猜题02 圆与方程-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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题型二：直线与圆的位置关系的判断
题型三：切线问题
题型四：切点弦问题
题型五：圆内接三角形与四边形面积问题
题型六：轨迹问题
题型七：圆与圆的位置关系的判断
题型八：公共弦问题
题型九：公切线问题
题型十：圆中范围与最值问题
题型十一：定点定值问题
题型一：圆的方程
1．（2023·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）以圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，所求圆的圆心为，
因为圆经过坐标原点，所以所求圆的半径为，
所以所求圆的方程为.
故选：A.
2．（2023·陕西榆林·高二校联考期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圆经过点，，
可得线段的中点为，又，
所以线段的中垂线的方程为，
即，
由，解得，
即，圆的半径，
所以圆的方程为.
故选：A.
3．（2023·云南临沧·高二校考期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称，
得到直线与垂直，
结合的斜率为1，得直线的斜率为，
所以，化简得①
再由的中点在直线上，，化简得②
联立①②，可得，
所以圆心的坐标为，
所以半径为3的圆的标准方程为.
故选：C
4．（2023·湖南·高二校联考期末）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题得是直角三角形，且.
所以的外接圆的圆心就是线段的中点，
由中点坐标公式得.
故选：C
5．（2023·河南驻马店·高二统考期末）以，为直径两端点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，
的中点坐标为，
以为直径的圆的圆心为，又，
圆的半径为1，
以为直径的圆的方程为即.
故选：A.
题型二：直线与圆的位置关系的判断
6．（2023·重庆·高二统考期末）直线l：与圆C：的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．都有可能
【答案】A
【解析】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为，
圆心到直线l的距离为，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.
故选：A.
7．（2023·四川成都·成都七中校考一模）圆：与直线：的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
【答案】A
【解析】圆：的圆心为，半径，
直线：即，则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切.
故选：A
8．（2023·山东菏泽·高二统考期末）已知圆，直线，则圆C上到直线l的距离等于的点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由题意, 圆心坐标为 , 半径为 , 圆心到直线 的距离为 ,
圆 与直线 相交,
且圆 上与直线 的距离等于的点共有 3 个.
故选: C.
9．（2023·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【答案】C
【解析】直线方程整理为，即直线过定点，
而，所以定点在圆内，
∴直线与圆相交.
故选：C.
题型三：切线问题
10．（2023·山西阳泉·高二统考期末）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上.
(1)求经过点A，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2)求过点B的圆C的切线方程.
【解析】（1）经过点A，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时，
设直线的方程为，代入点得，，即，
即直线的方程为，
当直线不过原点时，设直线的方程为，
将点代入解得，即直线的方程为
∴所求直线的方程为或；
（2）因圆心C在直线上，则设圆心，
又圆C经过，两点，于是得圆C的半径，
即有，解得，圆心，∴，
∴，∴切线l的方程为：，即.
11．（2023·浙江金华·高二统考期末）在①圆心在直线上，是圆上的点；②圆过直线和圆的交点．
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：已知在平面直角坐标系中，圆过点，且 ．
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点的圆的切线方程．
【解析】（1）若选①，直线的斜率为，线段的中点为，
所以，线段的垂直平分线所在直线的方程为，即，
联立可得，故圆心为，
圆的半径为，
因此，圆的方程为.
若选②，设圆的方程为，
将点的坐标代入圆的方程可得，解得，
所以，圆的方程为，即.
（2）若选①，，故所求切线的斜率为，
则过点的圆的切线方程为，即；
若选②，圆心为，，故所求切线的斜率为，
则过点的圆的切线方程为，即.
12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）已知圆与直线相切，则 .
【答案】
【解析】，
圆的圆心为(2，－2)，半径r＝1，
∵圆和直线相切，∴.
故答案为：.
13．（2023·四川泸州·高二统考期末）已知圆心为C的圆过点，，在①圆心在直线上；②经过点这两个条件中任选一个作为条件.
(1)求圆C的方程；
(2)经过直线上的点P作圆C的切线，已知切线长为4，求点P的坐标.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
【解析】（1）若选①，∵圆过点，，则直线的斜率为，
所以与直线垂直的直线斜率，且的中点为，即，
则的垂直平分线所在直线方程为，即，
又知圆心在直线上，
∴，解得，所以圆心.
半径为.
所以圆的标准方程为.
若选②，设圆的方程为，（其中），
则，解得，
所以，圆方程为，
化为标准方程为.
（2）设，∵经过直线上的点P作圆C的切线，切线长为4，
∴，化简得，
∴，解得或，
∴点P的坐标为或.
题型四：切点弦问题
14．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，
过点作圆的两条切线，设切点分别为、，
而，则，
则以为圆心，为半径为圆为，即圆，
所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，
作差变形可得：；
即直线的方程为.
故选：B.
15．（2023·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期中）已知点M作抛物线上运动，圆过点，过点M引直线与圆相切，切点分别为P，Q，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设圆的方程为： ,
将点代入得，
解得，则圆的方程为，
即，
如图所示：
易知，
又，
所以，
当最小时，最小，
设，则，
当时，，当时，趋近圆的直径，
所以的取值范围为，
故选：B
16．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆，设，
则，则，，
则，所以圆心到直线的距离是，
，得，．
故选：A．
17．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知直线与圆相离，点在直线上运动且位于第一象限，过作圆的两条切线，切点分别是，直线与轴､轴分别交于两点，且面积的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，设，，则，
直线与圆相离，则且，
，
以为圆心，半径为的圆的方程为，
整理得，
由两式相减得直线的方程为，
分别令和，则，
又，的面积，
当且仅当时取等号，则.
故选：D
18．（2023·福建莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆的圆心为原点，半径为，
因为，故四点共圆，且为直径，
设，则，
线段的中点坐标为，
故以为直径的圆的方程为，
整理得：，
与相减得：
直线的方程为，
整理为，
令，解得：，
即直线恒过点，
要想线段取得最小值，只需，即为的中点，
其中，
则，
故选：B
题型五：圆内接三角形与四边形面积问题
19．（2023·广东东莞·高二东莞一中校考期中）圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】由题意得圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为2，
则两圆圆心距为，而，即圆与圆相交，
故将和相减得，
即圆与圆的公共弦所在直线方程为，
令，则；令，则，
故与两坐标轴所围城的三角形面积为，
故选：C
20．（2023·安徽蚌埠·高二统考期末）已知动直线恒过定点为圆上一动点，为坐标原点，则面积的最大值为（ ）
A．B．4C．6D．24
【答案】C
【解析】由，整理为，
令，解得，所以直线恒过定点，
圆的圆心，半径，
如图，，直线的方程为，则圆心到直线的距离，
则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离，
所以面积的最大值为.
故选：C
21．（2023·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意可知，动直线过定点，动直线：，即过定点，
因为，所以无论m取何值，都有，
所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，
设，则点P的轨迹方程为，
圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为．
由题可知，，则，
所以的面积的最小值为．
故选：B
22．（2023·湖北武汉·高二校联考期末）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上运动，则面积的最大值为（ ）
A．8B．C．14D．
【答案】C
【解析】令解得，所以,
令解得，所以,所以,
又因为圆心到直线的距离
所以点到直线的最大距离为，
所以面积的最大值为，
故选:C.
23．（2023·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考期中）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设圆圆心为M，则圆M：，则，半径为.如图，最长弦为过的直径，长度为10.最短弦为过且与最长弦垂直的弦，设E，则由垂径定理可得，.
又，则.
又，则四边形的面积为：.
故选：C
24．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期末）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆化简为可得圆心为
易知过点的最长弦为直径，即
而最短弦为过与垂直的弦，圆心到的距离：

所以弦
所以四边形ABCD的面积：
故选：D.
题型六：轨迹问题
25．（2023·重庆·高二统考期末）已知直线与圆交于A，B两点，.
(1)求实数a的值；
(2)若点P在圆C上运动，O为坐标原点，动点M满足，求动点M的轨迹方程.
【解析】（1）圆，即，，
则圆心，半径，记为圆心到直线的距离，
由，得，而，因此，
所以.
（2）设，，由，得，解得，
由点在圆上，得，于是，
所以动点的轨迹方程为.
26．（2023·福建莆田·高一阶段练习）已知圆，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件的点P的轨迹方程．
【解析】（1）把圆化为标准方程为，
∴圆心为，半径.
当l的斜率不存在时，此时l的方程为，C到l的距离，满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为，即，
则，解得.
∴l的方程为，
即，
综上，满足条件的切线l的方程为或.
（2）
设，则，.
∵，∴，
整理，得，
∴点P的轨迹方程为.
27．（2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
【解析】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，
它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；
（2）设，，由，得，
所以，又点在圆上，故，
所以，化简得的轨迹方程为
28．（2023·天津·高二统考期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知点，点N在圆C上运动，求线段中点P的轨迹方程．
【解析】（1）设圆的方程为，由题意得
，解得
所以圆的方程为.
（2）设点的坐标是，点的坐标是，
由于点的坐标为，点是线段的中点，所以，
于是
因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，
即
所以，
整理得
所以，线段中点的轨迹方程.
29．（2023·四川广元·高二统考期末）已知圆O:,直线.
(1)若圆O的弦AB恰好被点平分,求弦AB所在直线的方程;
(2)点Q是直线l上的动点,过Q作圆O的两条切线,切点分别为C,D,求直线CD经过的定点;
(3)过点作两条相异的直线,分别与圆O相交于E,F两点,当直线ME与直线MF的斜率互为倒数时,求线段EF的中点G的轨迹方程.
【解析】（1）解:由题知,圆O:,所以圆心,半径为1,
所以,因为弦AB恰好被点平分,所以,
故,即弦AB所在直线的方程为;
（2）因为圆心到直线距离为:,所以直线与圆相离,
令,线段OQ中点,
因为与圆相切,所以,
所以O,C,Q,D四点共圆,且为直径,
即圆心为,半径为,
故圆K:上,
因为CD是圆O与圆K的相交弦,故,
即,由且得,
直线CD经过定点;
（3）点在圆上,ME,MF是斜率互为倒数的两条互异直线,
设,,
故,所以且,解得且,
联立,即,
所以,即,
带入直线中有:,
所以,,
故,,
记,,所以为奇函数,
当且时,,且,
当且仅当时,即时取等,因为,所以,
根据为奇函数,所以当且时,,
综上:,
故线段EF的中点的轨迹方程为.
30．（2023·四川广元·高二统考期末）已知坐标平面上两个定点，动点满足|MA|=2|OM|.
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记（1）中的轨迹为曲线C，直线l过点且与曲线C交于E，F两点，点O在以EF为直径的圆上，求直线l的方程.
【解析】（1）由，
得，
化简整理得点的轨迹方程为：，
点M的轨迹是以为圆心,以2为半径的圆；
（2）由题可知直线斜率存在可设，代入，
得：，
，
设，，则，，
由点在以EF为直径的圆上，
则，即，
即，
所以，
即，
整理可得，即，代入成立，
所以直线的方程为.
31．（2023·江西上饶·高二统考期末）已知为原点，线段的端点在圆上运动.
(1)求线段长度的取值范围；
(2)点在线段上，且，求动点的轨迹方程.
【解析】（1）圆的圆心为，半径，
则，
由于，
所以||；
（2）设,,由点在线段上，且，可得，
则有可得，
因为点在圆上，代入得，
整理可得点的轨迹方程为.
题型七：圆与圆的位置关系的判断
32．（2023·新疆·高二校联考期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．外切D．内切
【答案】C
【解析】圆的圆心与圆的圆心，所以两圆的圆心距为3，
又圆的半径为1，圆的半径为2，且圆心距等于圆与圆的半径之和，
所以圆与圆的位置关系为外切．
故选：C.
33．（2023·湖北·高二校联考期中）已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为，
依题意可知，以原点为圆心，半径为的圆，与圆相交，
，所以，
即，所以.
故选：C
34．（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题知：，，，，
.
因为和有公共点，所以，
解得.
故选：C
35．（2023·浙江绍兴·高二统考期末）圆与圆只有一个公共点，则（ ）
A．4B．5C．6D．4或6
【答案】D
【解析】由题设，则且半径；
，则且半径；
所以，又两圆只有一个公共点，故两圆外切或内切，
当两圆外切时，，则；
当两圆内切时，，则或（舍）；
所以或.
故选：D
题型八：公共弦问题
36．（2023·湖北孝感·高二校考期末）圆与圆的公共弦长为 .
【答案】
【解析】由圆与圆，
将两圆方程相减整理得公共弦所在直线的方程：，
又，即，
圆心为，半径为，
所以到直线的距离为，
所以公共弦长为.
故答案为：.
37．（2023·广东深圳·高二统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】因为圆，所以圆心为，半径，
所以，，
所以，以为圆心，为半径的圆的方程为，
即，
所以为两圆的公共点，即直线为两圆公共弦所在的直线，
联立和，
得到，即.
故答案为：
38．（2023·高一课时练习）圆和圆的交点为，，则线段的垂直平分线的方程为 .
【答案】
【解析】将化为圆的标准方程是，其圆心是．
两圆的方程相减得公共弦所在直线方程为.
又线段的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，且其斜率为，
故所求直线方程为，即.
故答案为：.
39．（2023·江苏淮安·高二校联考期中）圆与圆的公共弦的长为 ．
【答案】
【解析】将圆与圆的方程作差可得，
所以，两圆相交弦所在直线的方程为，
圆的圆心为原点，半径为，
原点到直线的距离为，
所以，两圆的公共弦长为.
故答案为：.
题型九：公切线问题
40．（2023·广东·高二统考期末）已知点，，为平面上的动直线，点A，B到直线的距离分别为1，3，则这样的直线有 条．
【答案】4
【解析】到点A的距离为1的直线即该直线与以A为圆心，1为半径的圆相切；
到点B的距离为3的直线即该直线与以B为圆心，3为半径的圆相切；
由于，即两圆相离，如图所示，故公切线的条数为4条，
即点A，B到直线的距离分别为1，3的直线有4条，
故答案为：4.
41．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）平面直角坐标系内，点到直线的距离分别为4和9，则满足条件的直线有 条.
【答案】3
【解析】由已知可把直线l看成是以为圆心，4为半径的圆的切线，
同时是以为圆心，9为半径的圆的切线，
由于两圆圆心距，所以两圆相外切，
根据外切的两圆的公切线有3条可知，满足条件的直线有3条．
故答案为：3．
42．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知圆与圆，在下列说法中：
①对于任意的，圆与圆始终相切；
②对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；
③时，圆被直线截得的弦长为；
④分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4
其中正确命题的序号为 .
【答案】①③④
【解析】对于①，由题意得，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
又，即，即两圆外切，
所以对于任意，圆和圆始终相切，故①正确；
对于②，由①知两圆相切，所以两圆只有三条公切线，故②错误；
对于③，当时，圆的方程为，故圆心为，
又直线，故圆心到直线的距离为，
设其被所截弦为，故由弦长公式得，故③正确；
对于④，由①知两圆相切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和，所以，故④正确.
故答案为：①③④.
43．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】///
【解析】因为圆的圆心为，半径
圆的圆心为，半径
又因为
所以圆与圆相离，所以有4条公切线.
画图为：
易得或是圆和的公切线
设另两条公切线方程为：
圆到直线的距离为
圆到直线的距离为
所以
所以或
或
当时
所以，切线方程为
当时
所以
所以
所以或
当时，切线方程为
当时，切线方程为
故答案为：或或或
44．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是 .
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，半径.
圆，即，圆心为，半径.
圆心角，所以两圆内切，
由解得，
所以两圆切点的坐标为，
，所以公切线的斜率为，
所以公切线的方程为，即
故答案为：
题型十：圆中范围与最值问题
45．（2023·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）直线 与曲线只有一个公共点，则实数范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题知，直线 恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，
当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为，
当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为，
如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为，
由图知，当或，与曲线有1个交点，
故选：C
46．（2023·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）如果实数，满足，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率.
如果实数，满足和，即直线同时经过原点和圆上的点.
其中圆心，半径
从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为
则直线的斜率就是其倾斜角的正切值，易得，，
可由勾股定理求得，于是可得到为的最大值；
同理，的最小值为－1.
则的范围是.
故选：B.
47．（2023·湖北·高二郧阳中学校联考期中）若实数、满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，可得，
则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
即的取值范围是.
故选：B.
48．（2023·山西太原·高二太原市外国语学校校考期中）过点引直线与曲线相交于两点，则直线的斜率范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】曲线方程可化为，
它表示以为圆心，2为半径的上半圆弧，
易知直线斜率存在，设直线方程为，即，
如图所示：直线的斜率应满足，
其中直线与相切于点，
，解得或（舍去），又，
所以.
故选：D.
49．（2023·四川成都·高二校联考阶段练习）已知圆上存在四个点到直线的距离等于，则实数范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由知圆心，半径为3，
若圆上存在四个点到直线的距离等于，
则点C到直线的距离，
∴，
∴.
故选：D.
50．（多选题）（2023·四川成都·高二树德中学校考期中）点是圆上的动点，则下面正确的有（ ）
A．圆的半径为3
B．既没有最大值，也没有最小值
C．的范围是
D．的最大值为72
【答案】BC
【解析】圆转化为，
则圆的圆心为，半径为2，选项A错误.
设，则直线与圆有交点，即，
整理得，解得或.
既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.
设，，
则，其中.
则的取值范围为，选项C正确.
又，则，
因此
其中.
则的最大值为，选项D错误.
故选：BC.
51．（多选题）（2023·山东·高二校考期中）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的范围是
【答案】ABD
【解析】因为实数x，y满足方程，
所以，得圆心为，半径为1，
对于AB，设，则两直线与圆有公共点，
所以，
解得，，
所以的最大值为，的最大值为，所以AB正确，
对于C，因为原点到圆心的距离为，
所以圆上的点到原点的距离，
所以，所以，
所以的最大值为，所以C错误，
对于D， 表示出圆上的点到直线的距离，
因为圆心到直线的距离为，
所以，即，所以D正确，
故选：ABD
52．（多选题）（2023·广西河池·高二统考期末）已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．直线的斜率范围为
D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为
【答案】AC
【解析】圆的圆心，半径，
又，所以，即点在圆外，
所以，故A正确；
，当且仅当在线段与圆的交点时取等号，故B错误；
设直线，根据题意可得点到直线的距离，解得，故C正确；
设的中点为，则，又，
所以以为直径圆的方程，显然圆与圆相交，
所以公共弦方程为，故D错误．
故选：AC．
53．（2023·广东广州·高二广州市第十六中学校考期中）已知，满足，则的范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以，表示以为圆心，为半径的圆，即点为圆上的点，
令，即，当直线与圆相切时取得最值，所以，即，解得，所以
故答案为：
题型十一：定点定值问题
54．（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点.
(1)若，求直线的方程；
(2)记点关于轴的对称点为（异于点），试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意可知圆的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率为时，直线过圆心,，不满足题意，
所以，直线的斜率不为
设直线的方程为到直线的距离为.
因为，
所以，解得.
由点到直线的距离公式可得到直线的距离，解得.
故直线的方程为或.
（2）设，则.
联立，整理得，
所以，.
假设直线过定点，由对称性可知所过定点在轴上，设该定点为.
因为三点共线，所以，
所以.
故直线过定点
55．（2023·湖南长沙·高二湖南师大附中校考阶段练习）已知，动点满足，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若点是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，则直线是否过定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.
【解析】（1）设点，依题意知，整理得，曲线的方程为.
（2）设为坐标原点，由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上（对角互补的四边形的四顶点共圆），设该圆为圆,
设，则圆心，半径，于是圆的方程为：
即，
又在圆上，即，
（直线是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程）.
由 得所以直线过定点..
56．（2023·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，且两条切线、与轴分别交于、两点．
(1)当在直线上时，求的值；
(2)当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）联立可得，即点，
若过点的直线垂直于轴，则该直线的方程为，显然直线与圆不相切，
设过点且与圆相切的直线的方程为，即，
则圆心到切线的距离为，整理可得，解得，，
由图可知，直线的方程为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
在直线的方程中，令，可得，即点，
，，
因此，.
（2）分析知、在以为圆心，为半径的圆上，设，
，，，
所以，以点为圆心，半径为的圆的方程为，
将圆和圆的方程作差，消去、可得，
即，故直线的方程为.
由可得，因此，直线过定点.
四、证明题
57．（2023·四川广元·高二统考期末）已知圆，直线．
(1)若圆O的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程；
(2)点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点；
(3)过点作两条相异的直线，分别与圆O相交于E，F两点，当直线ME与直线MF的斜率互为倒数时，求证：线段EF的中点G在直线上．
【解析】（1）∵，∴，，
即：弦AB所在直线的方程为．
（2）直线l与圆O相离，令，线段OQ中点，
O，C，Q，D四点位于圆上，CD是圆O与圆K的相交弦，
故．
即，由且得直线CD经过定点．
（3）点M在圆O上，ME，MF是斜率互为倒数的两条互异直线，设，
代入，整理得，
，，，
∴，，
，，
故线段EF的中点G在直线上．
58．（2023·贵州贵阳·高二统考期末）已知圆O：，过定点作两条互相垂直的直线，，且交圆O于两点，交圆O于两点.
(1)若，求直线的方程；
(2)求证：为定值.
【解析】（1）由题设可知圆O的圆心为，半径为，
由，可得到直线的距离为，
因为直线经过点，则有：
当直线的斜率不存在时，则，此时到直线的距离为，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，
所以直线的方程为，即.
（2）∵，即定点在圆内，
∴直线与圆均相交，
当直线与x轴垂直时，直线与x轴平行，此时，，
所以；
当直线与x轴垂直时，直线与x轴平行，此时，，
所以；
当直线与不坐标轴垂直时，设直线的方程为，
则直线的方程为，
联立方程，消去y得，
所以，
同理可得，
所以，
综上所述：为定值2.
59．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点．
(1)若﹐求直线l的方程：
(2)若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值．
【解析】（1）由圆，可知圆心为，半径为2，
因为，直线，即，
所以，
解得或，
所以直线方程为或，
即或；
（2）由直线可知直线过定点，
又，可知，又直线，，
所以，
如图设，又M为线段PQ的中点，直线l与直线交于点N，
所以，，
所以，即，
又，，
所以为定值，
若直线过圆心，则与重合，与重合，显然，
综上，为定值.
60．（2023·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期末）已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．
(1)若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；
(2)求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．
【解析】（1）因为，由垂径定理可知：圆心到直线的距离，
直线的斜率必存在，设方程为，即，
由点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离为，
解得或
所以直线的方程为或.
（2）因为点在直线上，设，，
过、、三点的圆即以为直径的圆，，则，
因为，，
所以
整理得，
所以经过、、三点的圆方程为：，
将方程与相减得两圆的公共弦方程：
，即，
由，解得： ，
所以两圆的公共弦过定点.