+NA的长度，
因为直线l的方程为3x+y−9=0，
即直线的斜率为−3，设其倾斜角为α，则tanα=−3，
因为α+∠NBA=π，所以tan∠NBA=tan(π−α)=−tanα，
所以tan∠NBA=3,NAAB=3，
即NA=3AB，
d(M,N)=MA+3AB=MB+2AB，
当固定点M时，MB为定值，此时AB为零时，d(M,N)最小，即MN平行于x轴，
所以当OM垂直直线l时，d(M,N)最小，
如图所示，此时，|MT|=9 32+1−1=9 1010−1，
根据直线l的斜率为−3，
得sin∠TNM=3 1010，
所以d(M,N)=MN=9 1010−13 1010=3− 103，故D正确．
故选：D．
过点M作平行于x轴的直线MB交直线l于点B，过点N作NA⊥MB于点A，d(M,N)表示MA+NA的长度，当固定点M时，MB为定值，此时AB为零时，d(M,N)最小，即可求出最小值．
本题考查直线和圆的方程的应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，若直线倾斜角大于90°，则直线的斜率存在负值，故A错误；
直线xsinα+y+2=0的倾斜角为θ，则tanθ=−sinα∈[−1,1]，
因为0≤θ<π，所以θ∈[0,π4]∪[3π4,π)，故B正确；
对于C，设直线与x轴交点为(a,0)，则与y轴交点为(0,−a)，
当a=0时，直线过原点，斜率为2−01−0=2，故方程为2x−y=0；
当a≠0时，直线的斜率−a−00−a=1，
故直线方程为y−2=x−1，即x−y+1=0，故C错误；
直线斜率定义为倾斜角的正切值，但不能是tan90°，故D错误．
故选：ACD．
利用倾斜角与斜率的关系及截距的定义一一判定选项即可．
本题考查的知识要点：直线的方程，直线的倾斜角和斜率，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：由题意知，平面ABC⊥平面BCD，∠DBC=∠BAC=90°，
选项A，因为BD⊥BC，平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
BD⊂平面BCD，所以BD⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，所以BD⊥AC，即BD⋅AC=0，故A正确；
选项B，因为平面ABC⊥平面BCD，
所以平面ABC的法向量与平面BCD的法向量垂直，
而平面ABC与平面ACD相交，并不平行，
所以平面BCD的法向量与平面ACD的法向量不垂直，即B错误；
选项C，设AB=AC=1，则BC= 2，BD= 23，
所以BC⋅AD=BC⋅(BD−BA)=BC⋅BD−BC⋅BA=0− 2×1×cs45°=−1，
在Rt△ABD中，AD= AB2+BD2= 1+23= 153，
所以cs=BC⋅AD|BC|⋅|AD|=−1 2× 153=− 3010，
由于异面直线所成角的取值范围为(0,π2],
故异面直线BC与AD所成的角余弦值为 3010，
对应的角显然不可能为60°，即C错误；
选项D，由选项A知，BD⊥平面ABC，
所以∠BCD即为直线DC与平面ABC所成的角，
而∠BCD=30°，故D正确．
故选：AD．
选项A，由BD⊥BC，平面ABC⊥平面BCD，推出BD⊥平面ABC，即BD⊥AC；选项B，由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC与平面ACD不平行，可判断；选项C，根据cs=BC⋅AD|BC|⋅|AD|，计算即可；选项D，易知∠BCD即为直线DC与平面ABC所成的角，得解．
本题考查空间线线关系、线面关系的判定，考查异面直线所成角及线面角，属中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为l1/​/x轴，且l1过点P(4116,1)，
所以y1=1，
把y=1代入抛物线的方程y2=x，
解得x=1，即A(1,1)，
由题知，直线AB经过焦点(14,0)，
直线AB的方程为y−1=1−01−14(x−1)，即4x−3y−1=0，
联立4x−3y−1=0y2=x，得4y2−3y−1=0，
所以y1+y2=34，y1y2=−14，
对于A：y1y2=−14，与y1y2=−1矛盾，故A错误；
对于B：|AB|= 1+1k2|y1−y2|= 1+1(43)2 (y1+y2)2−4y1y2
=54⋅ (34)2−4×(−14)=2516，故B正确；
对于C：|AP|=4116−1=2516=|AB|，
所以∠APB=∠ABP，
由光学性质可知AP//x轴，BQ//x轴，
所以AP//BQ，
所以∠APB=∠PBQ，
所以∠ABP=∠PBQ，
所以PB平分∠ABQ，故C正确；
对于D：因为y1=1，y1+y2=14，
所以y2=−14，
直线AO的方程为y=x，
联立y=xx=−14，解得x=−14y=−14，
所以C点坐标为(−14,−14)，
所以C，B，Q三点纵坐标都相同，
所以C，B，Q三点共线，故D正确．
故选：BCD．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由l1/​/x轴，且l1过点P(4116,1)，推出A点坐标，写出直线AB的方程，并联立抛物线的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，即可判断A是否正确；由弦长公式计算出|AB|，即可得出B是否正确；计算得|AP|=|AB|，推出∠APB=∠ABP，由光学性质可知AP//BQ，则∠APB=∠PBQ，进而可得PB平分∠ABQ，即可判断C是否正确；解得C点坐标，推出C，B，Q三点纵坐标都相同，即可判断D是否正确．
本题考查抛物线的应用，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：对于选项A，因为a2=a1+a1+a1=6，a3=a1+a2+a2=2+6+6=14，a4=a1+a2+a3=2+6+14=22，所以是E数列，故选项A正确；
对于选项B，首先证明n不能为2，
假设n=2，由数列A为E数列知，a2=a1+a1+a1=3a1=2023，
所以a1=20233∉N*，与已知矛盾，
故假设不成立．所以n不能为2，
因为数列A：289，867，2023，
满足a2=a1+a1+a1=3a1=867，a3=a1+a2+a2=289+867+867=2023，
此时A是E数列，所以n的最小值为3，故选项B正确；
对于选项C，以下证明：若a1为奇数，则an必为奇数．假设数列A中存在偶数，
设ak(k≥2)是数列A中第一个偶数，因为数列A是E数列，
所以∃1≤s≤t≤r≤k−1，使ak=as+at+ar，
因为as，at，ar均为奇数，
所以ak也为奇数，与ak为偶数矛盾．所以若a1为奇数，则an必为奇数，
因为an=2024为偶数，所以a1不能为奇数，只能为偶数，故选项C错误；
对于选项D，以下证明：若a1=2，则an=4p+2(p∈N).若不然，
设ak(k≥2)为第一个满足ak≠4p+2(p∈N)的项，
因为数列A是E数列，
所以∃1≤s≤t≤r≤k−1，使ak=as+at+ar，
因为as=4p1+2，at=4p2+2，ar=4p3+2(p1,p2,p3∈N)，
所以ak=4(p1+p2+p3+1)+2，与ak≠4p+2(p∈N)矛盾，
所以若a1=2，则an=4p+2(p∈N).而an=2023≠4p+2(p∈N)，故选项D错误．
故选：AB．
根据E数列的性质，结合假设法、奇数的性质逐一判断即可．
本题主要考查了数列中的新定义问题，本题的关键是明确E数列的性质，利用假设法进行求解，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：将圆x2+y2−8=0与圆x2+y2−3x+4y−18=0相减可得3x−4y+10=0，
即两圆的公共弦所在的直线方程为3x−4y+10=0，
又圆x2+y2−8=0圆心O到直线3x−4y+10=0的距离d=|10| 32+42=2，
圆x2+y2=8的半径为2 2，所以公共弦长为2 (2 2)2−d2=2 (2 2)2−22=4．
故答案为：4．
将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆x2+y2=8的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长．
本题考查的知识要点：圆的方程，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14.【答案】7
【解析】解：如图，
因为|AB|=|AD|=2,|AA′|=3,∠A′AB=∠A′AD=60°，所以AB⋅AA′=2×3×cs60°=3，AB⋅AD=2×2×cs90°=0，
所以AC′⋅AB=(AB+AD+AA′)⋅AB=|AB|2+AD⋅AB+AA′⋅AB=4+0+3=7．
故答案为：7．
根据已知条件，结合空间向量的数量积运算法则，即可求解．
本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
15.【答案】77
【解析】解：在an，an+1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，⋯，
所以共有n+[1+2+⋯+(n−1)]=n+(n−1)(1+n−1)2=12(n2+n)个数，
当n=5时，12×(52+5)=15，当n=6时，12×(62+6)=21，
由于an=2n，所以S20=(a1+a2+⋯+a5)+(20−5)×1=2(1−25)1−2+15=77．
故答案为：77．
先根据题意得到数列有多少个数，再根据an=2n即可计算数列{bn}的前20项的和．
本题考查的知识要点：数列的求和公式和通项公式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】2 105
【解析】解：根据对称性不妨设点P在第一象限，
如图所示，设|PF1|=n，|PF2|=m，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，
则有n−m=2a，n2+m2=4c2，可得mn=2b2，
过O作MN的垂线，垂足为D，O为F1F2的中点，
圆O：x2+y2=94(a2+b2)，圆心为O(0,0)，半径为3c2，
则|OD|=12|PF1|=n2,|MN|=2 (3c2)2−(n2)2，
同理，|AB|=2 (3c2)2−(m2)2，
由AB⊥MN，四边形AMBN的面积为12|AB|⋅|MN|=12×2 (3c2)2−(m2)2×2 (3c2)2−(n2)2=9b2，
化简得c2=83b2，则有a2=c2−b2=53b2，
则C的离心率e=ca= 8 5=2 105．
故答案为：2 105．
由双曲线的定义和离心率公式，结合圆的方程和性质、四边形的面积公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线和圆的方程和性质，以及四边形的面积，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设等比数列{an}的公比为q>0，且a1=1，
因为3a1，a3，5a2成等差数列，则2a3=3a1+5a2，
即：2q2−5q−3=0，解得q=3或q=−12(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an=3n−1,n∈N*．
(2)由(1)得：an=3n−1，
Sn=a1(1−qn)1−q=1×(1−3n)1−3=3n−12,n∈N*，
所以Sn+an=3n−12+3n−1=52×3n−1−12>1012，
整理可得5×3n−1>2025，3n−1>405，36−1=243<405，37−1=729>405，
故n的最小值为7．
【解析】(1)根据等差数列的性质列方程求得公比q后可得通项公式；
(2)求出前n项和Sn后解不等式可得．
本题考查等比数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设O为原点，正东方向为x轴，建立平面直角坐标系，
因为OA=5 2,∠AOx=45°，则A(5,5)，
依题意，游客所在位置为B(−2,0)，
则直线AB的方程为5x−7y+10=0，
所以圆心O到直线AB的距离d=|10| 25+49=10 74>10 100=1，
所以直线AB与圆O相离，所以游客在该摄像头的监控范围内；
(2)由图可知，过A的直线与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，
所以设直线l过点A且和圆相切，

若直线l垂直于x轴，则直线l不会和圆相切，；
若直线l不垂直于x轴，则可设l：y−5=k(x−5)，
整理得：kx−y+5−5k=0，
所以圆心O到直线l的距离|5−5k| k2+1=1，解得k=43或k=34，
所以l：y−5=34(x−5)或y−5=43(x−5)，
整理得3x−4y+5=0或4x−3y−5=0，
设两条直线与观景直道所在直线y=−52的交点为D，E，
由3x−4y+5=0y=−52，解得x=−5，即D(−5,−52)，
由4x−3y−5=0y=−52，解得x=−58，即E(−58,−52)，
所以|DE|=|−58−(−5)|=358=4.375，
故观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为4.375米．
【解析】(1)先结合题意建立直角坐标系，写出A，B的坐标，进而可求直线AB的方程，然后结合点到直线的距离公式即可判断；
(2)对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，然后结合点到直线的距离公式可求直线方程，进而可求D，E的坐标，即可求得．
本题主要考查了直线与圆位置关系的应用，点到直线距离公式的应用，体现了分类讨论思想的应用，属中档题．
19.【答案】解：(1)证明：在正四棱锥P−ABCD中，连接AC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC∩BD=N，∴N为AC的中点，
又点M为PC的中点，
∴MN为△APC的中位线，
∴MN//AP，又MN⊄平面PAD，AP⊂平面PAD，
∴MN/​/平面PAD；
(2)以N为坐标原点，建立空间直角坐标系N−xyz，如图所示，

∵正四棱锥P−ABCD的体积为83，
∴正四棱锥P−ABCD的体积=13×2×2×PN=83，∴PN=2，
∴P(0,0,2),C(− 2,0,0),B(0, 2,0),M(− 22,0,1)，
BM=(− 22,− 2,1),BP=(0,− 2,2)，BM=(− 22,− 2,1),NB=(0, 2,0)，
设平面BMP的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，
则n1⋅BM=− 22x1− 2y1+z1=0n1⋅BP=− 2y1+2z1=0，取n1=(− 2, 2,1)．
设平面BMN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，
则n2⋅BM=0n2⋅NB=0，即− 22x2− 2y2+z2=0 2y2=0，取n2=(2,0, 2)．
设二面角P−BM−N的所成的角为θ，
则csθ=cs〈n1,n2〉=n1⋅n2|n1||n2|=− 2 6 5=− 1515，
∴二面角P−BM−N的余弦值为− 1515．
【解析】(1)利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；
(2)根据已知条件建立空间直角坐标系，利用棱锥的体积公式，求出PN及相关点的坐标，分别求出平面PBM和平面BMN的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与二面角的关系即可求解．
本题考查线面平行的证明，向量法求解二面角问题，化归转化思想，属中档题．
20.【答案】解：(1)∵a1a2a3…an=n+l，
∴a1a2a3…an−1=n，(n≥2)，
两式相除可得an=n+1n，(n≥2)，
又a1=2，也满足上式，
∴an=n+1n；
(2)由(1)可知bn=nan2n=n+12n，
∴Sn=221+322+⋅⋅⋅+n+12n①，
∴12Sn=222+323+⋅⋅⋅+n2n+n+12n+1②，
①−②可得12Sn=1+122+123+⋅⋅+12n−n+12n+1
=12+12(1−12n)1−12−n+12n+1=32−n+32n+1，
∴Sn=3−n+32n，
又Sn+λn+1≥3恒成立，
即3−n+32n+λn+1≥3恒成立，
∴λ≥(n+1)(n+3)2n恒成立，
设f(n)=(n+1)(n+3)2n，n∈N*，
∵f(n+1)−f(n)
=(n+2)(n+4)2n+1−(n+1)(n+3)2n
=−(n+1)2+32n+1<0，
∴f(n)单调递减，
∴f(n)的最大值为f(1)=4，
∴λ≥4，
∴实数λ的取值范围为[4,+∞)．
【解析】(1)根据数列前n项积作商，即可求解；
(2)根据错位相减法，数列的单调性，即可求解．
本题考查根据数列前n项积作商求通项公式，错位相减法求和，数列的单调性，恒成立问题，属中档题．
21.【答案】解：(1)不妨设双曲线方程为mx2−ny2=1，
因为双曲线C经过A(4, 3),B( 5,−12)两点，
所以16m−3n=15m−14n=1，
解得m=14n=1，
所以双曲线的方程为x24−y2=1；
(2)已知过点D(3,0)的直线l1与双曲线C交于P，Q，过点D(3,0)的直线l2与直线x=1相交于点S，
当直线斜率不存在时PQ= 5，SD=2，
此时不满足不符合|PQ|=2 63|SD|，
所以直线斜率存在，
不妨设直线l1的方程为y=k(x−3)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立y=k(x−3)x24−y2=1，消去y整理得(1−4k2)x2+24k2x−36k2−4=0，
此时Δ>0，
由韦达定理得x1+x2=24k24k2−1，x1x2=36k2+44k2−1，
所以PQ= 1+k2|x1−x2|= 1+k2×4 5k2+1|4k2−1|，
因为l1⊥l2，
所以l2：y=−1k(x−3)，
此时SD= 1+1k2×2=2 k2+1|k|，
若|PQ|=2 63|SD|，
此时2 632 k2+1|k|=4 k2+1× 5k2+1|4k2−1|，
整理得(k2−1)(17k2−2)=0，
解得k=±1或k=± 3417，
当k=±1或k=± 3417时，其满足Δ>0，
所以k=±1或k=± 3417．
【解析】(1)由题意，设出双曲线的方程，将A，B两点代入所设方程中，进而可得双曲线C的方程；
(2)对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，设出直线l1的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得PQ的表达式，根据l1⊥l2，设出直线l2的方程，得到SD的表达式，根据|PQ|=2 63|SD|，列出等式即可求出直线l1的斜率．
本题考查双曲线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：(1)因为椭圆C的离心率为 22，且右焦点F到直线l：x=−a2c的距离为6 3，
所以ca= 22c+a2c=6 3b2=a2−c2，
解得a=2 6,c=2 3,b=2 3，
则椭圆C的方程为x224+y212=1；
(2)(i)证明：依题意，两条切线方程分别为y=k1x，y=k2x，
因为|k1x0−y0| 1+k12=2 2，
所以(x02−8)k12−2x0y0k1+y02−8=0，
同理得(x02−8)k22−2x0y0k2+y02−8=0，
则k1，k2是方程(x02−8)k2−2x0y0k+y02−8=0的两个不相等的实数根，
此时k1k2=y02−8x02−8，
因为点M为椭圆上一点，
所以x0224+y0212=1，
即y02=12−12x02，
故k1k2=12−12x02−8x02−8=−12(x02−8)x02−8=−12；
(ii)证明：由(i)得k1k2=−12，
不妨设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
此时y1x1⋅y2x2=−12，
即y12y22=14x12x22，
因为P，Q两点在椭圆上，
所以x1224+y1212=1x2224+y2212=1，
即y12=12−12x12y22=12−12x22，
此时(12−12x12)(12−12x22)=14x12x22，
整理得144−6(x12+x22)+14x12x22=14x12x22，
解得x12+x22=24，
则y12+y22=12−12x12+12−12x22=24−12(x12+x22)=24−12×24=12，
故|OP|2+|OQ|2=x12+y12+x22+y22=36为定值．
【解析】(1)由题意，直接列出关于a，b，c的方程组求解；
(2)(i)写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径可以得出k1，k2与x0，y0的关系，从而得出k1，k2是某个一元二次方程的解，利用韦达定理可得；
(ii)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，利用k1k2=−12及椭圆方程求得x12+x22，再求得y12+y22后可得|OP|2+|OQ|2．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．